第1章 1.3 第3课时 直线方程的一般式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

第3课时　直线方程的一般式

知识点一　直线方程的一般式

思考1　平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？

提示：可以．当直线斜率存在时，点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可视为二元一次方程；当斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程．

思考2　任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？

提示：可以．任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，当B≠0时，y＝－x－；当B＝0时，x＝－均表示直线．

[知识梳理]

1．直线方程的一般式

关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式．

2．直线方程的一般式与其他四种形式的转化

[例1] (对接教材例11、例12)直线过点A(8，－6)，B(2，2).

(1)求直线AB的两点式方程，并把它化成一般式方程；

(2)求直线AB的斜率，以及在x轴和y轴上的截距．

【解】　(1)直线过点A(8，－6)，B(2，2)，则直线AB的两点式方程为＝，整理得3(y－2)＝－4(x－2)，所以直线AB的一般式方程为4x＋3y－14＝0.

(2)由(1)知，直线AB：4x＋3y－14＝0可转化为斜截式方程y＝－x＋，

当y＝0时，x＝；当x＝0时，y＝，

所以直线AB的斜率k＝－，在x轴和y轴上的截距分别为，.

在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，再化为一般式方程，一般选用规律为：

(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式；

(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式；

(3)已知直线上两点坐标时，选用两点式；

(4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式．

[跟踪训练1] (1)(多选)下列说法中，正确的有(　　)

A．直线y－3x－2＝0在y轴上的截距是－2

B．直线2x－y＋5＝0经过第一、二、三象限

C．过点P(1，2)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋1＝0

D．过点(5，0)，且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0

解析：选BD．对于A，令x＝0，得y＝2，则直线y－3x－2＝0在y轴上的截距为2，故A错误；

对于B，直线 2x－y＋5＝0的斜率为2，在y轴上的截距为5，易知直线2x－y＋5＝0经过第一、二、三象限，故B正确；

对于C，当直线截距均为0时，直线经过原点，设y＝kx，代入点P(1，2)，得k＝2，此时直线方程为y＝2x；当直线截距不为0时，设方程为＋＝1，代入点P(1，2)，得a＝－1，此时直线方程为x－y＋1＝0，故C错误；

对于D，倾斜角为90°的直线斜率不存在，则过点(5，0)并且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0，故D正确．

(2)已知直线l经过点P(2，－3)，且它的一个方向向量的坐标为(2，－1)，则直线l的一般式方程为___________；其截距式方程为_____________________．

解析：因为直线l的一个方向向量的坐标为(2，－1)，所以其斜率为k＝－，又直线过P(2，－3)，所以直线l的方程为y＋3＝－(x－2)，化为一般式方程为x＋2y＋4＝0，其截距式方程为＋＝1.

答案：x＋2y＋4＝0　＋＝1

知识点二　含参数的直线方程的一般式

[例2] (2026·驻马店月考)已知直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0，a∈R.

(1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；

(2)在(1)的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线l′的方程．

【解】　(1)直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0可化为(2x－y＋3)a＋3x＋y＋7＝0，

则解得所以直线l过定点，且定点A的坐标为(－2，－1).

(2)因为直线l′过点(－2，－1)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，

则当直线l′过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为y＝x，即x－2y＝0；