2.4.1 直线与圆锥曲线的交点(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦“直线与圆锥曲线的交点”，通过激光武器攻击卫星的现实情境导入，衔接圆锥曲线方程知识，设置问题链与自我诊断，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生掌握交点坐标求解及位置关系判断。 其亮点在于以科技情境培养数学眼光，通过典例研析（如分类讨论双曲线公共点个数）发展数学思维，通性通法总结规范数学语言。学生能提升应用意识与运算推理能力，教师可借助分层作业实施精准教学。

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 第二章　圆锥曲线 1 课标 要求 1.会求直线与圆锥曲线的交点坐标（数学运算）. 2.利用直线与圆锥曲线的方程会判断直线与圆锥曲线的交点个数（直观想象）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　激光武”器是一种利用激光束攻击目标的定向武器.目前我国的高能 激光武器完全有能力击毁敌方飞机，导弹或间谍卫星，假如有一天我们要 用激光武器对付间谍卫星或敌方导弹就需要用到我们本节课要学习的直线 与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激 光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【问题】　（1）我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小 关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断 直线与椭圆的位置关系？ （2）用什么方法判断直线与圆锥曲线的位置关系？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点　直线与圆锥曲线的交点 　在平面直角坐标系中， （1）前提：圆锥曲线上的点和相应圆锥曲线方程的解建立了一一对应的 关系； （2）结论：直线与圆锥曲线的交点个数与两者对应方程的公共解的个数 是 的. 相同　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 1. 将直线与椭圆的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程， 若该方程的判别式①Δ＜0，②Δ＝0，③Δ＞0，则直线与椭圆有怎样的 位置关系？ 提示：①相离，②相切，③相交. 2. 试通过作图分析，我们能否用公共点的个数来判定直线与抛物线的位置 关系呢？ 提示：不能.如图1，相切时有一个公共点；如 图2，相交时也有一个公共点. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位 置关系？ 提示：不能.当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，并非 相切关系，所以不能用公共点个数来区分三种位置关系. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面上到定点A（1，0）和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点 的轨迹为抛物线. （　√　） （2）一条直线与双曲线两支的交点个数最多为2个. （　√　） （3）抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件. （　×　） √ √ × 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 直线y＝x＋3与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的交点个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 √ 解析： 　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲 线只有一个交点，故选A. 3. 〔多选〕直线y＝－x与抛物线y2＝4x的交点坐标可以是（　AB　） A. （0，0） B. （4，－4） C. （－4，4） D. （4，4） AB 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系为 ⁠. 解析：联立消去y得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0， ∴直线与椭圆相交. 相交　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 典例研析>> 目录 13 题型一　求直线与圆锥曲线的交点坐标 已知直线l过点P（0，1）且倾斜角为45°，双曲线C的方程为x2－＝ 1，求直线l与双曲线C的交点坐标. 解：因为直线l的倾斜角为45°， 所以斜率为k＝tan 45°＝1，故直线的方程为y＝x＋1. 直线l与双曲线C的交点坐标是方程组的解. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 方程组可化为 将①代入②得2x2－（x＋1）2＝2， 化简得x2－2x－3＝0， 解得x1＝3，x2＝－1， 代入①得方程组的解为或 所以直线l与双曲线C的交点坐标为（3，4），（－1，0）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 求直线与圆锥曲线交点坐标的理论根据及方法技巧 （1）理论根据：直线与圆锥曲线的交点坐标就是两者对应方程的公共 解； （2）方法技巧：①联立直线与圆锥曲线的方程，组成方程组 ②解方程组；③根据方程组的解写出交点坐标. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 求直线l：x－2y－2＝0和椭圆C：＋y2＝1的交点的坐标. 解：直线l：x－2y－2＝0和椭圆C：＋y2＝1的交点的坐标就是方程组 的解， 消去x得＋4y2＝4，即4y2＋2y－2＝0，解得y1＝－1，y2＝， 所以解这个方程组得或 因此，所求交点的坐标为（0，－1），（，）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　判断直线与圆锥曲线公共点的个数 已知双曲线x2－y2＝4，讨论直线l：y＝k（x－1）与双曲线的公共点的 个数. 解：由方程组 消去y，可得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0. （1）当k＝±1时，x＝. （2）当k≠±1时，Δ＝（2k2）2＋4（1－k2）·（k2＋4）＝4（4－3k2）. ①若 即－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个公共点. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 ③若 即k＞或k＜－时，直线与双曲线没有公共点. 由以上讨论可知，当－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个公共 点；当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线只有一个公共点；当k＞或k ＜－时，直线与双曲线没有公共点. ②若 即k＝±时，直线与双曲线只有一个公共点. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【母题探究】 1. （变条件、变设问）本例中若直线与双曲线的公共点分别在两支上，求 k的取值范围. 解：联立方程组消去y所得的方程为（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0，由题 意，若方程的两根为x1，x2， 则解得－1＜k＜1. 故直线与双曲线的公共点分别在两支上，k的取值范围为（－1，1）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. （变条件、变设问）本例中若直线与双曲线的右支有两个公共点，求k 的取值范围. 解：联立方程组消去y所得的方程为（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0， 由题意，若方程的两根为x1，x2， 则 解得－＜k＜－1或1＜k＜. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 判断直线与双曲线公共点个数的方法 　　直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：－＝1（a＞0，b＞0），两方程 联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0. 位置关系 公共点个数 判定方法 相交 2个或1个 m＝0或 相切 1个 m≠0且Δ＝0 相离 0个 m≠0且Δ＜0 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，讨论直线l与抛物线C的公共点的 个数. 解：由得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.　（*） 当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝，此时y＝1. 所以直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴. 当k≠0时，方程（*）是一个一元二次方程， Δ＝（2k－4）2－4k2×1＝16－16k， ①当Δ＞0时，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 ②当Δ＝0时，即k＝1时，l与C有一个公共点； ③当Δ＜0时，即k＞1时，l与C没有公共点， 综上所述，当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点； 当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点； 当k＞1时，直线l与C没有公共点. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型三　直线与圆锥曲线交点的简单应用 已知椭圆4x2＋y2＝1和直线y＝x＋m.若直线与椭圆有唯一的公共点， 求实数m的值. 解：由得5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因为直线与椭圆有唯一的公共点，所以直线方程和椭圆方程应有唯一的公 共解. 因此，一元二次方程5x2＋2mx＋m2－1＝0有唯一解， 所以Δ＝4m2－20（m2－1）＝0，解得m＝±， 故直线与椭圆有唯一公共点时，实数m的值为±. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 　　已知直线与圆锥曲线公共点的个数求参数m的值（范围）的方法步骤 （1）联立直线与圆锥曲线的方程组成方程组； （2）将上述方程组消去y（或x）得一个关于x（或y）的一元二次方程； （3）计算判别式Δ＝b2－4ac； （4）根据直线与圆锥曲线公共点的个数，对应判别式与0的关系列出含参 数的方程或不等式，然后对其求解，确定m的值（范围）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 直线y＝2与抛物线y2＝8x的公共点的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 √ 解析： 由得即直线y＝2与抛物线y2＝8x有一个公 共点. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为 （　　） A. 0或1 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 √ 解析： 　由题意，由于渐近线与双曲线没有公共 点，如图所示，若直线l平行于双曲线的一条渐近线， 故l与双曲线的公共点个数为1个.故选B. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围为 （　　） A. （－2，2） B. [－2，2） C. （－2，2] D. [－2，2] √ 解析： 　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程 （4－k2）x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 〔多选〕直线l：y＝－x与椭圆＋＝1的交点坐标为（　　） A. （，） B. （－，－） C. （，－） D. （－，） √ √ 解析： 由得＋＝1，即x2＝1，解得x1＝，x2＝－ ，故方程组的解为，. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共 点，则直线l的斜率的取值范围是 ⁠. 解析：由已知易得Q（－2，0）.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方 程为y＝k（x＋2）.∵直线l与抛物线有公共点，∴方程组有 实数解，即k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0有实数解.故Δ＝（4k2－8）2－ 4k2×4k2≥0⇒k2≤1，∴－1≤k≤1. [－1，1]　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 32 1. 若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k＝（　　） A. B. 0 C. 或0 D. 8或0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　由可知若k＝0，直线与抛物线只有一个交点（4， 2）；若k≠0，则ky2－y＋2＝0，Δ＝1－8k＝0，所以k＝.综上可知k＝0或 ，故选C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且仅有一个公共点，则斜率k的值是 （　　） A. B. － C. ± D. ± √ 解析： 把y＝kx＋2代入＋＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题 意知Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知双曲线方程为x2－＝1，过点P（1，0）的直线l与双曲线只有一个 公共点，则l共有（　　） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 √ 解析： 因为双曲线方程为x2－＝1，则P（1，0）是双曲线的右顶点， 所以过P（1，0）并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只 有一个公共点，另外两条就是过P（1，0）分别和两条渐近线平行的直 线，所以符合要求的有3条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 已知斜率为－2的直线经过椭圆C：＋＝1的左焦点F1，与椭圆相交 于A，B两点，则A，B两点的坐标分别为（　　） A. （0，－2）， B. （0，2）， C. （0，－2）， D. （0，2）， √ 解析： 　由题意知F1（－1，0），故直线AB的方程为y＝－2（x＋1）， 由得或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 〔多选〕若直线x＝a与双曲线－y2＝1仅有一个交点，则a的值可以是 （　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. －2 √ √ 解析： 　由题设，双曲线顶点坐标为（±2，0），要使x＝a与双曲线 －y2＝1仅有一个交点，所以a＝±2，故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A（x1，y1），B （x2，y2）两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则 （　　） A. y1y2为定值 B. k1k2为定值 C. y1＋y2为定值 D. k1＋k2＋t为定值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由得y2－4ty－16＝0，则对于 A，y1y2＝－16为定值，故A正确；对于B，k1k2＝＝＝＝－1为 定值，故B正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；对于D，k1＋ k2＋t＝＋＋t＝＋t＝＋t＝ ＋t＝＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e的取 值范围是 ⁠. 解析：由题意可得，≤2，所以e＝≤.又e＞1，所以离心 率e的取值范围是（1，]. （1，]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 已知以F1（－2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有 且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为 ⁠. 解析：由题意可设椭圆的方程为＋＝1（a＞2），与直线方程x＋y ＋4＝0联立，得4（a2－3）y2＋8（a2－4）y＋（16－a2）（a2－4）＝ 0，由Δ＝0，得a＝，所以椭圆的长轴长为2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m 的取值范围为 ⁠. 解析：∵直线y＝kx＋1过定点M（0，1），∴要使直线与该椭圆总有公共 点，则点M（0，1）必在椭圆内或椭圆上，由此得解得1≤m ＜5. [1，5）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l 与椭圆C： （1）有两个不同的公共点； （1）当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程有两个不同的实数根，可知原 方程组有两组不同的实数解. 这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）有且只有一个公共点； 解：当Δ＝0，即m＝±3时，方程有两个相同的实数根， 可知原方程组有两组相同的实数解. 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. （3）没有公共点. 解：当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时， 方程没有实数根，可知原方程组没有实数解. 这时直线l与椭圆C没有公共点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 已知双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与 双曲线C仅有一个公共点P，则｜PF2｜＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由已知得c2＝a2＋b2＝1＋1＝2，所以左焦点F1的坐标为（－ ，0），因为过点F1的直线与双曲线C仅有一个公共点P，所以该直线与 双曲线的渐近线y＝x或y＝－x平行，所以不妨设该直线方程为y＝x＋， 联立解得即P，又F2（，0）， 所以｜PF2｜＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 若过点（0，－1）的直线l与抛物线y2＝2x有且只有一个交点，则这样 的直线l有（　　） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 √ 解析： 　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，与抛物线只有一 个交点，满足题意.当直线l的斜率k存在时，若k＝0，则直线l与抛物线y2＝ 2x有且只有一个交点，满足条件；若k≠0，过点（0，－1）的直线l与抛物 线y2＝2x相切，此时有且只有一个交点，这样的直线只有1条.综上满足条 件的直线有3条.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 已知直线l过点A，且与抛物线x2＝2py（p＞0）只有一个公共 点，则直线l的方程为 ⁠. 解析：当直线l斜率不存在时，方程为x＝－p，与抛物线有一个公共点.当 直线l斜率存在时，设l：y－p＝k与x2＝2py联立得x2－2pkx－2p2－ 3kp2＝0，∴Δ＝4p2k2＋4（2p2＋3kp2）＝0，解得k＝－1或k＝－2.∴直线l 的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0.综上，直线l的方程为x＋y＋＝0或2x ＋y＋2p＝0或x＝－p. x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0或x＝－p　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 14. 已知双曲线x2－＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4对称的两点A，B，求 实数k的取值范围. 解：当k＝0时，显然不成立. 当k≠0时，由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－x＋b， 代入3x2－y2＝3中，得（3k2－1）x2＋2kbx－（b2＋3）k2＝0. ∴3k2－1≠0，Δ＝（2kb）2－4（3k2－1）[－（b2＋3）·k2]＞0， 即k2b2＋3k2－1＞0，　① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 设AB的中点为M（x0，y0），则 ∵点M（x0，y0）在直线l上，∴＝＋4， 即k2b＝3k2－1，　② 把②代入①得k2b2＋k2b＞0，解得b＞0或b＜－1. ∴＞0或＜－1， 即｜k｜＞或｜k｜＜，且k≠0. 故k的取值范围是（－∞，－）∪（－，0）∪（0，）∪（，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $