专题1.1.1+1.1.3一次函数与直线的方程（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦一次函数与直线方程核心知识点，从一次函数图象与直线方程的对应关系切入，系统梳理倾斜角、斜率的定义及变化规律，详解点斜式、斜截式等五种直线方程形式及适用条件，构建从基础概念到方程互化与参数应用的递进学习支架，含思维导图辅助知识体系整合。 该资料以“即学即练+典例变式”为特色，通过倾斜角钝角时斜率范围讨论培养数学思维的推理意识，截距与距离概念辨析强化数学语言的精确表达。课中助力教师分层教学，课后题型训练帮助学生查漏补缺，提升知识应用与问题解决能力。

专题1.1+1.3 一次函数与直线的方程 教学目标 1.理解一次函数图象与直线方程的对应关系，掌握直线方程的定义； 2.掌握倾斜角、斜率定义，熟练两点斜率公式，理清倾斜角与斜率的变化关系； 3.熟记直线 5 类方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，掌握各类方程适用条件； 4.会用待定系数法求直线方程，能实现不同形式直线方程互化； 结合截距、斜率求解参数，会求直线与坐标轴围成图形面积，综合几何条件写直线方程。 教学重难点 1.重点 倾斜角与斜率的计算； 两点斜率公式； 直线五种方程形式； 待定系数法求直线方程。 2.难点 倾斜角钝角时斜率取值范围讨论； 各类直线方程限制条件（垂直坐标轴、过原点无截距式等）； 含参数直线分类讨论； 截距概念辨析（截距≠距离）。 知识点 01 一次函数与直线方程的对应关系 一次函数的图象是一条不垂直 x 轴的直线； 直线方程定义：直线上所有点坐标都是方程的解，方程所有解对应的点都在直线上； 只有斜率存在的直线才能写成斜截式（一次函数形式）；垂直 x 轴直线 无法表示为一次函数。 【即学即练】 若，，则直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据所给条件，画出直线在直角坐标系中的图形即可判断. 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 由图可知，直线所以不经过第三象限. 故选：C. 知识点 02 直线的倾斜角 定义：x 轴正方向逆时针旋转至直线重合的最小角，记作 取值范围：； 特殊规定：直线平行 / 重合 x 轴，；直线垂直 x 轴，； 核心结论：任意直线都有倾斜角。 【即学即练】 1.已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 2.直线的倾斜角为（   ） A．30° B．120° C．150° D． 【答案】C 【分析】由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由，得：， 故直线斜率， ，. 故选：C. 知识点 03 直线的斜率 定义：倾斜角时，，斜率不存在； 两点斜率公式：直线过 倾斜角与斜率变化规律 ，直线水平； 越大，k越大； ，斜率不存在，竖直线； 越大，k越大（趋近于 0）。 方向向量：直线方向向量(1,k)；斜率不存在时方向向量。 【即学即练】 过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 知识点 04 直线点斜式、斜截式 点斜式：过点，斜率 限制：斜率存在（不能表示垂直 x 轴直线）。 斜截式（特殊点斜式）：直线交 y 轴，斜率k b：y 轴截距（可正、负、0，不是长度）； 本质：一次函数，仅适用于斜率存在直线。 【即学即练】 过点且与直线垂直的直线的方程为__________． 【答案】 【分析】根据两直线垂直求出斜率，再根据点斜式求出方程即可得解． 【详解】设所求直线的斜率为，直线可化为，斜率为， 所以，解得，又直线过点， 所以直线方程为，整理得． 故答案为： 知识点 05 两点式、截距式 两点式：过限制：不能表示水平、竖直直线。 截距式：x 截距a，y 截距b， 限制：不过原点、不垂直坐标轴的直线。 【即学即练】 1.已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 2.直线经过点和，则它的斜率和在轴上的截距是（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由条件列方程求，由此可得结论. 【详解】因为直线经过点和， 所以， 所以， 所以直线的斜率，在轴上的截距， 故选：B. 知识点 06 直线一般式 适用所有直线，无限制； 转化规则： ，化为斜截式：，斜率； ，竖直线：，斜率不存在。 【即学即练】 过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. 知识点 07 截距基础辨析（易混） 截距是坐标值，可正、负、零；距离一定非负； 直线过原点：x、y 截距均为 0，无截距式； 水平线y=b：无 x 截距；竖直线x=a：无 y 截距。 【即学即练】 直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为b，的斜率为，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，D错误. 题型 01 倾斜角概念辨析与求倾斜角 【典例1】 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设该直线的倾斜角为，则由题意， 又，所以. 【变式1】 直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 【变式2】 已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，所以直线的斜率， 因，则直线的倾斜角． 【变式3】 直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 由题可知，直线斜率为，则， 又， 所以直线的倾斜角是． 题型 02 倾斜角范围→斜率范围综合（高频易错题） 【典例1】 已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知直线过定点， 如图所示，可知， 所以当直线与线段有公共点时，的取值范围为. 【变式1】 设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直线过定点，直线与线段没有交点，转化为过定点的直线与线段无公共点，画出图像，结合图像，即可求得答案. 【详解】 直线与线段没有交点， 即直线与线段没有交点， 对于直线， 令，则，则直线恒过点 . 根据题意，作出如下图像： ，， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， ， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 若直线与线段没有交点， 则. 题型 03 点斜式、斜截式求直线方程 【典例1】 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 【变式1】 过点且与直线垂直的直线方程为___________． 【答案】 【分析】根据垂直直线的斜率关系设出直线方程，代入点坐标，求解即可. 【详解】与直线垂直的直线方程可设为， 将点代入，得：，解得：， 所以直线方程为：，即. 故答案为：. 【变式2】 在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行关系确定直线斜率为，再结合轴截距为得到直线过点，最后用点斜式求出直线方程. 【详解】已知直线，变形为，斜率为， 因为所求直线与平行，所以斜率也为， 又因为题干说所求直线在轴上的截距为，说明直线过点； 由点斜式可直接写出所求直线为：，化简可得：. 故选：A 【变式3】 直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 【答案】 【详解】由直线l经过点，斜率是，可得其点斜式为. 题型 04 两点式、截距式求直线方程 【典例1】 已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】用两点式来求直线的方程，当时的值即为所求. 【详解】根据直线方程的两点式公式可得：， 化简可得： . 把代入，得： ，即. 所以直线在轴上的截距为. 故选：D 【变式1】 经过点和的直线的方程为________． 【答案】 【分析】已知两点， 利用两点式化简得到一般式方程即可. 【详解】由已知得直线的方程为，即． 【变式2】 不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】由已知设出直线的截距式方程，化为斜截式求其斜率得倾斜角. 【详解】由题可设的方程为，化简得， 故的斜率为1，倾斜角为. 故选：A. 【变式3】 已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 题型 05 五种直线方程互相转化 【典例1】 已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是_____． 【答案】 【分析】由直线的垂直关系得直线的斜率为，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为， 因为直线经过点， 所以直线的方程为：，即 故答案为： 【变式1】 在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 【答案】 【分析】根据截距的概念和两直线平行的性质，设出直线方程，根据截距求出参数，求出结果即可. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 在轴上的截距为5，即当时，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 【变式2】 直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 【答案】或 【分析】根据题意，分截距均为0和截距不为0，两种情况讨论，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线的方程为； 当截距不为0时，设直线的方程为，满足，解得， 此时直线的方程为， 综上可得直线的方程为或. 【变式3】 若方程表示一条直线，则实数满足_________． 【答案】 【分析】根据直线的一般式方程，，不全为0的条件，求值判断即可. 【详解】解：当时，或； 当时，或． 要使方程表示一条直线， 则，不能同时为0，所以． 题型 06 已知直线过定点求参数（分类讨论斜率不存在） 【典例1】 直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 【答案】 【分析】将直线方程化为，由求定点；直线方程化为，从而斜率为，再利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线方程可以化为， 由得， 直线方程化为， 则直线的斜率为， 因为，所以，则 ， 即， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以倾斜角的最小值是. 故答案为： 【变式1】 设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 【变式2】 已知直线，其中． (1)求直线所过定点． (2)当直线在轴上的截距是它在轴上的截距倍时，求实数的值． (3)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将直线的方程化为，列出相应的方程组，计算可得答案； （2）求出直线在轴上的截距，在轴上的截距，列出方程，求出的值； （3）由直线恒过定点，数形结合得即可. 【详解】（1）由直线可变为， ，解得， 所以直线恒过定点. （2）由题可得，在直线的方程中，令，得，令，得， 所以，即，解得或， 经检验，或均符合要求， 所以实数的值为或. （3）由直线恒过定点，如图，，， 【变式3】 直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故选：D. 题型 07 截距相关综合（截距相等 / 互为相反数 / 面积） 【典例1】 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】把点代入求得化直线方程为，求各轴上的截距，运算求解即可. 【详解】因为直线经过点， 则可得， 直线方程为， 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，可知， 令，得；令，得； 则，化为，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选： 【变式1】 过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可. 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 【变式2】 已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出直线与两坐标轴的交点，再求三角形面积即可. 【详解】令得，则该直线与轴交点； 令得，则该直线与轴交点； 所求三角形的面积. 故选：A. 【变式3】 若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【答案】// 【分析】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【详解】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 题型 08 直线的法向量问题 【典例1】 若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】由直线，知其一个法向量为， 又也是直线的法向量，则，可得. 【变式1】 直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方向向量求得斜率，得到直线的方程，再比较选项即可求解. 【详解】由直线的方向向量， 可得， 则直线的方程为：， 即， 结合选项可知只有C满足， 故选：C 【变式2】 经过点，且一个法向量为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点法式方程求解即可. 【详解】由点法式方程得，即． 1．如图所示，直线与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据直线的斜截式方程的各项系数的几何意义，逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故A不合题意； 对于B，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故B不合题意； 对于C，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故C不合题意； 对于D，由直线的图象可得，由的图象可得，两者一致，故D符合题意. 故选：D. 2．直线在轴上的截距为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据斜截式的知识确定正确答案. 【详解】直线在轴上的截距为. 故选：A 3．若直线的方程为，则此直线必不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由条件判断直线的斜率和纵截距的正负，结合图象分析即得. 【详解】由可得，， 即直线的斜率为负数，在轴上的截距为负数， 故直线经过第二、三、四象限，即不经过第一象限. 故选：A. 4．在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 5．已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 6．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，，逐项根据截距的正负判断即可． 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，， 选项A，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误． 7．若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 8．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 9．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出斜率，再结合倾斜角的范围得出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，所以， 所以. 故选：C. 10．“”是 “直线与互相平行”的（     ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据直线一般式方程直线平行或重合的条件得或，再检验排除两直线重合的情况得，最后根据充要条件的概念判断即可. 【详解】若直线与互相平行或重合， 则，即，解得或， 当时，，，满足； 当时，，，此时重合， 所以当时，. 所以“”是 “”的充要条件. 故选：C 11．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线垂直条件，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直， 当直线与直线互相垂直时，，， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件. 故选：A 12．已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析 【分析】（1）根据重心坐标与三角形顶点坐标的关系计算即可. （2）根据斜率公式计算即可. （3）以为顶点可构成三个不同的平行四边形，求这三个平行四边形的所有对角线所在的直线方程. 【详解】（1）因为的三个顶点分别为，是的重心 所以重心坐标为，即. （2）因为的三个顶点分别为， 所以. 所以. （3）以为顶点的平行四边形有三种情况，对应三组对角线： ①对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ②对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ③对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. 1．已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论直线经过坐标原点和不过坐标原点的情况，根据截距相等可构造方程求得结果； （2）讨论直线斜率为和斜率不为的情况，根据直线不过第二象限可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 2．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】 【分析】利用到角公式求直线的斜率，结合过点写出直线方程，进而求交点坐标，即可得. 【详解】在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即.    在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 3．在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点式得直线的方程，进而得纵截距，利用三角形面积公式即可求解； （2）设直线，进而得，解出即可求解. 【详解】（1）当直线在轴上截距为4时，直线l过点，又直线l过， 根据两点式得，即， 令得， 所以的面积； （2）由题知，截距一定不为0，不妨设直线， 所以或， 解得或或或， 所以直线在轴上的截距为或. 4．直线经过点，，写出直线的一般式方程. 【答案】 【分析】先由两点计算直线的斜率，再由点斜式可得直线方程，再化为一般式可得. 【详解】因为直线经过点，，所以直线的斜率为， 则直线，所以直线的一般式方程为. 5．设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 6．直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【答案】(1)存在；或 (2)存在；或 【分析】（1）设所求直线方程为，根据点坐标以及的周长求得，进而求得直线方程. （2）设所求直线方程为，根据点坐标以及的面积求得，进而求得直线方程. 【详解】（1）存在．设直线方程为， 由题意可知，．① 又因为直线过点， 所以，② 由①②可得， 解得，或 所以所求直线的方程为或， 即或． （2）存在．设直线方程为， 由题意可知 解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． 7．（1）已知直线过定点M，点在直线上，求的最小值. （2）直线经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）求出直线所过定点，再由点到直线的距离公式求出最小距离即可； （2）分直线过原点与不过原点讨论，当过原点时设直线方程为，代入点求出即可；不过原点时设直线方程为，代入点求出即可； 【详解】（1）由得，所以直线l过定点， 依题意可知的最小值就是点M到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得． （2）若直线经过原点，则设直线方程为，将代入可得， 若直线不经过原点，设直线方程为， 将代入可得，所以直线方程为，即， 所以直线的方程为或.    要使直线不经过第四象限，则，解得， 所以实数的取值范围为. 8．已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变化主元计算可求直线所过定点； （2）分类讨论结合直线在纵轴上截距及其斜率的大小计算不等式即可. 【详解】（1）整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得所以直线恒过的定点的坐标为; （2）当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限，所以， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 9．写出下列直线经过的一个点和直线的一个法向量及方向向量： (1)； (2)． 【答案】(1)点，一个法向量是，一个方向向量是． (2)点，一个法向量是，一个方向向量是． 【分析】依托直线点法式方程的结构特征提取定点与法向量，通过法向量和方向向量的垂直数量积约束求解方向向量. 【详解】（1）将直线方程， 整理为点法式标准形式，可得直线过定点， 直线点法式的法向量为， 因此，该直线的一个法向量为，设直线方向向量为， 由法向量与方向向量垂直，得， 取，，可得一个方向向量为. （2）将直线方程， 整理为点法式标准形式，可得直线过定点， 因此，该直线的一个法向量为，设直线方向向量为， 由垂直关系得， 取，，可得一个方向向量为. 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1+1.3 一次函数与直线的方程 教学目标 1.理解一次函数图象与直线方程的对应关系，掌握直线方程的定义； 2.掌握倾斜角、斜率定义，熟练两点斜率公式，理清倾斜角与斜率的变化关系； 3.熟记直线 5 类方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，掌握各类方程适用条件； 4.会用待定系数法求直线方程，能实现不同形式直线方程互化； 结合截距、斜率求解参数，会求直线与坐标轴围成图形面积，综合几何条件写直线方程。 教学重难点 1.重点 倾斜角与斜率的计算； 两点斜率公式； 直线五种方程形式； 待定系数法求直线方程。 2.难点 倾斜角钝角时斜率取值范围讨论； 各类直线方程限制条件（垂直坐标轴、过原点无截距式等）； 含参数直线分类讨论； 截距概念辨析（截距≠距离）。 知识点 01 一次函数与直线方程的对应关系 一次函数 的图象是一条不垂直 x 轴的直线； 直线方程定义：直线上所有点坐标都是方程的解，方程所有解对应的点都在直线上； 只有斜率存在的直线才能写成斜截式（一次函数形式）；垂直 x 轴直线 无法表示为一次函数。 【即学即练】 若，，则直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点 02 直线的倾斜角 定义：x 轴正方向逆时针旋转至直线重合的最小角，记作 取值范围： 特殊规定：直线平行 / 重合 x 轴， 直线垂直 x 轴， 核心结论：任意直线都有倾斜角。 【即学即练】 1.已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2.直线的倾斜角为（   ） A．30° B．120° C．150° D． 知识点 03 直线的斜率 定义：倾斜角时，，斜率不存在； 两点斜率公式：直线过 倾斜角与斜率变化规律 直线水平； 越大，k越 ； ，斜率不存在，竖直线； 越大，k越 （趋近于 0）。 方向向量：直线方向向量 斜率不存在时方向向量。 【即学即练】 过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 知识点 04 直线点斜式、斜截式 点斜式：过点，斜率 限制：斜率存在（不能表示垂直 x 轴直线）。 斜截式（特殊点斜式）：直线交 y 轴，斜率k b：y 轴截距（可正、负、0，不是长度）； 本质：一次函数，仅适用于斜率存在直线。 【即学即练】 过点且与直线垂直的直线的方程为__________． 知识点 05 两点式、截距式 两点式：过限制：不能表示水平、竖直直线。 截距式：x 截距a，y 截距b， 限制：不过原点、不垂直坐标轴的直线。 【即学即练】 1.已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 2.直线经过点和，则它的斜率和在轴上的截距是（   ）． A．， B．， C．， D．， 知识点 06 直线一般式 适用所有直线，无限制； 转化规则： ，化为斜截式：，斜率； ，竖直线：，斜率不存在。 【即学即练】 过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点 07 截距基础辨析（易混） 截距是坐标值，可正、负、零；距离一定非负； 直线过原点：x、y 截距均为 0，无截距式； 水平线y=b：无 x 截距；竖直线x=a：无 y 截距。 【即学即练】 直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   题型 01 倾斜角概念辨析与求倾斜角 【典例1】 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．. 【变式2】 已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 【变式3】 直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 题型 02 倾斜角范围→斜率范围综合（高频易错题） 【典例1】 已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． B． C． D． 【变式1】 设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 03 点斜式、斜截式求直线方程 【典例1】 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【变式1】 过点且与直线垂直的直线方程为___________． 【变式2】 在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】 直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 题型 04 两点式、截距式求直线方程 【典例1】 已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【变式1】 经过点和的直线的方程为________． 【答案】 【变式2】 不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式3】 已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 题型 05 五种直线方程互相转化 【典例1】 已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是_____． 【变式1】 在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 【变式2】 直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 【变式3】 若方程表示一条直线，则实数满足_________． 题型 06 已知直线过定点求参数（分类讨论斜率不存在） 【典例1】 直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 【变式1】 设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【变式2】 已知直线，其中． (1)求直线所过定点． (2)当直线在轴上的截距是它在轴上的截距倍时，求实数的值． (3)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围． 【变式3】 直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故选：D. 题型 07 截距相关综合（截距相等 / 互为相反数 / 面积） 【典例1】 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】 过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【变式2】 已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【变式3】 若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 题型 08 直线的法向量问题 【典例1】 若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 【变式1】 直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 经过点，且一个法向量为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 1．如图所示，直线与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   2．直线在轴上的截距为（   ） A． B．1 C． D． 3．若直线的方程为，则此直线必不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 7．若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 8．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 9．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 10．“”是 “直线与互相平行”的（     ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 11．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 1．已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 2．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 3．在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 4．直线经过点，，写出直线的一般式方程. 5．设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 6．直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 7．（1）已知直线过定点M，点在直线上，求的最小值. （2）直线经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程. 8．已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 9．写出下列直线经过的一个点和直线的一个法向量及方向向量： (1)； (2)． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $