第1章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学直线方程的点斜式与斜截式核心知识点，从直线确定条件（过定点且斜率存在）推导点斜式，涵盖倾斜角0°（y=y0）和90°（x=x0）的特殊情况，再通过y轴截距点引出斜截式（y=kx+b），构建从一般到特殊的学习支架。 资料以射击瞄准实例导入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过思考问题链培养数学思维，结合面积计算、定点问题等例题训练数学语言表达。课中例题解析与母题探究提升教学效果，课后跟踪训练与练习题助力学生查漏补缺。

1．3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 新课导入 学习目标 射击运动员在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且运动员达到了上述的两个动作要求，试从数学角度分析子弹是否会命中目标． 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程. 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．　3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题． 知识点一　直线方程的点斜式 思考1　在平面内，过点P0(x0，y0)的直线有多少条？ 提示：无数条． 思考2　在平面内，斜率为k的直线有多少条？ 提示：无数条． 思考3　在平面内，过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？ 提示：有且只有一条． [知识梳理] 1．直线l的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线方程的点斜式 (1)定义 直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k，我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程，方程y－y0＝k(x－x0)称为直线方程的点斜式． (2)两种特殊直线 ①当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程为y＝y0． ②当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程为x＝x0． [例1] (1)(多选)在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是(　　) A．每一条直线都有点斜式方程 B．倾斜角是钝角的直线，斜率为负数 C．方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)表示同一条直线 D．直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0 (2)(2026·房山月考)过点(－1，2)且斜率为－1的直线，其点斜式方程为(　　) A．y－2＝－(x＋1) B．y＋2＝－(x－1) C．y－2＝x＋1 D．y＋2＝x－1 【解析】　(1)对于A，斜率不存在的直线无点斜式方程，故A错误；对于B，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故B正确；对于C，方程k＝表示直线y＋1＝k(x－2)去掉点(2，－1)，与方程y＋1＝k(x－2)不表示同一直线，故C错误；对于D，直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，故D正确．故选BD． (2)过点(－1，2)且斜率为－1的直线，其点斜式方程为y－2＝－(x＋1). 【答案】　(1)BD　(2)A (1)定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)； (2)已知直线的一个方向向量和某点坐标，或两点坐标时，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． (3)直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． [跟踪训练1] (1)已知直线l的倾斜角为α，且cos α＝，若l过点(1，0)，则直线l的点斜式方程为________． 解析：由直线l的倾斜角为α，且cos α＝，得sin α＝＝，则tanα＝， 所以直线l的斜率k＝，即直线l的点斜式方程为y－0＝(x－1)，即y＝(x－1). 答案：y＝(x－1) (2)(2026·焦作期中)在平面直角坐标系中，斜率为－的直线l经过点P(t，0)(t>0)，若直线l与坐标轴围成的直角三角形的面积为3，则t的值为________． 解析：由题意得直线l的方程为y＝－(x－t)，令x＝0，则y＝t，所以×t×t＝3，解得t＝－2(舍去)或t＝2. 答案：2 知识点二　直线方程的斜截式 思考　在平面内，过点P0(0，b)且斜率为k的直线方程如何表示？ 提示：y＝kx＋b. [知识梳理] 若直线l经过点(0，b)且斜率为k，则方程y－y0＝k(x－x0)中的点P(x0，y0)就可以为点(0，b)，所以该直线方程的点斜式为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.该方程中的k为直线l的斜率，b为直线l在y轴上的截距．称y＝kx＋b为直线方程的斜截式． [例2] (对接教材例7)求满足下列条件的直线的方程． (1)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (2)倾斜角为60°，在y轴上的截距为3. 【解】　(1)因为直线y＝x＋1的斜率为， 所以其倾斜角为60°，故所求直线的倾斜角为30°，所以k＝tan 30°＝.又b＝－2，所以直线方程为y＝x－2. (2)因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.又b＝3，所以所求直线方程为y＝x＋3. 母题探究　将本例(2)的条件“在y轴上的截距为3”变为“与y轴的交点到原点的距离为3”，则直线的方程为________． 解析：因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.所以所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 答案：y＝x＋3或y＝x－3 (1)直线方程的斜截式是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要已知条件中给出的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示． (2)直线方程的斜截式y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可． 提醒　(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0(当截距均为0时直线过原点). (3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，直线的斜截式方程就是函数解析式，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距． [跟踪训练2] (1)(2026·哈尔滨期中)直线y＝－x＋2的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由题知，直线y＝－x＋2的斜率为－，记倾斜角为α，则tan α＝－，因为α∈[0，π)，所以α＝. (2)已知直线l在y轴上的截距为2，且直线l的一个方向向量为a＝(1，2)，则直线l的方程是 ________． 解析：因为直线l的一个方向向量为a＝(1，2)，则该直线的斜率为k＝＝2， 又因为直线l在y轴上的截距为2，故该直线的方程为y＝2x＋2. 答案：y＝2x＋2 应用点　含参数的直线方程的几何特征 [例3] 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【解】　(1)证明：将直线l的方程整理为y－＝a，所以l的斜率为a，且过定点A.而点A(，)在第一象限，故直线l总经过第一象限． (2)直线OA的斜率为k＝＝3.因为l不经过第二象限，所以a≥3.故实数a的取值范围是[3，＋∞). (1)直线y＝kx＋b的图象特征：一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负． (2)含参数的直线过定点：对于含参数k的直线y－y0＝k(x－x0)，该直线一定过定点(x0，y0). [跟踪训练3] (1)(多选)(2026·南昌月考)直线l1：y＝ax＋b与l2：y＝bx＋a(a，b∈R)在同一平面直角坐标系内的位置可能是(　　) 解析：选BC．对于A，两条直线的斜率和在y轴上的截距均大于0，且其中一条直线的斜率和在y轴上的截距均大于另一条直线的斜率和在y轴上的截距，不符合题意，A不正确； 对于B，当ab<0时，符合题意，B正确； 对于C，当或时，符合题意，C正确； 对于D，其中一条直线的斜率不存在，不符合题意，D不正确． (2)已知直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(3，1) D．(2，1) 解析：选C．方法一：把直线方程整理为k(x－3)－y＋1＝0，令解得所以直线恒过定点坐标为(3，1).故选C． 方法二：直线方程可化为点斜式y－1＝k(x－3)，所以直线恒过定点(3，1). 1．(教材P11 T1改编)若直线l的斜率为－，在y轴上的截距为－1，则l的方程为(　　) A．y＝－(x＋1) B．y＝－(x－1) C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1 解析：选C． 斜率为－，在y轴上的截距为－1的直线l的方程为y＝－x－1. 2．对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是(　　) A．(2，3) B．(3，2) C．(－2，3) D．(3，－2) 解析：选B．y＝ax－3a＋2整理为y－2＝a(x－3)，所以直线经过的定点为(3，2).故选B． 3．若直线l经过点A(1，－2)且倾斜角为，则直线l的点斜式方程是________． 解析：由直线l的倾斜角为，得直线l的斜率k＝tan ＝，又直线l过点A(1，－2)，所以直线l的点斜式方程是y＋2＝(x－1). 答案：y＋2＝(x－1) 4．(2026·驻马店月考)直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3. (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 解：(1)因为直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3， 由斜截式得直线l的方程为y＝3x－3. (2)在y＝3x－3中，令y＝0，即3x－3＝0，解得x＝1，即直线l与x轴的交点坐标为(1，0)，则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝×1×|－3|＝. 1．已学习：直线的方程的概念、直线方程的点斜式、斜截式． 2．须贯通：利用直线方程的点斜式、斜截式解决有关问题． 3．应注意：(1)求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况； (2)混淆直线的截距和距离． 学科网（北京）股份有限公司 $