1.1.1 一次函数的图象与直线的方程&1.1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦直线的倾斜角、斜率及其关系核心知识点，衔接一次函数图象与直线方程，系统讲解倾斜角定义与范围、斜率公式及与倾斜角、方向向量的关系，构建从几何要素到代数刻画的学习支架。 资料以斜拉桥实例引入问题，通过图形分析倾斜角旋转、斜率范围等培养直观想象，结合定义辨析与综合应用强化数学运算，课中助力教师引导知识建构，课后分层练习帮助学生查漏补缺，体现数学抽象与应用意识。

1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 课标 要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素（数学抽象）. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式（直观想象、数学运算）. 3.掌握直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系（直观想象、数学运算）. 　　如图，斜拉桥的桥梁一般跨度较大，有利于跨越很宽的障碍物，这些大桥的斜拉索的陡缓程度不一. 【问题】　直线的倾斜角与斜索的陡缓程度有怎样的关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向）按　逆时针　方向绕着交点旋转到和直线l首次　重合　时所成的角，称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示； （2）范围：当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角α的取值范围为　[0，π）　. 提醒：在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的非负角. 2.斜率 称k＝　　（其中x1≠x2）为经过不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线l的斜率. 若直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在；若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一. 知识点二　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 1.直线的斜率k与倾斜角α的关系 若直线l的倾斜角为α，则直线l的斜率为k＝　tan α　. （1）当α∈时，斜率k　≥　0，且k随倾斜角α的增大而　增大　； （2）当α∈时，斜率k　＜　0，且k随倾斜角α的增大而　增大　； （3）当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 2.直线的斜率与方向向量的关系 （1）若k是直线l的斜率，则v＝　（1，k）　是它的一个方向向量； （2）若直线l的一个方向向量的坐标为（x，y），其中x≠0，则它的斜率k＝　　. 【想一想】 1.直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？ 提示：不是，如60°＜120°，但斜率分别为和－，而＞－.应分区间说明，当α∈[0°，90°）和α∈（90°，180°）时，上述结论在这两个区间分别成立. 2.当直线l的斜率k存在时，直线l的一个方向向量是（1，k），那么当k不存在时，它的一个方向向量是什么？ 提示：（0，1）（答案不唯一）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°.（　√　） （2）若k是直线的斜率，则k∈R.（　√　） （3）任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（　√　） （4）任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.（　×　） 2.已知点A（1，0），B（n，m），若直线AB的斜率为2，则＝（　　） A.2　　　B.－2 C.　　　D.－ 解析：C　若直线AB的斜率为2，则＝2，所以＝.故选C. 3.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的一个方向向量的坐标为　（1，）（答案不唯一）　. 解析：由直线l的倾斜角为30°，得直线l的斜率k＝tan 30°＝，所以直线l的一个方向向量的坐标为（1，）. 题型一　直线的倾斜角 （1）若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°，则直线l的倾斜角为（　D　） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° （2）〔多选〕设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（　AB　） A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° 解析：（1）如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. （2）根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知，当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选A、B. 通性通法 　　求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解答此类问题的关键是要根据题意画出图形，找准倾斜角.弄清直线是如何旋转的，并明确倾斜角的大小. 1.直线x＝的倾斜角为（　　） A.0　　　B. C.　　　D.π 解析：C　根据题意，直线x＝与x轴垂直，其倾斜角为.故选C. 2.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为　135°　. 解析：如图，直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°. 题型二　直线的斜率 角度1　根据直线的倾斜角求斜率 （1）已知直线l的倾斜角为120°，则直线l的斜率为（　D　） A. B. C.－ D.－ （2）已知斜率为2的直线l与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l'，则直线l'的斜率为　－　. 解析：（1）因为直线l的倾斜角为120°，所以直线l的斜率k＝tan 120°＝－.故选D. （2）设直线l，l'的倾斜角分别为α，β，则tan α＝2，因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l'，所以β＝α＋60°，所以直线l'的斜率为k＝tan（α＋60°）＝＝＝－. 角度2　利用经过直线上不同两点的坐标求斜率 已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A（－1，1），B（1，1），C（1，－1），求直线AB，BC，AC的斜率. 解：kAB＝＝0，kAC＝＝－1. ∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在. 通性通法 求直线斜率的方法 （1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则该直线的斜率k＝tan α； （2）公式法：已知直线上任意两点的坐标A（x1，y1），B（x2，y2）求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等，若相等，则斜率不存在；若不相等，则直线的斜率k＝. 1.已知过两点A（4，y），B（2，－3）的直线的倾斜角为135°，则y＝　－5　. 解析：直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝，由＝－1，得y＝－5. 2.过点P（－2，m），Q（m，4）的直线的斜率为1，则m的值为　1　. 解析：由斜率公式k＝＝1，得m＝1. 题型三　直线的方向向量与倾斜角、斜率之间的关系 已知直线l的一个方向向量为v＝（3，－），求直线l的斜率和倾斜角. 解：因为直线l的一个方向向量为v＝（3，－）， 所以直线l的斜率为＝－， 设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－，又0≤θ＜π，所以θ＝. 通性通法 　　设直线l的一个方向向量为a＝（u，v），直线l的倾斜角为θ，A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上不同的两点，则 （1）u＝0⇔x2－x1＝0⇔θ＝⇔k不存在； （2）u≠0⇔k＝＝tan θ＝⇔a＝u（1，k）； （3）a＝（u，v）＝λ（cos θ，sin θ）（λ≠0）； （4）v（x2－x1）－u（y2－y1）＝0. 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出直线的斜率及一个方向向量，并确定其倾斜角α. （1）A（2，3），B（4，5）； （2）C（－2，3），D（2，3）； （3）P（3，2），Q（3，6）. 解：（1）存在，直线AB的斜率kAB＝＝1，方向向量为a＝（1，1）（答案不唯一，与a＝（1，1）平行的非零向量即可），tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°. （2）存在，直线CD的斜率kCD＝＝0，方向向量为b＝（1，0）（答案不唯一，与b＝（1，0）平行的非零向量即可），tan α＝0，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝0°. （3）斜率不存在，方向向量为c＝（0，1）（答案不唯一，与c＝（0，1）平行的非零向量即可），倾斜角α＝90°. 题型四　直线的倾斜角与斜率的应用 已知坐标平面内三点P（3，－1），M（6，2），N（－，），直线l过点P.若直线l与线段MN相交： （1）求直线l的倾斜角的取值范围； （2）利用（1）的结论求直线l的斜率的取值范围. 解：（1）如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2， 由题意知，tan α1＝＝1， tan α2＝＝－， 故直线PM的倾斜角为，直线PN的倾斜角为. 结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是. （2）由（1）知≤α≤，由正切函数的性质可得， 当≤α＜时，k＝tan α≥1； 当＜α≤时，k＝tan α≤－； 当α＝时，斜率不存在. 综上，斜率k的取值范围是. 通性通法 1.求过定点P的直线l斜率的取值范围的策略 如图，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置. 2.斜率公式的几何意义 求形如的最值，利用的几何意义：连接定点（a，b）与动点（x，y）的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率的取值范围问题，简化运算过程. 已知直线l经过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是　[0，2]　. 解析：如图，当直线l位于如图阴影部分所示的区域内时（含边界），满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故k的取值范围是[0，2]. 1.〔多选〕下列选项中，两点确定的直线存在斜率的是（　　） A.（4，2）与（－4，1） B.（0，3）与（3，0） C.（3，－1）与（2，－1） D.（5，3）与（5，6） 解析：ABC　当两点所在直线与x轴垂直，即横坐标相等时，直线的斜率不存在，如选项D.否则，直线的斜率存在，故选A、B、C. 2.若经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m＝（　　） A.2 B.1 C.－1 D.－2 解析：A　由题意知，tan 45°＝，得m＝2. 3.若直线l的方向向量为a＝（1，），则直线l的斜率为（　　） A.　 　　B. C.　 　　D. 解析：D　取坐标平面内两点O（0，0）和A（1，），则a＝＝（1，），则直线OA的斜率即为直线l的斜率，而kOA＝，所以直线l的斜率为.故选D. 4.已知两点A（2，－3），B（－3，2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是　k≤－4或k≥－　. 解析：如图所示，当直线l过A时，k＝＝－4，当直线l过B时，k＝＝－，由图可知，k≤－4或k≥－. 1.（2026·宿迁质检）图中α能表示直线l的倾斜角的是（　　） 解析：A　结合直线l的倾斜角的定义可知A正确. 2.已知直线过点A（2，8），B（5，－1），则直线AB的斜率为（　　） A.3 B.－3 C. D.－ 解析：B　斜率k＝＝＝＝－3. 3.“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　若直线l的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°，若直线l的倾斜角为锐角，则该直线l的斜率为正数，即大于0，所以“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的必要不充分条件.故选B. 4.若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（　　） A.［0，） B.［，π） C.（，π） D.[0，π） 解析：C　直线的倾斜角的取值范围是0≤α＜π，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是＜α＜π. 5.过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的取值范围是（，），则实数m的取值范围是（　　） A.（0，2] B.（0，4） C.[2，4） D.（0，2）∪（2，4） 解析：B　由直线的倾斜角α的取值范围是（，），得直线的斜率存在时，k＜－1或k＞1.当m≠2时，k＝＝，∴＜－1或＞1，解得0＜m＜2或2＜m＜4.当直线的斜率不存在时，m＝2符合题意.综上，实数m的取值范围是（0，4）. 6.〔多选〕已知点A的坐标为（3，4），在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可能为（　　） A.（0，－4） B.（4，0） C.（2，0） D.（0，－8） 解析：CD　设B（x，0）或（0，y），因为kAB＝或kAB＝，所以＝4或＝4，所以x＝2或y＝－8，所以点B的坐标为（2，0）或（0，－8）. 7.〔多选〕如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　） A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k2＜k1 C.α1＜α3＜α2 D.α3＜α2＜α1 解析：AD　由题图可知k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，即k1＜k3＜k2，α3＜α2＜α1，故选A、D. 8.已知直线l的一个方向向量v＝（，－1），则直线l的斜率k＝　－　，倾斜角α＝　　. 解析：∵k＝＝－，∴tan α＝－，又∵0≤α＜π，∴α＝. 9.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为　30°　. 解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，又因为l2⊥l1，所以l3的倾斜角为×（90°－30°）＝30°. 10.已知直线l过点A（2a，3）和点B（2，－1），分别求出满足下列条件的a的取值或取值范围. （1）直线l的倾斜角为直角； （2）直线l的倾斜角为锐角； （3）直线l的倾斜角为钝角. 解：（1）当直线l的倾斜角为直角时，2a＝2， 解得a＝1. （2）当a≠1时，直线l的斜率k＝＝. 令＞0，则a＞1，所以直线l的倾斜角为锐角时，a的取值范围为（1，＋∞）. （3）当a≠1时，令＜0，则a＜1，所以直线l的倾斜角为钝角时，a的取值范围为（－∞，1）. 11.设直线l的斜率为k，且k∈（－，），则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　） A. B. C.［0，）∪（，π） D.［0，）∪（，π） 解析：D　显然k＝tan α∈（－，），α∈[0，π）.如图，由正切函数的图象与性质知，当0≤α＜时，tan α≥0，且k＝tan α 在［0，） 上单调递增，因为tan＝，tan α∈［0，），所以α∈［0，）.当＜α＜π时，tan α＜0，且k＝tan α在（，π）上单调递增，因为tan＝－，tan α∈（－，0），所以α∈（，π）.综上，直线l的倾斜角α的取值范围是［0，）∪（，π）. 12.〔多选〕若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转后得到直线l1，则直线l1的倾斜角可能为（　　） A.α＋ B.α＋ C.α－ D.－α 解析：BC　因为直线的倾斜角的取值范围为[0，π），所以当≤α＜π时，直线l1的倾斜角为α－，当0≤α＜时，直线l1的倾斜角为π－（－α）＝＋α.故选B、C. 13.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　，　－3　. 解析：设正方形为OABC，已知对角线为OB，设OB的倾斜角为θ，则kOB＝2，kOA＝tan（θ－45°）＝＝，kOC＝tan（θ＋45°）＝＝－3，所以两条邻边所在直线的斜率分别为和－3. 14.已知坐标平面内三点A（－1，1），B（1，1），C（2，＋1）. （1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； （2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围. 解：（1）由斜率公式得kAB＝＝0， kBC＝＝，kAC＝＝. 又倾斜角的取值范围为[0°，180°）， ∵tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°. ∵tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°. ∵tan 30°＝，∴直线AC的倾斜角为30°. （2）如图，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在边AB上，此时k由kCA增大到kCB，∴k的取值范围为. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $