第1章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

1．3　直线的方程

第1课时　直线方程的点斜式

知识点一　直线方程的点斜式

思考1　在平面内，过点P0(x0，y0)的直线有多少条？

提示：无数条．

思考2　在平面内，斜率为k的直线有多少条？

提示：无数条．

思考3　在平面内，过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？

提示：有且只有一条．

[知识梳理]

1．直线l的方程

一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程．

2．直线方程的点斜式

(1)定义

直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k，我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程，方程y－y0＝k(x－x0)称为直线方程的点斜式．

(2)两种特殊直线

①当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程为y＝y0．

②当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程为x＝x0．

[例1] (1)(多选)在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是(　　)

A．每一条直线都有点斜式方程

B．倾斜角是钝角的直线，斜率为负数

C．方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)表示同一条直线

D．直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0

(2)(2026·房山月考)过点(－1，2)且斜率为－1的直线，其点斜式方程为(　　)

A．y－2＝－(x＋1) B．y＋2＝－(x－1)

C．y－2＝x＋1 D．y＋2＝x－1

【解析】　(1)对于A，斜率不存在的直线无点斜式方程，故A错误；对于B，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故B正确；对于C，方程k＝表示直线y＋1＝k(x－2)去掉点(2，－1)，与方程y＋1＝k(x－2)不表示同一直线，故C错误；对于D，直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，故D正确．故选BD．

(2)过点(－1，2)且斜率为－1的直线，其点斜式方程为y－2＝－(x＋1).

【答案】　(1)BD　(2)A

(1)定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)；

(2)已知直线的一个方向向量和某点坐标，或两点坐标时，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程．

(3)直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．

[跟踪训练1] (1)已知直线l的倾斜角为α，且cos α＝，若l过点(1，0)，则直线

l的点斜式方程为________．

解析：由直线l的倾斜角为α，且cos α＝，得sin α＝＝，则tanα＝，

所以直线l的斜率k＝，即直线l的点斜式方程为y－0＝(x－1)，即y＝(x－1).

答案：y＝(x－1)

(2)(2026·焦作期中)在平面直角坐标系中，斜率为－的直线l经过点P(t，0)(t>0)，若直线l与坐标轴围成的直角三角形的面积为3，则t的值为________．

解析：由题意得直线l的方程为y＝－(x－t)，令x＝0，则y＝t，所以×t×t＝3，解得t＝－2(舍去)或t＝2.

答案：2

知识点二　直线方程的斜截式

思考　在平面内，过点P0(0，b)且斜率为k的直线方程如何表示？

提示：y＝kx＋b.

[知识梳理]

若直线l经过点(0，b)且斜率为k，则方程y－y0＝k(x－x0)中的点P(x0，y0)就可以为点(0，b)，所以该直线方程的点斜式为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.该方程中的k为直线l的斜率，b为直线l在y轴上的截距．称y＝kx＋b为直线方程的斜截式．

[例2] (对接教材例7)求满足下列条件的直线的方程．

(1)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2；

(2)倾斜角为60°，在y轴上的截距为3.

【解】　(1)因为直线y＝x＋1的斜率为，