02-§2 03-第2课时 空间向量的数量积（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积，涵盖概念、运算律、模与夹角计算及综合应用。课堂导入从平面向量数量积切入，通过对比二维与三维的异同搭建学习支架，帮助学生衔接旧知、理解空间向量数量积的定义与性质。 其亮点在于通过多选题辨析核心概念（如数量积交换律与结合律），易错点提示（如钝角夹角需排除共线情况），结合正四棱台、直三棱柱等实例培养数学思维。创新题型引入叉乘运算，激发探究意识，助力学生用数学语言表达空间关系，提升教师教学效率与学生学习兴趣。

第三章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2　空间向量的运算 第2课时　空间向量的数量积 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　空间向量数量积的相关概念及运算 1.[多选题][2026山东济宁月考]已知空间向量a,b,c,则下列说法正确的是 ( ) A.a·b=b·a B.若a·b=a·c,则b=c C.(a·b)·c=a·(b·c) D.若向量a,b同向共线,则a·b=|a||b|     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析    a·b=|a||b|cos<a,b>, b·a=|b||a|cos<a,b>, 所以a·b=b·a,A正确; 当a=0时,a·b=a·c=0,无法得到b=c,B错误; 空间向量的数量积不满足结合律,C错误; 向量a,b同向共线,所以cos<a,b>=cos 0=1, 所以a·b=|a||b|,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[教材习题改编][多选题]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则 ( ) A. · =1　　    B. · =1 C. · =1　　    D. · =1     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析     · = · =| || |·cos∠CAB=1× × =1,A正确;  · = ·( + )= · + · = · =1,B正确;  · = ·( + )= · + · =-1,C错误; 因为AB⊥平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1, 所以AB⊥A1D,故 · =0,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025山东潍坊昌邑期中]A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足 · =0, · =0, · =0,M为BC 的中点,则△AMD是 ( ) A.钝角三角形　　    B.锐角三角形 C.直角三角形　　    D.不确定     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为M为BC的中点,所以 = ( + ), 则 · = ( + )· =  · +  · =0, 所以 ⊥ ,即AM⊥AD,所以△AMD是直角三角形. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江西八校协作体联考]在正三棱锥P-ABC中,PA=AB=2 ,M为空间中的一点,则 ·( + +  )的最小值为 ( ) A.-16　　    B.-14　　    C.-12　　    D.-8     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　记△ABC的重心为O,D是BC的中点,G是PO的中点,则AO= AD=2 .   又PO⊥平面ABC,AO⊂平面ABC, 所以PO⊥AO,则PO= =4, 则 + + = +2 = + +2( + )=3 , 所以 ·( + + )= ·3 =3( + )·( + )=3( + )·( - )=3( - )=3( -4), 当M与G重合时, 取得最小值0,此时 ·( + + )取得最小值-12. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026江西赣州十八县(市、区)二十四校期中联考]在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=3A1B1= 3,则 ( ) A. 和3 是相等向量 B. · =0 C.向量 在向量 方向上的投影向量为   D.向量 在向量 方向上的投影数量为2     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A, 和3 是相反向量,A错误. 对于B,根据正四棱台的性质可知 ⊥ , 则 · =0,B正确. 对于C,D,解法一:设点A1在底面ABCD上的投影为点M, 因为AC=3A1C1,且四边形A1C1CA为等腰梯形, 所以M为AC上靠近点A的三等分点, 则 =  , 所以 = + = + +  =  + = ( + )+ , 易得 · =0, · =0, 则 · = · =  =6, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 在 方向上的投影向量为 · =  ,C正确,  在 方向上的投影数量为 =  · =2,D正确.   解法二:设A1,B1,C1,D1在底面ABCD上的投影分别为A2,B2,C2,D2,连接A2B2,B2C2,C2D2,D2A2, 延长C2B2交AB于点E,连接C1E,AC. 由正四棱台的性质知AB⊥C1C2,AB⊥EC2, ∵C1C2∩EC2=C2,C1C2,EC2⊂平面EC1C2,∴AB⊥平面EC1C2, 第1讲　描述运动的基本概念 ∵EC1⊂平面EC1C2,∴AB⊥EC1, ∴向量 在向量 方向上的投影向量为 . 易得△AEC2∽△ABC,AC=3 ,AC2=2 , ∴ = = , ∴向量 在向量 方向上的投影向量为 =  ,C正确, 向量 在向量 方向上的投影数量为 | |=2,D正确. 概念区分　投影向量是个向量,投影数量是个数,可正,可负,可为0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用空间向量求模或夹角 6.[2025广东名校联盟质量检测]已知空间向量a,b,c满足a+2b+ c=0,|a|=|b|=|c|=1,则a与b的夹角为  ( ) A.30°　　    B.150°　　    C.60°　　    D.120°     C     解析　设a与b的夹角为θ. 由a+2b+ c=0,得a+2b=- c, 两边平方得a2+4a·b+4b2=7c2, 即1+4×1×1×cos θ+4=7,解得cos θ= . 又0°≤θ≤180°,所以θ=60°. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026河北示范高中联盟联考]空间内三条直线l,m,n满足l⊥m,l⊥n,且l∩m=A,l∩n=B,记C∈n,D∈m,已 知 · =-4, · =2,∠BAC=∠DAC,则BD= ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.2      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析     · = ·( - )= · - · =-4,∵A,B∈l,A,D∈m,l⊥m, ∴ · =0,∴ · =4, ∵A,B∈l,B,C∈n,l⊥n,∴ · =0, ∴ ·( - )= · -| |2=4-| |2=0,∴| |=2.  · = ·( - )= · - · = · =2. ∵ · =| || |cos∠BAC=4, · =| || |cos∠DAC=2,∠BAC=∠DAC, ∴| |= | |=1, ∴| |2=( - )2=| |2-2 · +| |2=| |2+| |2=5, ∴| |= ,即BD= . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026江西南昌素养测试]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,| |=| |=| |=1,∠A1AD= ∠A1AB=∠BAD= ,M为A1C1与B1D1的交点,设 =a, =b, =c,则下列结论正确的是( )   A. =a+b+c　　    B. = a- b+c C.| |= 　　    D.cos< , >=      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A, = + + = + + =a+b+c,故A正确; 对于B, = + = +  = +  = + ( - )=c+ (b-a)=- a+ b+c,故B错误; 对于C,| |=  = , ∵| |=| |=| |=1,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD= , ∴a·b=b·c=a·c= , ∴| |= = ,故C正确; 对于D,cos< , >=  = = = = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026山东聊城第三中学月考]如图,二面角α-l-β的棱上有A,B两点,线段BD与AC分别在这个二面角的 两个半平面内,并且都垂直于棱l,若AB=2,AC=3,BD=4,CD= ,则二面角α-l-β的大小为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设< , >=θ(0≤θ≤π), 则二面角α-l-β的大小为θ. 由题意知CA⊥AB,AB⊥BD, 则 · = · =0,< , >=π-θ, 所以| |2=( + + )2=| |2+| |2+| |2+2| || |cos(π-θ), 即41=9+4+16+2×3×4(-cos θ), 解得cos θ=- ,所以θ= , 即二面角α-l-β的大小为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[易错题]已知空间向量a,b,|a|=2,|b|=1,<a,b>=60°,则使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值 范围是___________________.     (-1-   ,-1+  )     解析　由题意知(a+λb)·(λa-2b)<0,且cos<a+λb,λa-2b>≠-1,即λa2+(λ2-2)a·b-2λb2<0,且(a+λb)·(λa-2b)≠-|a+ λb||λa-2b|,(易错点)即λ2+2λ-2<0,且λ2+2λ-2≠-2· · ,解得-1- <λ<-1+ . 易错警示　已知两向量夹角为锐角或钝角时,要注意排除向量共线的情况. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.2　空间向量的运算 第2课时　空间向量的数量积 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　利用空间向量求模或夹角 1.[2026山东聊城第一中学阶段性测试]如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处. 已知库底与水坝所成的二面角为150°,测得从D,C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=20  m,CB=4 0 m,若AB=20 m,则甲、乙两人相距 ( )   A.10 m     B.20  m     C.70 m     D.10  m     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由已知可得∠DAB=∠CBA=90°, 与 的夹角为150°,且 , , 不共面, 则 = + + , 即 =( + + )2= + + +2 · +2 · +2 · =(20 )2+202+402+0+2×20 ×40× cos(180°-150°)+0=5 600, 所以| |=20 , 即甲、乙两人相距20  m. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026湖北荆门名校联盟联考]已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各个面均为菱形,设 =a,  =b, =c,且|a|=1,a,b,c两两之间的夹角均为 ,则 ( ) A.(a+c)·(b+c)= 　　    B. · =0 C.| |= 　　    D.∠B1AD1<<a,b>     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各个面均为菱形, 所以|a|=|b|=|c|=1, 且a,b,c两两之间的夹角均为 , 所以a·b=a·c=b·c= , 故(a+c)·(b+c)=a·b+a·c+c·b+c·c= + + +1= ,故A正确;  · =(a+b+c)·(-a+b+c)=-a·a+b·b+c·c+2b·c=-1+1+1+1=2,故B错误; | |2=|a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=6, 则| |= ,故C正确; cos∠B1AD1= = = ,又cos<a,b>= , > , 故∠B1AD1<<a,b>,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025东北三省联考]正四棱台在中国古代被称为“方亭”,在古代建筑中有着广泛的应用.在正四棱 台ABCD-A'B'C'D'中,AA'=1,AB=2,∠BAA'= ,则| |=_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,连接A'C',AC. 在四边形ABB'A'中, A'B'=AB-2AA'cos =2-2×1× =1, 由 = = ,得A'C'= AC, 设 =a, =b, =c, 则|a|=2,|b|=2,|c|=1, 所以 = + = +  = + ( + )= a+ b+c, 则| |= =  = = .   第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026安徽亳州涡阳第三中学期中]已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,AA1=3,∠A1AB=∠A1AC=60 °,∠BAC=α,记 =a, =b, =c. (1)求证:四边形BB1C1C为矩形; (2)若α=60°, ①用a,b,c表示 ,并求| |; ②求向量 与 夹角的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由题意得 =c-b, = =a, 易得a·c=a·b=3×2cos 60°=3, 则 · =a·(c-b)=a·c-a·b=0, 故 ⊥ ,即BC⊥BB1, 又四边形BB1C1C为平行四边形, 所以四边形BB1C1C为矩形. (2)①由题得 = + = + , 又 = - =c-b,故 =a+c-b. 易得c·b=2×2cos 60°=2, 故| |=  第1讲　描述运动的基本概念 =  = = . ②由题意得 =c-a, 则| |= = = = ,  · =(a+c-b)·(c-a)=a·c-a2+c2-c·a-b·c+a·b=-4, 所以cos< , >= = =- , 所以向量 与 夹角的余弦值为- . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　空间向量数量积的求解 5.[2026河南信阳滨城高级中学月考]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=2,AD=4,PA= ,E为棱 BC的中点,PA⊥底面ABCD,O为四棱锥P-ABCD外接球的球心,F为球O的球面上的一个动点,则 ·  的取值范围是 ( ) A.[-4,4]　　    B.[-2 ,2 ] C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AC,BD交于点H, ∵四边形ABCD为矩形, ∴AH=BH=CH=DH, 易知球心O为PC的中点, 连接OH,OE,EH,则OH⊥平面ABCD, ∴四棱锥P-ABCD的外接球的半径R= = = , 则| |= ,又| |= = = , ∴ · =| || |cos< , >= cos< , >, ∵cos< , >∈[-1,1],∴ · ∈  . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西南昌师范大学附属中学素养测试]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形, AB=AC=AA1=4,以点B为球心,4为半径的球与此直三棱柱表面相交,交线为Γ,点P为Γ上的动点,当|PC1|取 得最小值时, · 的值为 ( ) A.16　　    B.16 　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得B1C1=BC= =4 , 当P在平面B1C1CB内,且B,P,C1三点共线时,|PC1|取得最小值, 交线Γ在平面B1C1CB上的部分为如图所示的圆弧. 过点P作PM⊥B1C1于M,则 = , 又C1B= =4 , 故C1P=C1B-4=4 -4, 所以 = ,解得C1M=4 - , 则B1M= , 因此 · = · =| |·| |cos∠PB1C1=| || |= ×4 = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026河南部分校联考]已知空间向量 , , 的模均为1, · = , · = · =- .若存在非 零实数λ,μ,使得 + =λ , =μ ,且OM⊥MN,BN⊥MN,则λ-μ=_________.     0     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由μ =μ( - )= = - 得 =  +  , 因为OM⊥MN,BN⊥MN, 所以 · =0, · =0. 由 · = ·( - )= · - = ( + )· - ( + )2=0, 整理得 + =3. 由 · = ·( - )= ( - )· =0, 得 + =3.由  解得λ=μ= ,所以λ-μ=0. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026广东惠州华罗庚中学月考]P是棱长为2 的正四面体表面上的动点,MN是该四面体内切球的 一条直径,则 · 的最大值是_________.     8     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设正四面体ABCD的棱长为2 , 其内切球球心为点O, 连接AO并延长交底面BCD于点E, 则E为正△BCD的中心,且AE⊥平面BCD, 连接BE并延长交CD于点F, 则F为CD的中点,且BF⊥CD, ∴BF= =3 , ∴BE= BF=2 , S△BCD= ·CD·BF=6 , ∵AE⊥平面BCD,BE⊂平面BCD, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴AE⊥BE,∴AE= =4, ∴VABCD= S△BCD·AE=8 , 设球O的半径为R, 则VABCD=VO-BCD+VO-ACD+VO-ABD+VO-ABC=4VO-BCD=4× S△BCD·R, ∴R=1,∴AO=AE-OE=3. ∵ = + , = + = - , ∴ · =( + )·( - )= -1,当 最大,即点P位于正四面体ABCD的顶点时, · 取得最 大值,为9-1=8. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　空间向量数量积的综合应用 9.[2025安徽皖南八校联考]已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,AC'是正方体的一条体对角线,P为正 方体表面上的动点,若 · =-6,则点P的轨迹长度总和为( ) A.2π　　    B.12π　　    C.12 π　　    D.12 π     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设O为AC'的中点, 则|OA|=|OC'|= |AC'|= × =2 , 则 · =( + )·( + ) = + ·( + )+ ·  = +0-(2 )2= -12, 又 · =-6, 故 =6,即|PO|= <|OA|, 故P在以O为球心, 为半径的球面上,又点P在正方体表面上运动,故点P的轨迹为上述球面与正方体各 面的交线, 所以点P在每个表面上的轨迹是以各面中心为圆心, = 为半径的圆,所以点P的轨迹长度总 和为6×2×π× =12 π. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2026湖北武汉部分重点中学期中联考]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,AD=2,M为 BC的中点.动点P满足 =2x +x +y ,x∈ ,y∈[0,1],则下列说法中正确的是( ) A.点P一定在平面AA1M内 B.当y=2x时,点P轨迹的长为  C.当A1,P,M三点共线时,y-2x=1 D. · 的最小值为-      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由 = + = +  ,得 =2x +x +y =2x +y =2x +y , 所以 , , 共面,故点P一定在平面AA1M内,故A正确; 对于B,取B1C1的中点N,连接AN,MN,A1N,则MN􀱀BB1, 又AA1􀱀BB1,所以MN􀱀AA1, 所以四边形AMNA1为平行四边形, 当y=2x时, =2x +2x =2x ,x∈ , 此时点P的轨迹为线段AN,其长度为 = = ,故B正确; 对于C,由 =2x +y 及A1,P,M三点共线,知2x+y=1,故C错误; 对于D, = - =2x +x +y - =2x +(x-1) +y , 第1讲　描述运动的基本概念 所以 · = · =(2x +x +y )·[2x +(x-1) +y ]=8x2-4x+y2=8 +y2- , 当且仅当x= ,y=0时, · 取得最小值,为- ,故D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026浙江强基联盟月考]由矩形ABCD和矩形ABEF构成的立体图形如图所示,其中AB=4,AD=AF=3, ∠DAF= ,M,N分别在对角线BD,AE上移动,且AN与DM的长度保持相等.记 =a, =b, =c,且 =λ  ,λ∈[0,1]. (1)当λ= 时,用向量a,b,c表示 , ; (2)λ为何值时,| |取得最小值? (3)是否存在M,N,使得MN⊥平面ABCD?若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当λ= 时, = + = +  = + ( - )= (a+b),  =  = ( + )= (a+c), 则 = - = (a+c)- (a+b)= (c-b). (2)因为 =λ , 所以 =λ ,λ∈[0,1], 则 = - =λ -( + )=λ( + )-[ +λ( - )]=λ(a+c)-[b+λ(a-b)]=(λ-1)b+λc, 由已知得|a|=4,|b|=3,|c|=3,<a,b>= ,<a,c>= ,<b,c>= , 所以a·b=0,a·c=0,b·c=3×3×cos = , 故| |=  第1讲　描述运动的基本概念 =  =3 ,λ∈[0,1], 当λ= 时,| |取得最小值,为 . (3)假设存在M,N,使得MN⊥平面ABCD,因为AB,AD⊂平面ABCD, 所以MN⊥AB,MN⊥AD, 由(2)知 =(λ-1)b+λc, 则 · =[(λ-1)b+λc]·a=(λ-1)·b·a+λc·a=0, 且 · =[(λ-1)b+λc]·b=(λ-1)·b2+λc·b=0, 化简得9(λ-1)+ λ=0, 解得λ= ,此时 =  , =  .故存在M,N,使得MN⊥平面ABCD. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025江西宜春第一中学期中]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠ DAA1=60°. (1)求A1C的长; (2)求A1到直线BC的距离; (3)动点P在线段CD1上运动,求 · 的最小值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得 = - = + - , 所以| |= =  , 而 · =| || |cos 60°=2×1× =1,  · =| || |cos 60°=2×2× =2,  · =| || |cos 60°=1×2× =1, 所以| |= ,即A1C的长为 . (2)连接A1D,在△ADA1中, A1D=  第1讲　描述运动的基本概念 = = , 所以AD2+A1D2=A ,即A1D⊥AD, 又AD∥BC,所以A1D⊥BC, 连接BD,A1B,在△ABD中, BD=  = = , 所以AD2+BD2=AB2,即BD⊥AD, 则BD⊥BC, 又A1D∩BD=D,A1D,BD⊂平面A1BD, 所以BC⊥平面A1BD, 第1讲　描述运动的基本概念 而A1B⊂平面A1BD,所以A1B⊥BC, 即A1B的长为A1到直线BC的距离, 而AA1=AB=2,∠A1AB=60°, 所以△AA1B为等边三角形,则A1B=2, 即A1到直线BC的距离为2. (3)由题可设 =λ (λ∈[0,1]), 则 · = · =( + + )· =(λ - - )·λ  =(λ - - )·λ  =[(λ-1) -λ - ]·λ( - ) =λ[(λ-1) -(λ-1) · -λ · +λ - · + · ] 第1讲　描述运动的基本概念 =λ[(λ-1)×22-(2λ-1)| || |·cos 60°+λ×22-| || |cos 60°+| |·| |cos 60°] =λ 4(λ-1)-(2λ-1)×2×2× +4λ-1×2× +1×2×   =4λ2-2λ=4 - , 故当λ= 时, · 取得最小值,为-  . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　新定义情境,考查空间向量的外积的运算 13.[2026北京中国人民大学附属中学月考]给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算a×b,规定:① a×b为同时与a,b垂直的向量;②a,b,a×b三个向量构成右手系(如图1);③|a×b|=|a||b|sin<a,b>.如图2,在长方 体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,则下列说法中错误的是( ) A. × =  B. × = ×  C.( + )× = × + ×      B     D. =( × )·  第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,| × |=| || |·sin< , >=2×2×sin 90°=4=| |,且 , , 构成右手系,即 ×  = 成立,A中说法正确; 对于B, × = , × =- , 则 × ≠ × ,B中说法错误; 对于C,|( + )× |=| × |=2 ×4×sin 90°=8 , × 与 共线,且方向相同, | × |=2×4×sin 90°=8, × 与 共线,且方向相同, | × |=2×4×sin 90°=8, × 与 共线,且方向相同, 则| × + × |=8 , × + × 与 共线,且方向相同, 因此( + )× = × + × ,C中说法正确; 对于D, =2×2×4=16,( × )· = · =42=16, 因此 =( × )· ,D中说法正确. 第1讲　描述运动的基本概念 $