第2章 3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，通过太阳灶、石拱桥等生活实例导入，类比椭圆、双曲线的研究方法，引导学生从范围、对称性、焦点等方面探究，结合表格梳理标准方程性质，即时练巩固，搭建知识学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过类比推理和多方法解题（如例1用定义法与几何法）发展数学思维，表格对比与规范解答提升数学语言表达。课堂巩固分层，小结强调数形结合，助力学生理解应用，教师教学资源丰富高效。

3．2　抛物线的简单几何性质 新课导入 学习目标 生活中不乏以抛物线 为原型的例子，太阳灶、 石拱桥、抛物线型灯具等．除了美观外，主要也是借用了抛物线的一些性质，比如抛物线型石拱桥利用了其跨距大的特点等等．如前面学习椭圆、双曲线一样，下面我们来研究一下抛物线的一些几何性质． 1.掌握抛物线的简单几何性质．　2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．　 3.掌握与抛物线有关的轨迹问题和实际问题．　4.会利用抛物线定义求解相关的最值问题．　 5.能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题． 返回导航 第1课时　抛物线的简单几何性质 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 5 知识点一　抛物线的简单几何性质 思考1　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线的哪些几何性质？ 提示：范围、对称性、顶点及离心率等． 思考2　抛物线与椭圆、双曲线比较有什么明显的区别？ 提示：抛物线没有对称中心，只有一条对称轴，不是封闭图形． 返回导航 [知识梳理] 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形           范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点  __________   __________  __________    __________ 返回导航 准线 方程 _________   ___________  __________  ___________ 对称轴 _______ _________ 顶点 ___________ 离心率 e＝_______ x轴 y轴 (0，0) 1 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形.(　　) (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上．(　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　) (4)抛物线y2＝2px上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0. (　　) × √ √ × 返回导航 2．(多选)已知抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，则下列说法正确的是 (　　) A．抛物线C的焦点坐标是(－1，0) B．抛物线C关于y轴对称 C．抛物线C的准线方程为x＝1 D．抛物线C的焦点到准线的距离为4 AC 返回导航 解析：因为抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，所以抛物线C的方程为y2＝－4x，则抛物线C的焦点坐标是(－1，0)，准线方程为x＝1，故A，C正确； 抛物线C关于x轴对称，故B错误； 抛物线C的焦点到准线的距离为2，故D错误． 返回导航 3．已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线E：y2＝4x上，且|AB|∶|CD|＝1∶2，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为________． 1∶4 返回导航 感悟提升 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点且垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 返回导航 知识点二　由抛物线的几何性质求标准方程 [例1] (对接教材例3)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 由抛物线的几何性质求其标准方程，要先确定抛物线的焦点的位置，不同的焦点设不同的方程，再利用已知的几何性质求参数，此处仍然使用待定系数法求解． 返回导航 解析：依题意，设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，将M(－2，1)代入得(－2)2＝a×1，则a＝4，所以所求抛物线方程为x2＝4y. C 返回导航 y2＝4x 返回导航 B 返回导航 返回导航 (2)设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点P为抛物线C上一点，过P作y轴的垂线，垂足为A，若|PF|＝3|PA|，则cos ∠FPA＝________． 返回导航 返回导航 感悟提升 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点弦：解决焦点弦问题． 返回导航 C 返回导航 返回导航 6 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 28 D 返回导航 BD 返回导航 返回导航 3．已知顶点在原点的抛物线，其焦点关于准线的对称点坐标为(－6，0)，则抛物线的标准方程为___________． y2＝8x 返回导航 4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线x－2y－4＝0上． (1)求该抛物线的方程； 返回导航 (2)若该抛物线上的点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离． 返回导航 课堂小结 1．已学习：抛物线的几何性质及其应用． 2．须贯通：研究抛物线的几何性质应明确抛物线的开口方向，理解p的几何意义体现了数形结合的思想方法． 3．应注意：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误． 返回导航 (0，) (0，－) (，0) (－，0) x＝－ x＝ y＝－ y＝ (2)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1的渐近线相交于A，B两点，若△ABF的周长为4，则抛物线方程为__________． 应用点　抛物线性质的应用 [例2] (1)(2026·濮阳期中)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B(A在线段BF上)，|AB|＝2，则p＝(　　) A．1 B． C．2 D．4 － 解析：由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点， 另外两个在抛物线y2＝x上的顶点关于x轴对称， 如图所示． 设等边三角形边长为a，则A点的横坐标为a×cos 30°＝a，A点的纵坐标为a×sin 30°＝a，则A(a，a)，代入y2＝x得(a)2＝×a，解得a＝6(a＝0舍去)，故等边三角形的边长为6. $