专题1.1.4 两条直线的平行与垂直（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦两条直线的平行与垂直，系统梳理斜截式（含斜率不存在情况）、一般式下的判定条件，区分平行与重合易错误区，构建平行和垂直直线系知识支架，衔接直线方程基础，为几何综合应用铺垫。 资料通过知识点分层讲解、即学即练即时巩固，题型涵盖位置关系判断、参数求解、过定点求直线方程等，结合矩形、三角形面积等几何图形培养数学思维。配套思维导图辅助知识结构化，体现数学眼光的抽象能力与数学语言的模型意识，课中助力分层教学，课后便于学生查漏补缺。

专题1.4 两条直线的平行与垂直 教学目标 1.掌握斜截式、一般式下两条直线平行、垂直的判定条件，区分斜率存在与不存在的特殊情况； 2.分清直线平行、重合、相交、垂直四种位置关系，规避 “斜率相等即平行” 等易错误区； 3.熟练使用平行直线系、垂直直线系快速设写直线方程； 4.能根据平行、垂直条件求解参数，结合定点、截距、三角形面积完成计算； 5.综合几何图形（直角、矩形）利用平行垂直关系求点坐标、直线解析式。 教学重难点 1.重点 斜截式平行、垂直斜率关系； 一般式平行垂直通用判定公式； 利用平行 / 垂直求直线方程。 2.难点 斜率不存在时分类讨论； 区分平行与重合； 含多参数直线分类求值； 垂直结合几何图形综合计算。 知识点 01 斜截式下两直线平行判定 设直线 两直线斜率均存在、不重合： 两直线斜率均不存在（竖直线）：时互相平行； 易错提醒：仅不能判定平行，若两直线重合。 【即学即练】 下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 知识点 02 斜截式下两直线垂直判定 两条直线斜率均存在：； 特殊垂直组合：一条水平线（k=0）+ 一条竖直线（斜率不存在），两直线垂直； 限制：只适用于两条直线斜率都存在的场景。 【即学即练】 已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直，则，化简即可判断. 【详解】因为，所以直线的斜率存在， 故两条直线的斜率分别为与， 由垂直可知，即. 故选：A 知识点 03 一般式直线平行、垂直通用判定（无斜率限制） 设 平行（不重合）： 垂直（充要条件）：； 优势：不需要讨论斜率是否存在，含参数大题优先选用一般式判定。 【即学即练】 若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 知识点 04 平行直线系、垂直直线系 平行直线系：与Ax+By+C=0平行的直线统一形式：； 垂直直线系：与Ax+By+C=0垂直的直线统一形式：Bx-Ay+E=0； 作用：已知平行 / 垂直条件求直线方程，可直接设式，简化计算。 【即学即练】 1.直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【详解】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 2.若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【详解】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 故选：C 题型 01 判断两条直线平行与垂直 【典例1】 判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 【答案】(1)垂直 (2)垂直 【详解】（1）由题意得直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以与垂直． （2）而直线的斜率不存在，故与轴垂直， 直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． 【变式1】 已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据直线平行的条件、直线垂直的条件逐项判断即可. 【详解】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误； 对于B，当时，，与轴垂直，B正确； 对于C，当时，. 因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确； 对于D，因为，所以，解得或. 当时，由C选项知两直线是平行的； 当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故时或，D错误； 故选：BC. 【变式2】 已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 【答案】ABC 【分析】对于A，由即可求解判断；对于B，通过即可判断；对于C，由，并验证是否重合即可判断；对于D，由截距概念列出等式求解即可判断. 【详解】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC 【变式3】 已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，再分别从充分性和必要性两个方向进行推导，最后结合充要条件的定义得出结论即可. 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 题型 02 已知两直线平行，求参数取值 【典例1】 若直线与平行，求的值. 【答案】3或5 【分析】根据直线平行的性质求参数即可. 【详解】因为直线与平行， 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. 【变式1】 （1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）直线可化为， 由直线的斜截式方程可知； （2）直线的斜率为， 过，两点的直线斜率为， 由题意可得，解得， 此时，点不在直线， 故. 【变式2】 已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 题型 03 已知两直线垂直，求参数取值 【典例1】 已知直线与直线垂直，则______． 【答案】 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，得. 【变式1】 若直线与直线垂直，则__________. 【答案】 【详解】因为， 所以，解得. 【变式2】 若直线与垂直，则a的值为______． 【答案】3 【详解】若直线与垂直， 则，解得. 【变式3】 若直线与直线互相垂直，那么a的值等于______． 【答案】 【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，所以. 【变式4】 若直线与垂直，则实数_______________ 【答案】# 【详解】因为直线与垂直， 所以，即. 题型 04 过定点作已知直线的平行线，求直线方程 【典例1】 （1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （2）求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据平行关系设出直线方程，代入点的坐标即可求解； （2）先利用点斜式设出直线方程，利用截距的关系求出方程． 【详解】（1）依题意可设所求直线的方程为， 将点的坐标代入得，解得， 故所求直线的方程为． （2）依题意可设所求直线的方程为， 令，得；令，得， 因为所求直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍， 所以，即，解得或， 故所求直线的方程为或，即或 【变式1】 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： (1)直线与直线平行： (2)直线在两个坐标轴上的截距相等. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由平行关系可假设直线，代入点即可； （2）分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点的情况，结合直线截距式和点坐标可求得结果. 【详解】（1）设直线， 过点， ，解得：， 直线方程为. （2）若直线过坐标原点，则直线方程为：，满足题意； 若直线不过坐标原点，可设直线， ，即直线； 综上所述：直线方程为：或. 【变式2】 已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程； (2)求与平行时的直线的方程． 【答案】(1)或； (2) 【分析】(1)分两类截距为0或不为0，再利用截距式直线方程来求直线方程； (2)利用平行直线的斜率相等，再结合点斜式直线方程来求即可. 【详解】（1）当直线在轴上的截距与在轴上的截距都为时，满足题意， 所以此时的直线方程为，整理可得： 当直线在轴上的截距与在轴上的截距都不为时，可设直线方程为， 由题意可得：，解得：， 此时直线方程为，整理可得：. 即直线的方程为或； （2）由直线方程化斜截式可得：， 则直线的斜率为， 因为直线与平行，所以直线的斜率也为， 再由点斜式可得直线的方程为：，整理得：. 题型 05 过定点作已知直线的垂线，求直线方程 【典例1】 已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 【答案】(1) (2)为或 (3) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再根据两直线垂直斜率积为求出直线的斜率，进而求出方程； （2）分斜率不存在，为，不为三种情况讨论，求出在轴和轴上的截距，进而求出，写出方程； （3）写出直线的点斜式方程，求出在轴和轴上的截距，列式求出的范围，进而求出三角形的面积，根据均值不等式求出最小值和，写出方程. 【详解】（1），又，所以， 所以直线的方程为，即； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不满足条件； 当直线斜率为时，直线的方程为，不满足条件； 当斜率存在且不为时，设直线的方程为， 令，则，令，则， 因为直线在轴和轴上的截距互为相反数， 所以，所以或， 又因为直线过点，所以， 所以当时，；当时，； 所以直线的方程为或； （3）因为直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，所以直线的斜率一定存在且不为， 又直线过点，所以设直线的方程为， 令，则，令，则， 所以，解得， ， 当且仅当，即时，取得最小值， 所以直线的方程为，即. 【变式1】 求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. 【变式2】 已知直线与直线的交点为P， (1)直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； (2)直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】(1)先求出两直线的交点，再根据垂直关系得到的斜率，最后用点斜式写出直线方程. (2)先确定交点，再分截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【详解】（1）联立，解得，即， 由与直线l：垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为，则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 题型 06 两点连线与已知直线平行 / 垂直，求点内参数 【典例1】 以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 【变式1】 已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 【变式2】 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】由两直线的斜率关系判断. 【详解】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 【变式3】 已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知设所求直线方程为，根据直线过原点求得c，即得答案. 【详解】与平行的直线的方程可以设为， 又直线过原点，所以． 所以过原点且与l平行的直线的方程为． 题型 07 平行、垂直结合截距综合题（截距相等 / 相反数 / 面积） 【典例1】 已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可. 【详解】由题可知，,直线， 所以,， 所以， 所以的面积为， 当且仅当时等号成立. 故选：C 【变式1】 已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)当时，直线与重合；当时，直线与相交 (2)的最小值为，此时直线的方程为。 【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可； （2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， ，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 【变式2 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】64．3或5 65． 【分析】（1）根据两直线平行求出； （2）利用到角公式求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程，求出其与轴，轴的交点坐标，求出所围成的三角形面积. 在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即. 在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 【变式3】 已知的顶点坐标是，为的中点． (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求得，再由直线方程的两点式，即可求解； （2）根据条件，求出直线过点且与直线平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以的方程是， 即. （2）因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为， 即， 设其与轴交点为，与轴交点为，令，得，令，得， 所以，所以， 故经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为． 1．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 2．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 3．已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】直线与直线垂直， 则，解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 4．已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 【答案】AC 【分析】A选项，由两点斜率公式得到A正确；B选项，得到直线的斜率，从而得到直线的倾斜角；C选项，由中点坐标公式可得C正确；D选项，得到与不平行，D错误. 【详解】A选项，直线的斜率为，A正确； B选项，直线的斜率为，故直线的倾斜角不为，B错误； C选项，线段的中点坐标为，C正确； D选项，，显然，故与不平行， 故四边形不是平行四边形，D错误. 故选：AC 5．同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 【答案】AD 【分析】根据两条直线平行计算求出参数判断A，C，根据平行直线位置关系判断D，应用两点求出斜率判断B. 【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 6．下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 【答案】BCD 【分析】对于A：将直线方程化为斜截式即可判断斜率；对于B：根据倾斜角的定义即可判断；对于C：过与x轴垂直的直线方程为；对于D：斜率相等，纵截距不相等，两直线平行． 【详解】对于选项A：，斜率为，并非，故A错误； 对于选项B：直线是垂直于轴的直线，根据倾斜角定义，其倾斜角为，故B正确； 对于选项C：过点且与轴垂直的直线方程为，故C正确； 对于选项D：直线与的斜率均为3，且纵截距（1和）不相等，故它们平行，故D正确． 故选：BCD． 7．关于直线，下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、三、四象限 D．直线与直线平行 【答案】AB 【分析】判断A，求得直线斜率可得倾斜角；判断B，由截距定义计算；判断C，作出图象，根据图象判断；判断D，由直线平行的条件判断. 【详解】直线可化为， 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为2，故B正确； 对于C，作出直线的图象如下：    由图象可知直线经过第一、二、三象限，故C错误； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 故选：AB. 8．已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 【答案】 【分析】根据两条斜率存在的直线垂直时，斜率乘积为，求出直线的斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：因为，，，所以直线的斜率， 又直线与直线垂直，设直线的斜率为，则，所以， 因为直线过点，代入直线点斜式方程得，化简得. 9．已知点，直线l： (1)求点M关于点对称点的坐标 (2)求过点M与直线l平行的直线. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意可得点为，的中点，由中点坐标公式求解即可； （2）设所求直线方程为，代入点，求解即可. 【详解】（1）设， 则点为，的中点， 所以，解得， 所以； （2）设所求直线方程为， 代入点， 则有， 解得， 所以所求直线方程为：. ． 10．已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与直线垂直的条件直接求解； （2）利用直线与直线平行的条件直接求解． 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 1．下列直线与直线平行的有（    ） A．直线经过点，直线过点 B．直线经过点，直线过点 C．直线经过点，直线的倾斜角为且过原点 D．直线经过点，直线的斜率为0 【答案】AC 【分析】根据两直线平行的条件逐项判断即可. 【详解】对于A： ，所以. 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 所以直线与直线平行，所以A正确； 对于B： ，所以. 所以直线与直线不平行，所以B错误； 对于C： ，直线的斜率为，所以. 直线的方程为，即， 直线的方程为，此时两直线平行，所以C正确； 对于D： 直线的方程为，直线与轴平行或重合， 此时两直线垂直，不平行，所以D错误. 故选：AC. 2．下列说法正确的是（　　） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．斜率为的直线与直线一定平行 C．经过两个不同的点的直线总可以用方程表示 D．直线关于点对称的直线方程是 【答案】CD 【分析】分析直线斜率是否存在可判断A，考虑直线重合情况可判断B，分类讨论斜率是否存在两种情况可判断C，求直线关于点的对称直线可判断D. 【详解】对于，经过定点且斜率存在的直线才可以用方程表示， 斜率不存在时，用方程来表示，故A错误； 对于，斜率为的直线与直线可能重合，故B错误； 对于，经过两个不同的点的直线有两种情况： 当时，直线方程为，整理得， 当时，直线方程为，满足方程， 故经过两个不同的点的直线总可以用方程表示，故C正确； 对于，设点关于点的对称点为， 则由，得，由点在直线0上， 得，即，故D正确． 故选：CD 3．已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 【答案】BD 【详解】由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 4．已知直线：，则下列结论正确的有（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线的倾斜角为 C．直线与直线垂直 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】ABC 【分析】整理直线方程后得到一个方程组，可得直线所过的定点，判断A；首先根据方程得到斜率，再求得其倾斜角，可判断B；由直线垂直的充要条件可判断C；根据直线的方程求得截距，进而判断D. 【详解】对于A，由得. 因为该方程对所有的恒成立，所以，所以直线恒过点，故A正确. 对于B，当时，直线的方程为，所以其斜率为，所以的倾斜角为，故B正确. 对于C，对于直线：与直线，当时，两条直线分别为和，满足垂直关系；当时，整理两条直线的方程得，，斜率之积为，满足垂直关系，所以C正确. 对于D，当时，直线的方程为，即，直线与坐标轴的交点为，因为，所以在两坐标轴上的截距不相等，故D错误. 故选：ABC. 5．已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 6．数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 【答案】 【详解】 已知，设中点为，则， 由斜率公式可得， 设中垂线所在直线斜率为，则，解得， 故中垂线所在直线的方程为，一般式为． 7．已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 8．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【分析】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【详解】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 9．已知的三个顶点为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先根据垂直关系求的斜率，再代入点斜式直线方程； （2）首先利用中点坐标公式求点的坐标，再根据直线上两点求直线的斜率以及直线方程. 【详解】（1）因为的三个顶点为， 所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为， 化为一般式方程为； （2）因为，所以的中点为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为， 化为一般式为. 10．已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【答案】(1) (2)是 (3) 【分析】（1）运用直线的斜率相等构造方程组计算D坐标； （2）运用直线斜率乘积判断，进而判断菱形； （3）运用两点式得到直线AD方程. 【详解】（1）设，因为四边形为平行四边形， 所以 所以解得，所以 （2）因为 所以， 所以.所以为菱形. （3）由于则直线AD方程为：，化简得到直线AD方程为:. 11．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 12．已知的三个顶点，，，点D，E分别为边，的中点． (1)求直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设是直线上任意一点，利用的坐标计算得出点的轨迹方程即可； （2）设点是所在直线上任意一点，利用的坐标计算得出点的轨迹方程即可. 【详解】（1）设是直线上任意一点，则， 因为点D，E分别为边，的中点，所以，， 则，， 所以， 即为直线的方程． （2）设点是所在直线上任意一点，则，所以， 又，，所以， 即为所求直线的方程． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 两条直线的平行与垂直 教学目标 1.掌握斜截式、一般式下两条直线平行、垂直的判定条件，区分斜率存在与不存在的特殊情况； 2.分清直线平行、重合、相交、垂直四种位置关系，规避 “斜率相等即平行” 等易错误区； 3.熟练使用平行直线系、垂直直线系快速设写直线方程； 4.能根据平行、垂直条件求解参数，结合定点、截距、三角形面积完成计算； 5.综合几何图形（直角、矩形）利用平行垂直关系求点坐标、直线解析式。 教学重难点 1.重点 斜截式平行、垂直斜率关系； 一般式平行垂直通用判定公式； 利用平行 / 垂直求直线方程。 2.难点 斜率不存在时分类讨论； 区分平行与重合； 含多参数直线分类求值； 垂直结合几何图形综合计算。 知识点 01 斜截式下两直线平行判定 设直线 两直线斜率均存在、不重合： 两直线斜率均不存在（竖直线）：时互相平行； 易错提醒：仅不能判定平行，若两直线重合。 【即学即练】 下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 知识点 02 斜截式下两直线垂直判定 两条直线斜率均存在： 特殊垂直组合：一条水平线（k=0）+ 一条竖直线（斜率不存在），两直线垂直； 限制：只适用于两条直线斜率都存在的场景。 【即学即练】 已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 知识点 03 一般式直线平行、垂直通用判定（无斜率限制） 设 平行（不重合）： 垂直（充要条件）： 优势：不需要讨论斜率是否存在，含参数大题优先选用一般式判定。 【即学即练】 若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 知识点 04 平行直线系、垂直直线系 平行直线系：与Ax+By+C=0平行的直线统一形式： 垂直直线系：与Ax+By+C=0垂直的直线统一形式： 作用：已知平行 / 垂直条件求直线方程，可直接设式，简化计算。 【即学即练】 1.直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 2.若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 题型 01 判断两条直线平行与垂直 【典例1】 判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 【变式1】 已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 【变式2】 已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 【变式3】 已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 02 已知两直线平行，求参数取值 【典例1】 若直线与平行，求的值. 【变式1】 （1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 【变式2】 已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 题型 03 已知两直线垂直，求参数取值 【典例1】 已知直线与直线垂直，则______． 【变式1】 若直线与直线垂直，则__________. 【变式2】 若直线与垂直，则a的值为______． 【变式3】 若直线与直线互相垂直，那么a的值等于______． 【变式4】 若直线与垂直，则实数_______________ 题型 04 过定点作已知直线的平行线，求直线方程 【典例1】 （1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （2）求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【变式1】 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： (1)直线与直线平行： (2)直线在两个坐标轴上的截距相等. 【变式2】 已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程； (2)求与平行时的直线的方程． 题型 05 过定点作已知直线的垂线，求直线方程 【典例1】 已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 【变式1】 求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【变式2】 已知直线与直线的交点为P， (1)直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； (2)直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 题型 06 两点连线与已知直线平行 / 垂直，求点内参数 【典例1】 以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【变式1】 已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【变式2】 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式3】 已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型 07 平行、垂直结合截距综合题（截距相等 / 相反数 / 面积） 【典例1】 已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) 【变式1】 已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【变式2 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【变式3】 已知的顶点坐标是，为的中点． (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 1．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 5．同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 6．下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 7．关于直线，下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、三、四象限 D．直线与直线平行 8．已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 9．已知点，直线l： (1)求点M关于点对称点的坐标 (2)求过点M与直线l平行的直线. 10．已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 1．下列直线与直线平行的有（    ） A．直线经过点，直线过点 B．直线经过点，直线过点 C．直线经过点，直线的倾斜角为且过原点 D．直线经过点，直线的斜率为0 2．下列说法正确的是（　　） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．斜率为的直线与直线一定平行 C．经过两个不同的点的直线总可以用方程表示 D．直线关于点对称的直线方程是 3．已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 4．已知直线：，则下列结论正确的有（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线的倾斜角为 C．直线与直线垂直 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 5．已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 6．数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 7．已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 8．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状；. 9．已知的三个顶点为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程.. 10．已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 11．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 12．已知的三个顶点，，，点D，E分别为边，的中点． (1)求直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $