第1章 1.3 第3课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学直线与方程核心知识点，系统梳理方向向量、斜率、倾斜角等基础概念，衔接直线方程的点斜式、截距式、一般式等形式，延伸至过定点、与坐标轴围成三角形面积、旋转等综合应用，构建从基础到进阶的学习支架。 该资料通过分层题目设计（选择、填空、解答）与详细解析，如第3题对比不同方程形式正误培养推理意识（数学思维），结合倾斜角、方向向量问题提升几何直观与抽象能力（数学眼光），以方程表达几何关系强化数学语言应用。课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固知识、查漏补缺。

1．直线x－y＋1＝0的一个方向向量的坐标是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1，－) D．(1，－) 解析：选A．直线x－y＋1＝0的斜率为k＝，则该直线的一个方向向量的坐标是(1，)，而选项B，C，D中对应向量与(1，)不共线，因此A正确，B，C，D错误． 2．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝(　　) A．－1 B．－24 C．－2 D．2 解析：选B．令x＝0，解得y＝，令y＝0，解得x＝－，由题意得－＋＝2，解得k＝－24. 3．已知直线l过点(5，4)，且方向向量为m＝(1，2)，则(　　) A．直线l的点斜式方程为y－5＝2(x－4) B．直线l的斜截式方程为x＝y＋3 C．直线l的截距式方程为－＝1 D．直线l的一般式方程为2x－y－6＝0 解析：选D．因为直线l的方向向量为m＝(1，2)，所以直线l的斜率为2.因为直线l过点(5，4)，所以直线l的点斜式方程为y－4＝2(x－5)，化为一般式2x－y－6＝0，故A错误，D正确；化为斜截式y＝2x－6，故B错误；化为截距式＋＝1，故C错误．故选D． 4．(2026·朝阳期中)若直线l1：mx－3y－2＝0的倾斜角是直线l2：x－y＋3＝0的倾斜角的两倍，则实数m＝(　　) A． B．3 C．－3 D．－ 解析：选C．直线l2：x－y＋3＝0的斜率k2＝，其倾斜角θ＝60°，因此直线l1的倾斜角为2θ＝120°，其斜率为tan 120°＝－＝，所以m＝－3. 5．(2026·桂林月考)在同一平面直角坐标系内作出直线ax－y＋b＝0与bx－y－a＝0，则下列选项可能正确的是(　　) 解析：选A．由题图中两直线都不与坐标轴垂直可知ab≠0，所以两直线均不过原点，排除C； ax－y＋b＝0中取y＝0得x＝－，bx－y－a＝0中取y＝0得x＝，由－，符号相反，可排除B，D；易知A正确． 6．(多选)若直线l：(2a－1)x＋(a－3)y＋1＝0不经过第四象限，则实数a的可能取值为(　　) A． B． C．3 D．4 解析：选BC． 直线方程可化为a(2x＋y)－x－3y＋1＝0， 由解得 即直线过定点(－，)，因为定点在第二象限且直线l：(2a－1)x＋(a－3)y＋1＝0不经过第四象限，所以直线斜率不存在或斜率大于等于0， 当直线斜率不存在时，a＝3； 当直线斜率大于等于0时， 即－≥0，解得≤a＜3. 综上可知，实数a的取值范围为[，3]，B，C选项符合要求． 7．已知直线l：x－y＋2＝0与y轴交于点A，将l绕点A顺时针旋转15°得到直线m，则直线m的一般式方程为________________________． 解析：在x－y＋2＝0中令x＝0得y＝2，所以A(0，2)，又直线l的斜率为，倾斜角为60°，将l绕点A顺时针旋转15°得到直线m的倾斜角为45°，所以直线m的斜率为tan 45°＝1，所以直线m的方程为y＝x＋2，一般式为x－y＋2＝0. 答案：x－y＋2＝0 8．已知直线l：(m2＋1)x－2y＋1＝0(m为常数)，若直线l的斜率为，则m＝__________________________；若m＝－1，直线l的倾斜角为________． 解析：因为直线l：(m2＋1)x－2y＋1＝0(m为常数)，直线l的斜率为，所以＝，解得m＝0.因为直线l：(m2＋1)x－2y＋1＝0(m为常数)，m＝－1，所以直线l的斜率k＝＝1，所以直线l的倾斜角为45°. 答案：0　45° 9．(2026·毕节月考)已知直线x－2y－2k＝0与两坐标轴围成的三角形面积不大于9，则实数k的取值范围是________． 解析：令x＝0，得y＝－k；令y＝0，得x＝2k，所以三角形的面积为S＝|(－k)·2k|＝k2， 又因为S≤9，即k2≤9，即－3≤k≤3， 又当k＝0时，直线过原点，此时直线x－2y－2k＝0与坐标轴不构成三角形，故k≠0， 所以实数k的取值范围是[－3，0)∪(0，3]. 答案：[－3，0)∪(0，3] 10．(13分)根据下列各条件写出直线的方程，并且化为一般式． (1)经过点P(－2，1)，斜率为2；(4分) (2)在x轴、y轴上的截距分别为2，4；(4分) (3)直线的一个方向向量的坐标为(1，3)，且在x轴上的截距为1.(5分) 解：(1)经过点P(－2，1)，斜率为2的直线的方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0. (2)在x轴、y轴上的截距分别为2，4的直线的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0. (3)直线的一个方向向量的坐标为(1，3)，则该直线的斜率为＝3，因为该直线在x轴上的截距为1，所以该直线经过点(1，0)，所以该直线的方程为y＝3(x－1)， 即3x－y－3＝0. 11．已知直线l1：mx－y＋2m－1＝0过定点P，若点P在直线l2：Ax＋By＋2＝0上，且AB>0，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D．因为直线l1：mx－y＋2m－1＝0可化为m(x＋2)－(y＋1)＝0，令解得所以定点P(－2，－1)，又因为点P在直线l2：Ax＋By＋2＝0上，所以2A＋B＝2，则＋＝×(2A＋B)(＋)＝×(4＋＋)≥×(4＋2)＝4，当且仅当＝，即A＝，B＝1时取等号，所以＋的最小值为4.故选D． 12．(2026·濮阳期中)已知点M(－1，1)，N(2，2)，直线l：kx－y－k－2＝0上总存在一点P，使得＝λ(0≤λ≤1)，则实数k的取值范围为________． 解析：直线l的方程kx－y－k－2＝0可转化为y＋2＝k(x－1)，即直线l过定点A(1，－2). 依题意，直线l与线段MN相交，临界情况为恰好经过点M或经过点N时，因为kAM＝＝－，kAN＝＝4，由图可知，k≥4或k≤－. 答案：(－∞，－]∪[4，＋∞) 13．(13分)(2026·天津月考)已知A(1，0)，B(－3，3)为直线l1上两点，直线l2：(m＋1)x＋(m－1)y＋6＝0. (1)求直线l1的方程；(5分) (2)若经过点B的直线l3与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l3的方程．(8分) 解：(1)因为A(1，0)，B(－3，3)为直线l1上两点， 所以直线l1的斜率为＝－， 故直线l1的方程为y－0＝－(x－1)，即3x＋4y－3＝0. (2)由题意可设直线l3的方程为＋＝1，a，b≠0，因为直线l3经过B(－3，3)，所以＋＝1.因为直线l3与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以|a|＝|b|. 当a＝b时，则＋＝1，显然不成立，故舍去； 当a＝－b时，则＋＝1，即－＝1，解得a＝－6，b＝6，所以直线l3的方程为＋＝1，即x－y＋6＝0. 14．(15分)已知直线l：(1＋4k)x－(2－3k)y＋2－14k＝0，点M(6，－6)，N(－3，3). (1)证明：对任意实数k，直线l恒过第一象限；(7分) (2)实数k取何值时，直线l经过线段MN的中点P？并求出该直线方程．(8分) 解：(1)证明：因为直线l：(1＋4k)x－(2－3k)y＋2－14k＝0， 所以x－2y＋2＋k(4x＋3y－14)＝0， 因为k∈R， 所以解得 所以对任意实数k，直线l都经过一个定点(2，2)，而定点(2，2)在第一象限内，所以直线l恒过第一象限． (2)依题意得P(，－)，把点P的坐标代入直线l的方程，得(1＋4k)×－(2－3k)×(－)＋2－14k＝0， 解得k＝， 此时，直线l的方程为(1＋4×)x－(2－3×)y＋2－14×＝0， 整理得7x－y－12＝0. 所以当k＝时，直线l经过线段MN的中点P，此时直线l的方程为7x－y－12＝0. 15．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(3，2)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为_________________________________． 解析：将点A(3，2)代入两条直线方程可得所以点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线3x＋2y＋1＝0上，而经过两点的直线只有一条，所以直线的方程为3x＋2y＋1＝0. 答案：3x＋2y＋1＝0 学科网（北京）股份有限公司 $