第1章 1.3 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦直线方程的核心知识点，系统梳理两点式、截距式等方程求法，衔接斜率、倾斜角、对称点、截距范围及面积计算等内容，构建从基础到综合的递进式学习支架。 资料设计层次分明，通过反射光线方程（如第4题）培养数学眼光观察对称关系，借助截距范围求斜率（如第5题）锻炼数学思维推理，规范解析过程助力数学语言表达。课中辅助分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1．过点(－2，1)和(1，4)的直线方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＋3＝0 解析：选D．由题意可知，直线的两点式方程为＝，即为x－y＋3＝0. 2．在x轴与y轴上截距分别为2，2的直线的倾斜角为(　　) A．150° B．135° C．90° D．45° 解析：选B．由题意可得直线方程为＋＝1，化简可得y＝－x＋2，所以直线的斜率为k＝－1，则直线的倾斜角为135°. 3．两方程－＝1与－＝1对应的直线可能是图中的(　　) 解析：选B．直线－＝1的斜率k1＝＝，直线－＝1的斜率k2＝＝，所以直线－＝1与直线－＝1斜率的符号相同，故只有B选项符合题意． 4．一条光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－5＝0 C．x－y－2＝0 D．x＋y－2＝0 解析：选D．P(6，4)关于x轴的对称点P′(6，－4)，光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，则反射光线经过点P′，Q，由两点式方程可知， 所求直线方程为＝，化简得x＋y－2＝0. 5．已知直线l经过点A(1，2)，且在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．(－1，) B．(－，1) C．(－∞，－1)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(1，＋∞) 解析：选C．设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，解得x＝1－，故直线l在x轴上的截距为1－，因为直线l在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，所以－3<1－<3，解得k<－1或k>.故选C． 6．(多选)若直线l过点(－4，2)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为(　　) A．x＋2y＝0 B．x－2y＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＋6＝0 解析：选AD．当直线l过原点时，它在两坐标轴上的截距都为0，互为相反数，直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0； 当直线l不过原点时，设其方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝－6， 直线l的方程为＋＝1，即x－y＋6＝0. 所以直线l的方程为x＋2y＝0或x－y＋6＝0. 7．直线－＝1与两坐标轴围成的图形面积为 ________． 解析：直线－＝1在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为－5，所以所求面积为×2×|－5|＝5. 答案：5 8．若直线l与x轴、y轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为(3，1)，则直线l的方程为________． 解析：依题知，直线l与x轴、y轴的截距都存在且都不为0，设直线l的方程为＋＝1，又线段AB的中点为(3，1)，则＝3，＝1，即a＝6，b＝2，则直线l的方程为＋＝1，即x＋3y－6＝0. 答案：x＋3y－6＝0 9．(2026·朝阳期中)若经过点(2，1)的直线l在x轴、y轴上的截距之比为4∶1，则l与两坐标轴围成的三角形的面积为________． 解析：由题意可知，直线l不过原点， 设直线l的方程为＋＝1， 则则 所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为××6＝. 答案： 10．(13分)已知在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求： (1)点C的坐标；(6分) (2)直线MN的方程．(7分) 解：(1)设点C的坐标为(m，n)，因为AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，所以解得所以点C的坐标为(1，－3). (2)由(1)知，M(0，－)，N(，0)，由直线方程的截距式，得直线MN的方程为＋＝1，即y＝x－. 11．(2026·镇江月考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：＋|y|＝1的周长为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选C．在曲线C的方程＋|y|＝1中，将x用－x或y用－y代换，曲线方程都没有变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，当x≥0，y≥0时，曲线C的方程为＋y＝1，表示以(，0)和(0，1)为顶点的线段，其长度为＝2，根据对称性知，其他三条线段的长度也为2，所以曲线C：＋|y|＝1的周长为4×2＝8. 12．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一个动点P(x，y)，则xy的最大值为________． 解析：直线AB的方程为＋＝1，动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y， 所以xy＝(3－y)y＝3y－y2＝－(y－2)2＋3≤3，即当点P的坐标为(，2)时，xy取最大值3. 答案：3 13．(13分)在平面直角坐标系xOy中，过P(1，2)的直线l与两坐标轴交于A，B两点，△OAB的面积记为S. (1)当直线l在x轴上截距为4时，求S的值；(5分) (2)当S＝6时，求直线l在x轴上的截距．(8分) 解：(1)当直线l在x轴上截距为4时，直线l过点(4，0)，又直线l过P(1，2)，根据两点式，得＝，即2x＋3y－8＝0. 令x＝0，得y＝， 所以△OAB的面积S＝×4×＝. (2)由题知，截距一定不为0，不妨设直线l：＋＝1. 则 得或或 或 所以直线l在x轴上的截距为3±，－3±. 14．(15分)已知直线l过点A(2，3)，且分别与x轴的正半轴交于M点、y轴的正半轴交于N点，O为坐标原点 . (1)若A为MN的中点，求直线l的方程；(6分) (2)求|OM|＋2|ON|的最小值．(9分) 解：(1)由题意可设l的方程为＋＝1， 由A(2，3)为MN的中点可知|OM|＝m＝4，|ON|＝n＝6， 故直线l的方程为＋＝1， 即3x＋2y－12＝0. (2)设直线l的方程为＋＝1(a，b>0)，将(2，3)代入得＋＝1， 故|OM|＋2|ON|＝a＋2b＝(a＋2b)(＋)＝2＋6＋＋≥8＋4， 当且仅当＝，即a＝2＋2，b＝3＋时等号成立， 故|OM|＋2|ON|的最小值为8＋4. 15．(2026·驻马店期末)已知菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，|AC|＝2，E为BC边上动点，则·的最小值为________． 解析：依题意，以直线AC，BD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图， |OB|＝＝，A(－，0)，B(0，)，C(，0)，D(0，－)， 直线BC的方程为＋＝1， 设E(t，－t＋)，0≤t≤， 则＝(－－t，t－)，＝(－t，t－2)， 因此·＝t2＋t＋2t2－6t＋12＝3t2－5t＋12＝3(t－)2＋≥，当且仅当t＝时取等号，所以·的最小值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $