第3章 2.2 第2课时 空间向量的数量积-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积，涵盖向量夹角、数量积定义与运算律、投影向量及投影数量等核心知识点。通过“力做功”的物理情境导入，类比平面向量数量积，引导学生从平面到空间的知识迁移，搭建学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实、用数学思维推理逻辑，通过正四面体、长方体等实例，结合即时练与跟踪训练，强化数量积在夹角、距离问题中的应用。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建逻辑体系，提升数学思维与应用能力，教师可高效开展教学。

第2课时　空间向量的数量积 新课导入 学习目标 如果一个物体在力F 的作用下产生位移s，那 么力F所做的功W＝F·s＝|F||s|cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引进了“数量积”的概念，本节课我们学习空间向量的数量积问题．   1.理解空间两个向量夹角的定义．　2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律，会求空间向量的数量积．　3.了解投影向量以及投影数量的概念． 4．能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　两个向量的夹角 思考　类比平面向量夹角的相关概念，探究空间向量夹角的概念． 提示：只要把两个空间向量平移到同一起点，就可利用平面向量的方法定义空间向量的夹角． 返回导航 [知识梳理] ∠AOB ⊥ 返回导航 × × × × 返回导航 2．已知a，b是空间非零向量，若|a|＝|b|＝|a＋b|，则〈a，b〉＝_______． 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 知识点二　两个向量的数量积 思考1　回忆平面向量数量积的定义． 提示：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 思考2　类比平面向量数量积的性质与运算律，探究空间向量数量积的性质与运算律． 提示：通过空间向量数量积可以求向量的位置关系、向量的模、向量的夹角，并且数量积的运算也满足交换律、分配律． 返回导航 [知识梳理] 1．数量积的定义 已知两个非零向量a，b，把|a||b|cos 〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作____．即a·b＝_________________． |a||b|·cos〈a，b〉 a·b 返回导航 2．数量积的性质(a，b是非零向量) a·b＝0 |a||a|cos〈a，a〉 返回导航 3.数量积的运算律 数乘向量与数量积   的结合律 (λa)·b＝_____，λ∈R 交换律 a·b＝___ 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c λ(a·b) b·a 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 空间向量的数量积的运算方法 (1)利用定义直接求数量积或利用数量积的性质计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积的步骤： ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；②利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；③根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；④代入公式a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉求解． 返回导航 C 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 [例2] (对接教材例2)(1)已知空间向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影数量为______________． 1 返回导航 －2e 返回导航 感悟提升 返回导航 B 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 43 ACD 返回导航 解析：对于A，(a·b)·c表示与c共线的向量，(b·c)·a表示与a共线的向量，两者不相等，故A错误； 返回导航 返回导航 D 返回导航 返回导航 　－1 返回导航 返回导航 返回导航 4．如图，已知线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB＝4，BD＝3，AC＝5，则CD＝________． 返回导航 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：空间向量的夹角、投影向量和投影数量、空间向量数量积、性质及运算． 2．须贯通：两个向量的数量积在判断垂直中的应用、利用向量数量积求空间两点间的距离． 3．应注意：数量积的符号由夹角的余弦值决定． 返回导航 定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则_________叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量 平行 当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反 向量 垂直 当〈a，b〉＝时，称向量a，b互相垂直，记作a______b 规定：零向量与任意向量垂直 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)空间向量与的夹角等于空间向量与的夹角．(　　) (2)对于空间非零向量a，b，若a∥b，则〈a，b〉＝0.(　　) (3)对于空间非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．(　　) (4)在正四面体ABCD中，与的夹角等于60°.(　　) 向量数量积的性质 垂直 a⊥b⇔____________________ 共线 同向：a·b＝|a|·|b| 反向：a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝___________________＝|a|2； |a|＝；|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 2 － 5 $