专题1.2.2 圆的一般方程（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“圆的一般方程”核心知识点，从圆的标准方程展开推导一般方程，构建标准与一般方程互化、轨迹判定（圆、单点、无轨迹）、二元二次方程表示圆的充要条件、待定系数法求方程及圆过定点问题的学习支架，形成连贯知识脉络。 该资料融入思维导图梳理知识体系，通过即学即练、典例变式及分层练习，引导学生用数学思维推导互化逻辑，用数学语言表达方程求解过程，培养数学眼光观察方程特征。课中助力教师分题型教学，课后帮助学生通过练习查漏补缺，强化知识应用。

专题2.2 圆的一般方程 教学目标 能由圆的标准方程展开推导一般方程，熟练完成标准方程⇌一般方程双向配方互化； 掌握表示圆、单点、无轨迹的判定条件； 熟记圆心、半径计算公式； 掌握二元二次方程表示圆的充要条件：； 熟练使用待定系数法（设一般式）求圆方程，对比标准式选用场景； 教学重难点 1.重点 圆一般方程形式、配方互化、圆心半径快速计算； 三种图形判定规则； 待定系数法设一般式求圆方程（多点条件优先）； 二元二次方程识别圆的充要条件。 2.难点 待定系数法设一般式求圆方程（多点条件优先）； 二元二次方程识别圆的充要条件。 知识点 01 圆一般方程推导与标准 / 一般互化 推导：将展开整理得 互化方法：配方法，对x、y分别凑完全平方； 适用场景：已知三点时，设一般式计算更简便。 【即学即练】 圆的半径为（   ） A． B． C． D． 知识点 2 方程的轨迹分类 判别式 ：方程表示圆，圆心 半径 ：方程仅表示一个点，不是圆； ：无实数解，不存在对应图形。 知识点 3 二元二次方程表示圆的充要条件 二元二次通用形式：同时满足三个条件： ① ② ③ 【即学即练】 若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 知识点 04 待定系数法求圆一般方程（列式法） 步骤：设；代入点坐标得三元一次方程组；解D、E、F回代； 适用场景：题干给出 3 个圆上定点（无圆心、半径条件）。 【即学即练】 若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 知识点 5 圆过定点问题原理 含参数的圆方程：整理为「参数 × 代数式 + 固定代数式 = 0」； 令参数系数、常数项同时为 0，解方程组，得到定点坐标。 【即学即练】 对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 题型 01 圆的一般方程与标准方程互化 【典例1】圆的半径为________． 【变式1】已知圆的面积为，则__________. 【变式2】圆的圆心坐标为_________． 【变式3】圆的直径的最小值为____________． 题型 02 二元二次方程能否表示圆的判定（含参数求解） 【典例1】方程表示圆，的取值范围为_____ 【变式1】已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 【变式2】方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】方程表示圆的充要条件是，，．( ) 题型 03 利用待定系数法求圆的一般方程 【典例1】过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】，，.三角形的外接圆方程为_______. 【变式2】过，，三点圆的方程为____________. 【变式3】已知直线，． (1)求过直线与的交点，且与直线平行的直线l的方程； (2)求过点，，且圆心在直线上的圆C的方程． 题型 04 含参数圆方程恒过定点问题 【典例1】若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【变式1】已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【变式2】已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【变式3】在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 题型 05 点与圆的位置关系 【典例1】点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【变式3】若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 1．若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 4．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 7．圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 8．已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 9．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 10．若圆的半径为1，则______. 11．若方程为圆的方程，则的值为______. 12．方程表示圆，则的取值范围为___________ 1．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 2．设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 3．若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 4．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 5．已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 6．已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 7．已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)直线过点，且圆心到直线的距离为1，求直线的方程. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 圆的一般方程 教学目标 能由圆的标准方程展开推导一般方程，熟练完成标准方程⇌一般方程双向配方互化； 掌握表示圆、单点、无轨迹的判定条件； 熟记圆心、半径计算公式； 掌握二元二次方程表示圆的充要条件：； 熟练使用待定系数法（设一般式）求圆方程，对比标准式选用场景； 教学重难点 1.重点 圆一般方程形式、配方互化、圆心半径快速计算； 三种图形判定规则； 待定系数法设一般式求圆方程（多点条件优先）； 二元二次方程识别圆的充要条件。 2.难点 待定系数法设一般式求圆方程（多点条件优先）； 二元二次方程识别圆的充要条件。 知识点 01 圆一般方程推导与标准 / 一般互化 推导：将展开整理得； 互化方法：配方法，对x、y分别凑完全平方； 适用场景：已知三点时，设一般式计算更简便。 【即学即练】 圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 知识点 2 方程的轨迹分类 判别式 ：方程表示圆，圆心，半径； ：方程仅表示一个点，不是圆； ：无实数解，不存在对应图形。 知识点 3 二元二次方程表示圆的充要条件 二元二次通用形式：同时满足三个条件： ①；② B=0；③ 。 【即学即练】 若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 知识点 04 待定系数法求圆一般方程（列式法） 步骤：设；代入点坐标得三元一次方程组；解D、E、F回代； 适用场景：题干给出 3 个圆上定点（无圆心、半径条件）。 【即学即练】 若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 知识点 5 圆过定点问题原理 含参数的圆方程：整理为「参数 × 代数式 + 固定代数式 = 0」； 令参数系数、常数项同时为 0，解方程组，得到定点坐标。 【即学即练】 对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 题型 01 圆的一般方程与标准方程互化 【典例1】圆的半径为________． 【答案】 2 【分析】将圆的一般方程通过配方转化为标准方程，即可求解半径. 【详解】圆方程可化为 ，故半径为2. 【变式1】已知圆的面积为，则__________. 【答案】0 【分析】由圆的面积为，可得圆的半径为2，把圆的方程化为标准方程即可求解. 【详解】由圆的面积为，可得圆的半径为2， 把圆的方程化为标准方程为，所以，解得. 故答案为：0. 【变式2】圆的圆心坐标为_________． 【答案】 【详解】将方程转化为圆的标准方程得：，所以圆心坐标为. 【变式3】圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【分析】化为标准方程得到半径求解. 【详解】圆的方程可化为， 则直径． 故答案为： 题型 02 二元二次方程能否表示圆的判定（含参数求解） 【典例1】方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将圆化为标准形式，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】因为圆标准方程为， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 故答案为： 【变式2】方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程转化成圆的标准方程结构即可求解. 【详解】由， 得， 解得.即m的取值范围是. 故选：D. 【变式3】方程表示圆的充要条件是，，．( ) 【答案】错误 【详解】方程表示圆 表示圆，且 表示圆且 即，，． 所以原命题错误. 题型 03 利用待定系数法求圆的一般方程 【典例1】过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由圆的一般方程可列出方程组，直接求解即可. 【详解】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 【变式1】，，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【分析】设出三角形外接圆的一般式方程，利用待定系数法列式求解. 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 【变式2】过，，三点圆的方程为____________. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解. 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，， 解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 【变式3】已知直线，． (1)求过直线与的交点，且与直线平行的直线l的方程； (2)求过点，，且圆心在直线上的圆C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点坐标，由平行得直线斜率，由点斜式得直线方程并整理； （2）设出圆的一般方程，代入已知条件列方程组求解． 【详解】（1）由解得，，即直线与的交点为， 直线的斜率为，直线的斜率， 直线的方程为，即：． （2）设圆的方程为， 则由题意有，解得，， 所以，圆的方程为 题型 04 含参数圆方程恒过定点问题 【典例1】若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 【变式1】已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 【变式2】已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【详解】（1）由题意知，解得或， 设所求圆的方程为， 由题意知函数的图象与两坐标轴的三个交点即为圆与坐标轴的交点. 在圆的方程中，令，得，这与是同一个方程，故，. 令，得，此方程有一个根为，代入此方程得，解得， 综上可知，圆的方程为或 （2）是，理由： 由（1）知圆的方程为或， 令，解得或， 故圆过定点和. 【变式3】在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 题型 05 点与圆的位置关系 【典例1】点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 【变式1】若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 【变式2】已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式3】若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 1．若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 2．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】配方得到圆的充要条件即可判断. 【详解】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 3．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 4．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 5．已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【详解】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 6．已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 7．圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 8．已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 9．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】整理圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B. 10．若圆的半径为1，则______. 【答案】/ 【分析】将一般式方程化为标准方程，再根据半径求解即可. 【详解】原方程可化为标准方程得：， 所以，解得. 故答案为： 11．若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 12．方程表示圆，则的取值范围为___________ 【答案】 【分析】将方程化为，根据其表示圆列不等式求参数范围. 【详解】由题设表示圆，则，即. 故答案为： 1．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 2．设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 【答案】AC 【分析】分析可知圆心在线段的中垂线上，将线段的中垂线方程与直线方程联立，可求出圆心的坐标，可判断A选项；利用两点间的距离公式求出圆的半径为，可判断B选项；写出圆的标准方程，并化为一般方程，可判断C选项；求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A，因为点和均在上，则圆心在线段的中垂线上， 直线的斜率为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立，解得， 故圆心为，A对； 对于B，圆的半径为，B错； 对于C，圆的标准方程为，其一般方程为，C对； 对于D，直线的截距式方程为，化为一般方程为， 故点到直线的距离为，D错. 3．若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】∵直线平分的周长， ∴圆心在直线上， 可得0，解得． ，当且仅当时等号成立， 因此的取值范围为． 4．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，求出直线的斜率，根据可求得直线的斜率，再利用斜截式方程可得出直线的方程； （3）设的外接圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）因为，且，故直线的斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. （2）因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. 5．已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为； （2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程. 【详解】（1）由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. （2）由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 6．已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两点的中点及斜率，然后结合垂直的斜率关系，利用点斜式方程即可求得； （2）根据圆的几何性质求出圆心坐标，利用两点距离公式求解半径，进而求出标准方程，再化为一般方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 7．已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)直线过点，且圆心到直线的距离为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，由已知条件列出方程组求解即得. （2）按直线的斜率存在与否分类，利用点到直线的距离公式求解即得. 【详解】（1）设圆的方程为， 由圆的圆心在轴上，且经过和两点， 得，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1）得圆的圆心为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $