第1章 1.3 第3课时 直线方程的一般式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学直线方程的一般式这一核心知识点，系统梳理从点斜式、斜截式等四种特殊形式到统一的一般式方程的转化脉络，延伸至含参数直线方程及点法式，构建完整知识支架。 资料以“九九归一”文化导入激发兴趣，通过思考问题引导学生用数学眼光发现知识统一性，例题与跟踪训练强化方程转化等数学思维，如例2含参数直线过定点问题培养推理能力，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第3课时　直线方程的一般式 新课导入 学习目标 　　成语“九九归一”，原为珠算用语，含义是：算来算去最后还是还了原．老子的《道德经》亦云：一生二，二生三，三生万物，万物变幻，九九八十一后又再循环．其实，这种循环不是简单的重复，而是一种升华，更是一个新的起点．本节我们将探讨四种直线的方程形式有什么特点？有没有统一的形式？ 1.掌握直线的一般式方程．　2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．　3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 知识点一　直线方程的一般式 思考1　平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：可以．当直线斜率存在时，点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可视为二元一次方程；当斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程． 思考2　任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ 提示：可以．任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，当B≠0时，y＝－x－；当B＝0时，x＝－均表示直线． [知识梳理] 1．直线方程的一般式 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． 2．直线方程的一般式与其他四种形式的转化 [例1] (对接教材例11、例12)直线过点A(8，－6)，B(2，2). (1)求直线AB的两点式方程，并把它化成一般式方程； (2)求直线AB的斜率，以及在x轴和y轴上的截距． 【解】　(1)直线过点A(8，－6)，B(2，2)，则直线AB的两点式方程为＝，整理得3(y－2)＝－4(x－2)，所以直线AB的一般式方程为4x＋3y－14＝0. (2)由(1)知，直线AB：4x＋3y－14＝0可转化为斜截式方程y＝－x＋， 当y＝0时，x＝；当x＝0时，y＝， 所以直线AB的斜率k＝－，在x轴和y轴上的截距分别为，. 在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，再化为一般式方程，一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式． [跟踪训练1] (1)(多选)下列说法中，正确的有(　　) A．直线y－3x－2＝0在y轴上的截距是－2 B．直线2x－y＋5＝0经过第一、二、三象限 C．过点P(1，2)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋1＝0 D．过点(5，0)，且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0 解析：选BD．对于A，令x＝0，得y＝2，则直线y－3x－2＝0在y轴上的截距为2，故A错误； 对于B，直线 2x－y＋5＝0的斜率为2，在y轴上的截距为5，易知直线2x－y＋5＝0经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，当直线截距均为0时，直线经过原点，设y＝kx，代入点P(1，2)，得k＝2，此时直线方程为y＝2x；当直线截距不为0时，设方程为＋＝1，代入点P(1，2)，得a＝－1，此时直线方程为x－y＋1＝0，故C错误； 对于D，倾斜角为90°的直线斜率不存在，则过点(5，0)并且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0，故D正确． (2)已知直线l经过点P(2，－3)，且它的一个方向向量的坐标为(2，－1)，则直线l的一般式方程为___________；其截距式方程为_____________________． 解析：因为直线l的一个方向向量的坐标为(2，－1)，所以其斜率为k＝－，又直线过P(2，－3)，所以直线l的方程为y＋3＝－(x－2)，化为一般式方程为x＋2y＋4＝0，其截距式方程为＋＝1. 答案：x＋2y＋4＝0　＋＝1 知识点二　含参数的直线方程的一般式 [例2] (2026·驻马店月考)已知直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0，a∈R. (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在(1)的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线l′的方程． 【解】　(1)直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0可化为(2x－y＋3)a＋3x＋y＋7＝0， 则解得所以直线l过定点，且定点A的坐标为(－2，－1). (2)因为直线l′过点(－2，－1)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍， 则当直线l′过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为y＝x，即x－2y＝0； 当直线l′的横、纵截距均不为零时，设直线l′的方程为＋＝1，代入点(－2，－1)，得＋＝1，解得m＝－， 此时直线l′的方程为＋＝1， 即12x＋y＋25＝0. 综上，直线l′的方程为x－2y＝0或12x＋y＋25＝0. (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距，令y＝0可得在x轴上的截距，若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． [跟踪训练2] 设直线l的方程为(a＋1)x＋y－5－2a＝0(a∈R)，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A(xA，0)，B(0，yB). (1)当xA·yB最小时，求直线l的方程； (2)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 解：(1)由题意知，xA＝>0，yB＝5＋2a>0，则a>－1， 所以xA·yB＝·(5＋2a) ＝＝ ＝4(a＋1)＋＋12≥2＋12＝24， 当且仅当4(a＋1)＝，即a＝时，等号成立，所以当a＝时，xA·yB最小， 此时直线l的方程为3x＋2y－12＝0. (2)因为直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，所以不妨设5＋2a＝k(a＋1)，k∈N*，又a也为正整数，所以a＝>0，即2<k<5，所以k＝3或k＝4. 当k＝3时，a＝2，此时A(3，0)，B(0，9)， 所以直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－9＝0； 当k＝4时，a＝，不符合题意，舍去． 综上所述，直线l的方程为3x＋y－9＝0. 知识点三　*直线方程的点法式 [知识梳理] 1．直线的法向量：与方向向量垂直的向量称为直线的法向量． 2．直线方程的点法式：已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，则方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0为直线方程的点法式． [即时练] 1．直线l在y轴上的截距为2且一个方向向量为(2，－1)，则直线l的方程为_______________________________________________________________． 解析：由直线l的一个方向向量为(2，－1)，得直线l的一个法向量为(1，2)，又直线l过点(0，2)，代入直线方程的点法式得x＋2(y－2)＝0，即x＋2y－4＝0. 答案：x＋2y－4＝0 2．已知点A(3，2)和点B(－1，－4)，则线段AB的垂直平分线方程为______________． 解析：易知线段AB的中点C(，)，即C(1，－1). ＝(－1－3，－4－2)＝(－4，－6)，是线段AB垂直平分线的一个法向量， 代入直线方程的点法式得，－4(x－1)－6(y＋1)＝0，即2x＋3y＋1＝0. 答案：2x＋3y＋1＝0 利用直线方程的点法式求直线的方程的关键是确定所求直线的法向量n＝(A，B)，通常利用向量的数量积为0来求解． 应用点　直线方程的一般式的综合应用 [例3] 已知直线l1：ax－2y－2a＋4＝0和直线l2：2x－(1－a2)y－2－2a2＝0，当实数a的值在区间(0，2)内变化时，求直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形面积的最小值． 【解】　将直线ax－2y－2a＋4＝0化为y－2＝(x－2)，得直线l1恒过定点(2，2)，当x＝0时，y＝2－a>0；将直线2x－(1－a2)y－2－2a2＝0化为2x－y－2＋a2(y－2)＝0，由得即直线l2恒过定点(2，2)，当y＝0时，x＝1＋a2>0. 如图，在平面直角坐标系中取点B(2，2)，连接OB，过点B作出直线l1，l2的大致图象，l1与y轴交于点C，l2与x轴交于点A.则在△OAB中，OA边上的高为2，在△OBC中，OC边上的高为2，点A的坐标为(1＋a2，0)，点C的坐标为(0，2－a).所以S四边形OABC＝S△OAB＋S△OBC＝×2×(1＋a2)＋×2×(2－a)＝a2－a＋3＝＋，因为0＜a＜2，所以当a＝时，所求四边形OABC的面积最小，最小值为. 利用直线方程的一般式，可以确定直线的斜率、截距、交点等特征，解决和直线有关的最值问题，可以建立目标函数，利用求函数最值的方法求解． [跟踪训练3] (1)已知直线y＝x－1的倾斜角为α，直线l的倾斜角β＝2α，且过点M(2，－1)，求直线l的方程． 解：直线y＝x－1的倾斜角α＝，则β＝2α＝，于是得直线l的斜率k＝tan β＝，又直线l过点M(2，－1)，则y＋1＝(x－2)，整理得x－y－2－1＝0，所以直线l的方程是x－y－2－1＝0. (2)已知直线l过点P(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程． 解：依题意，直线l的斜率存在且不为0，设其方程为y－3＝k(x＋2)，k≠0，则直线l交x轴于点A(－2－，0)，交y轴于点B(0，3＋2k)，于是得△AOB的面积S＝|OA|·|OB|＝|2＋|·|3＋2k|＝|12＋4k＋|＝4，即12＋4k＋＝8或12＋4k＋＝－8，方程12＋4k＋＝8，即4k2＋4k＋9＝0，无解；方程12＋4k＋＝－8，即4k2＋20k＋9＝0，解得k＝－或k＝－，当k＝－时，直线l方程是x＋2y－4＝0，当k＝－时，直线l方程是9x＋2y＋12＝0.所以直线l的方程是x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0. 1．(多选)(2026·晋中月考)如果AC＞0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0通过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选ABC．因为AC>0，BC<0，所以B≠0，AB<0，由直线Ax＋By＋C＝0，可得y＝－x－，则直线斜率k＝－>0，且－>0，所以直线经过第一、二、三象限． 2．(多选)(教材P16T1改编)已知直线2x＋y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．直线过点(－1，1) B．直线的斜率为－2 C．直线在x轴上的截距为－3 D．直线在y轴上的截距为－3 解析：选BD．对于A，因为2×(－1)＋1＋3＝2≠0，即直线不过点(－1，1)，所以A不正确；对于B，D，由2x＋y＋3＝0，得到y＝－2x－3，所以直线斜率为－2，在y轴上的截距为－3，所以B，D正确；对于C，由直线2x＋y＋3＝0，令y＝0，得到x＝－，所以C不正确． 3．已知直线的倾斜角α＝30°，且过点A(4，3)，则该直线的一般式方程为________________． 解析：因为直线的倾斜角α＝30°，所以直线的斜率k＝tan 30°＝，又因为直线过点A(4，3)，所以直线的方程为y－3＝(x－4)，化为一般式方程为x－y＋3－4＝0. 答案：x－y＋3－4＝0 4．已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值； (2)求直线l所过定点的坐标． 解：(1)由条件知，a≠0且a≠，在直线l的方程中，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝，所以＝×3，解得a＝1或a＝，经检验，a＝1或a＝均符合要求，故实数a的值为1或. (2)由ax＋(1－2a)y＋1－a＝0，得a(x－2y－1)＋y＋1＝0. 由解得所以直线l所过定点的坐标为(－1，－1). 1．已学习：直线方程的一般式． 2．须贯通：求直线的一般式方程及应用直线的一般式方程体现了分类讨论与化归转化的思想方法． 3．应注意：忽略直线斜率不存在的情况及两直线重合的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $