第2章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与椭圆、双曲线、抛物线的交点问题，新课导入从已学的直线和圆锥曲线图像法切入，通过提问“能否用方程组解的个数判定交点个数”，搭建从直观到代数法的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用“思考-梳理-例题-训练”分层设计，通过判别式分析、韦达定理应用培养数学思维，以规范的符号运算和步骤表达数学语言，强调双曲线渐近线、抛物线对称轴等特殊情况。助力学生提升逻辑推理与问题解决能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．1　直线与圆锥曲线的交点 新课导入 学习目标 　　前面我们已经学习了直线以及圆、椭圆、双曲线、抛物线，通过平面直角坐标系，把圆锥曲线上的点和相应的圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系，判定直线与圆锥曲线交点的个数，可以通过作出图象来确定．那么，我们是否还可以通过方程组的解的个数判定两者的交点个数呢？ 1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数．　2.会由直线与圆锥曲线的交点个数求参数的取值范围． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 提示：由于y＝kx＋b过点(0，b)，而点(0，b)在椭圆C上，所以直线与椭圆有1个或2个交点． 返回导航 返回导航 位置关系 解的个数 Δ的值 相交 ____解 Δ____0 相切 ____解 Δ____0 相离 ____解 Δ____0 两 >  一 ＝ 无 <  返回导航 返回导航 返回导航 (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 返回导航 感悟提升 直线与椭圆位置关系的判断方法 返回导航 D 返回导航 返回导航 返回导航 知识点二　直线与双曲线的交点问题 思考　类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ 提示：有三种位置关系，分别为相交、相离、相切． 返回导航 [知识梳理] 把直线与双曲线的方程联立得到的方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程根的判别式． (1)当Δ>0时，直线与双曲线有____不同的公共点； (2)当Δ＝0时，直线与双曲线只有____公共点； (3)当Δ<0时，直线与双曲线____公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有____公共点． 提醒　在直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 一个 没有 一个 两个 返回导航 [例2] (对接教材例4)已知双曲线C：x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线C有两个不同的公共点； 返回导航 返回导航 (2)直线l与双曲线C有且只有一个公共点． 返回导航 母题探究1　直线l与双曲线C没有公共点时，实数k的取值范围为_________________________________． 返回导航 母题探究2　直线l与双曲线C的右支有两个不同的公共点时，实数k的取值范围为_______________________________________________． 返回导航 感悟提升 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式Δ，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． 注意　对直线的斜率是否存在进行讨论． 返回导航 C 返回导航 返回导航 (2)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左、右两支各有一个交点，则k的取值范围为_____________． (－1，1) 返回导航 知识点三　直线与抛物线的交点问题 思考　若直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 提示：不一定，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个公共点，直线与抛物线相交． 返回导航 [知识梳理] 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当____时，直线与抛物线相交，有两个交点；当_____时，直线与抛物线相切，有一个交点；当____时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有____交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 一个 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 返回导航 [例3] (对接教材例3)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过抛物线上点A(2，3)且斜率为k的直线l与抛物线C仅有一个交点． (1)求抛物线C的方程； 返回导航 (2)求k的值． 返回导航 感悟提升 (1)判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切． 返回导航 ABD 返回导航 返回导航 返回导航 (2)过点(0，1)且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为________________． y＝x＋1或x＝0 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 35 C 返回导航 B 返回导航 3．(多选)若过点(－1，0)的直线l与抛物线x2＝2y只有一个交点，则直线l的方程为(　　　) A．y＝0 B．x＝－1 C．y＝－2x＋2 D．y＝－2x－2 ABD 返回导航 返回导航 返回导航 5．已知O为坐标原点，直线l：kx－y－2＝0交抛物线E：x2＝2py(p>0)于A，B两点，P为y轴正半轴上一点，点A，P，B的纵坐标分别为y1，yP，y2，且y＝y1y2，则P的坐标为________． (0，2) 返回导航 课堂小结 1．已学习：直线与椭圆、双曲线以及抛物线的交点问题． 2．须贯通：直线与圆锥曲线的交点问题． 3．应注意：易忽略直线中斜率不存在的情况及直线与双曲线、抛物线只有一个交点的情况中非Δ＝0的情况． 返回导航 [知识梳理] 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程． y＝x＋或y＝x－ －<k<－1或1<k< 【解】　显然直线的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－2k＋3， 联立得y2－y－2k＋3＝0，若k＝0，方程－y＋3＝0只有一解，满足要求，若k≠0，则需满足1－(3－2k)＝0，解得k＝，综上，k＝0或k＝. (，－) $