03-§3 02-3.2 抛物线的简单几何性质（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，涵盖定义、焦点、准线、焦点弦及焦半径等核心知识点。课堂导入从等边三角形在抛物线的实际问题切入，衔接圆锥曲线基础，通过题组构建从概念理解到性质应用的学习支架。 其特色在于结合卫星接收天线、工业凹槽等现实情境，培养学生用数学眼光观察世界，通过二级结论推导和逻辑推理训练数学思维，以规范解析过程提升数学语言表达能力。例如卫星天线问题引导抽象抛物线模型，焦点弦性质推导强化逻辑，助力学生提升应用与推理能力，教师可高效开展教学。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §3　抛物线 3.2　抛物线的简单几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　抛物线的简单几何性质 1.[2026广东广州期中]已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等 边三角形的边长为 ( ) A.8 　　    B.4 　　    C.4 　　    D.3      A     解析　由题意,可设另外两个顶点的坐标分别为 , (m>0), 则tan 30°= = ,解得m=4 , 故这个等边三角形的边长为2m=8 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[教材习题改编]已知点A在抛物线y2=2px(p>0)上,若点A到抛物线的对称轴的距离是6,到焦点的距离是 10,则p的值是 ( ) A.2或4　　　　　　    B.6或12 C.4或16　　　　　     D.2或18     D     解析　设A(x,6)(x>0),代入抛物线方程,解得x= ,因为点A到焦点的距离是10, 所以根据抛物线的定义得 + =10, 化简得p2-20p+36=0,解得p=2或p=18. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西部分学校期中联考]已知抛物线C:y2=2px过点A(1,2),F为C的焦点,点P为C上一点,O为坐标 原点,则 ( ) A.C的准线方程为x=-2 B.△AFO的面积为1 C.不存在点P,使得点P到焦点的距离为2 D.存在点P,使得△POF为等边三角形     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将(1,2)代入抛物线方程,得4=2p,解得p=2, 所以抛物线的方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1,A错误; S△AFO= ×1×2=1,B正确; 当点P的坐标为(1,2)时,点P到焦点的距离为2,C错误; 若△POF为等边三角形,则点P的横坐标为 ,当x= 时,y=± , 此时|PO|=|PF|≠|OF|,故不存在点P,使得△POF为等边三角形,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026安徽合肥第八中学期中]图1是卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线,在 轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点F处,已知接收 天线的口径(直径)为4.8 m,深度为1 m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为 ( )  图1     图2 A.1 m　　    B.2.88 m　　    C.5.76 m　　    D.1.44 m     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　建立如图所示的平面直角坐标系,   设抛物线的方程为y2=2px(p>0), ∵接收天线的口径(直径)为|AB|=4.8,深度为|OC|=1, ∴|AC|= |AB|=2.4,故点A(1,2.4), 将点A的坐标代入抛物线的方程可得2.42=2p×1,解得p=2.88, ∴抛物线的方程为y2=5.76x, ∴焦点F的坐标为(1.44,0), ∴抛物线的焦点到顶点的距离为1.44 m. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[易错题][2026江西上饶蓝天教育集团期中]顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线x-2y-4=0上 的抛物线的标准方程为_____________________.     y2=16x或x2=-8y     解析　对于x-2y-4=0,令x=0,得y=-2,令y=0,得x=4, 所以抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). 当焦点为(4,0)时,抛物线的方程为y2=16x;当焦点为(0,-2)时,抛物线的方程为x2=-8y. 故抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-8y. 易错警示　求抛物线的标准方程时,一定要注意是否需要分类讨论焦点所在的位置. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　抛物线的焦点弦与焦半径 6.[2026安徽临泉田家炳实验中学月考]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点F的直线l与抛物线 C交于A,B两点,当直线l的斜率为 时,|AB|=16,则p=( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.4     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得F ,则当直线l的斜率为 时,l:y=  , 联立  得x2-5px+ =0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5p, 所以|AB|=x1+x2+p=6p=16,故p= . 二级结论　　　已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西赣州安远二中期中]已知O为坐标原点,F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是C上位于x轴异侧的 两点,且|AF|=3,|BF|= ,则△OAB的面积为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.2      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知|OF|=1,不妨设点A(x1,y1),B(x2,y2),且点A位于第一象限, 由|AF|=x1+1=3,解得x1=2,则y1=2 ,则A(2,2 ), 由|BF|=x2+1= ,解得x2= , 则y2=- ,则B , 故kAB= =2 , 所以直线AB的方程为y-2 =2 (x-2),令y=0,得x=1, 所以直线AB过点F, 故A,B,F三点共线, 所以S△OAB=S△OAF+S△OBF= |OF||y1-y2|= ×1×(2 + )= . 第1讲　描述运动的基本概念 二级结论　　　已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,焦点弦为AB(A在B的上方),直线AB的倾斜角为θ,则| AF|= ,|BF|= ,S△AOB= . 　　对于本题,由题意得直线AB过焦点F,设直线AB的倾斜角为θ,则有 =3,解得cos θ= ,则sin θ=  ,所以S△OAB= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西景德镇一中期中]已知O为坐标原点,F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,P为抛物线C上任意 一点(不与O重合),Q为PF的中点,则直线OQ的斜率的取值范围是 ( ) A.[-1,1]　　    B.(-∞,-1]∪[1,+∞) C. 　　    D.(-∞,-2]∪[2,+∞)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可知F , 设P (x0≠0), 则Q (x0≠0), 所以kOQ= = + . 当x0>0时, + ≥2 =1, 当且仅当 = ,即x0=p时等号成立, 故kOQ≥1; 第1讲　描述运动的基本概念 当x0<0时, + =-  ≤-2 =-1, 当且仅当- =- ,即x0=-p时等号成立,故kOQ≤-1. 综上,直线OQ的斜率的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江苏淮安高中校协作体期中]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过焦点F且斜 率为2的直线l与抛物线交于A,B两点,则 + 的值为 ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     A     解析　由焦点F到准线的距离为2知p=2,则抛物线的方程为y2=4x,F(1,0), 所以直线l的方程为y=2(x-1), 即y=2x-2,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 得x2-3x+1=0, 则x1+x2=3,x1x2=1, 由抛物线的定义得,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以 + = + = =1. 第1讲　描述运动的基本概念 二级结论　　　已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线l交C于A,B两点(A在第一象限内),则  + = . 　　对于本题,由二级结论直接得 + = =1. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2026湖北武汉部分学校期末]设O为坐标原点,直线m过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且与 C交于A,B两点(点A在第一象限内),|AB|min=4,l为C的准线,AM⊥l,垂足为M,Q(0,1),则下列说法正确的是  ( ) A.p=2 B.|AM|+|AQ|的最小值为  C.若∠MFO= ,则|AB|=5 D.若 =2 ,则直线AB的斜率为 或-      AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由题意得2p=4(所有的焦点弦中,通径最短,为2p),所以p=2,故A正确; 对于B,由A知抛物线的方程为y2=4x, 则F(1,0),由抛物线定义知|AM|=|AF|, 所以|AM|+|AQ|=|AF|+|AQ|≥|QF|= ,当且仅当F,A,Q三点共线时等号成立,故B正确; 对于C,记l与x轴的交点为H,过B作BN⊥l,垂足为N, 因为∠MFO= ,|FH|=p=2,所以|MH|=2 , 则点A的纵坐标为2 ,代入抛物线方程得x=3,所以A(3,2 ), 所以|AF|=|AM|=3+1=4,又|BF|=|BN|>1,所以|AB|=|AF|+|BF|>4+1=5,故C错误; 对于D,当 =2 时,直线AB的斜率存在且不为0,设其方程为y=k(x-1), 由 消去x得y2- -4=0,设A(x1,y1),x1>0,y1>0,B(x2,y2),x2>0,y2<0,则y1+y2= ,y1y2=-4, 由 =2 ,点A在第一象限内,得k<0,y2=-2y1,解得k=-2 ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §3　抛物线 3.2　抛物线的简单几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组　抛物线的几何性质及其应用 1.[2026辽宁沈阳育才学校期中]一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,1 0],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半 径为 ( )   A. 　　    B.1　　    C.2　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示:   设钢球的圆心坐标为(0,y0)(y0>0),若钢球触及凹槽的最底部,则钢球的半径r=y0,抛物线上的点(x,y)与圆 心之间的距离的平方为d2=x2+(y-y0)2=2y+(y-y0)2=y2+2(1-y0)y+ , 若d2的最小值在(x,y)为(0,0),即y=0时取到,则钢球触及凹槽的最底部, 故此二次函数的图象的对称轴应在y轴的左侧,所以y0-1≤0,即y0≤1,所以0<r≤1, 所以清洁钢球的最大半径为1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西抚州崇仁第一中学月考]已知M为抛物线G:y2=4x上的动点,P,Q为圆C:y2+(x-2)2=1上的两个 不同的点,若MP,MQ均与圆C相切,则 · 的最小值为 ( ) A.2 -3　　    B. 　　    C. 　　    D.3     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设∠CMP=θ,|CM|=m,M(x0,y0),x0≥0,则 =4x0, 所以|CM|= = ≥2, 则m≥2,因为MP,MQ均与圆C相切, 所以∠PMQ=2θ,|MP|=|MQ|= ,sin θ= , 所以 · =| || |cos∠PMQ=(m2-1)cos 2θ=(m2-1)(1-2sin2θ)=(m2-1) =-3+m2+ ,m≥2, 又y=x+ 在[2,+∞)上单调递增, 所以 · =-3+m2+ ≥-3+4+ = ,当且仅当m=2时取等号, 所以 · 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江西创智协作体联合调研] 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线x=ky+ 与抛物线C交于点M,N(M在x轴上方),O为坐标原点,|OF| = ,|NF|=2,则 ( ) A.p=3 B.k=  C.△MOF与△NOF的面积的比值为3 D.△MNO的面积为3      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为|OF|= , 所以 = ,解得p=3,故A正确. 由A知,抛物线C的方程为y2=6x, 由|NF|=xN+ =2得xN=2- = , 则yN=- ,所以N , 又F , 所以直线MN的斜率为 = , 则k= ,故B错误. 第1讲　描述运动的基本概念 由B知,直线MN的方程为x= y+ ,代入抛物线方程,得y2-2 y-9=0, 则yM+yN=2 ,得yM=3 , 故 = = =3,故C正确. S△MON=S△MOF+S△NOF= |OF|(|yM|+|yN|)= |OF|(yM-yN)= × ×4 =3 ,故D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026云南昆明第一中学联考]设抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线与C交于M,N两点,则下列说 法不正确的是( ) A.抛物线C的准线方程为y=-1 B.若|MF|=3,则点M的纵坐标为2 C.以MN为直径的圆与准线相切 D.以MF为直径的圆与准线相切     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由抛物线方程得2p=4, 则 =1,所以焦点F(0,1). 对于A,抛物线C的准线方程为y=-1,A中说法正确; 对于B,若|MF|=3,则点M到准线y=-1的距离为3,则yM+1=3,则yM=2,则点M的纵坐标为2,B中说法正确; 对于C,取线段MN的中点P,设准线为l, 过N作NA⊥l,垂足为A,过P作PQ⊥l,垂足为Q,过M作MB⊥l,垂足为B,由抛物线的定义知|NA|=|NF|,|MB|=| MF|, 由梯形中位线定理得|PQ|= = = , 故以MN为直径的圆与准线相切,C中说法正确; (小结论:以焦点弦为直径的圆和准线相切) 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,设M , 则MF的中点的坐标为 ,  |MF|=   =  = , MF的中点 到准线的距离为 +1, +1> , 所以以MF为直径的圆与准线相离,故D中说法错误. (小结论:以焦半径为直径的圆与准线平行的坐标轴相切) 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江西景德镇一中期中]已知抛物线C:y2=4x,其焦点为F,点M是抛物线C上的动点,过点F作直线(a- 1)x+y-2a+1=0的垂线,垂足为P,则|MF|+|MP|的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.5　　    D.3     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得F(1,0),抛物线C的准线方程为x=-1, 方程(a-1)x+y-2a+1=0可化为a(x-2)+(y-x+1)=0, ∴直线(a-1)x+y-2a+1=0过定点(2,1),记为B, 设P(x,y),取线段FB的中点A,连接AP, 则A ,∵FP⊥BP, ∴|PA|= |FB|= , 即 + = ,故点P的轨迹是以A为圆心, 为半径的圆. 过点M作准线x=-1的垂线,垂足为M1,则|MM1|=|MF|, ∴|MF|+|MP|=|MM1|+|MP|, 第1讲　描述运动的基本概念 又|MP|≥|MA|- ,当且仅当M,P,A三点共线且P在M,A之间时等号成立, ∴|MF|+|MP|≥|MM1|+|MA|- , 过点A作准线x=-1的垂线,垂足为A1,则|MM1|+|MA|≥|AA1|= ,当且仅当A1,M,A三点共线时等号成立, ∴|MF|+|MP|≥ ,当且仅当A1,M,P,A四点共线且P在M,A之间时等号成立,∴|MF|+|MP|的最小值为  . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏泰州兴化期中]若方程ax2+ay2-(x+y-1)2=0表示的曲线是抛物线,则实数a的值为2,此抛物线 的顶点坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由ax2+ay2-(x+y-1)2=0, 可得 (x2+y2)= , 所以  = (*), (*)式表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离的 倍和点(x,y)到直线x+y-1=0的距离相等, 由抛物线的定义可知,若方程表示抛物线,则 =1,解得a=2. 易知抛物线的焦点为(0,0),准线方程为x+y-1=0,过(0,0)与直线x+y-1=0垂直的直线方程为y=x, 联立  第1讲　描述运动的基本概念 解得  所以抛物线的准线与对称轴的交点坐标为 , 所以抛物线的顶点是以焦点(0,0)与 为端点的线段的中点,即 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西南昌第十中学期中]已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点M ,其焦点为F,|MF|=2. (1)求m的值以及抛物线C的方程; (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于点A,C和B,D,求四边形ABCD的面积的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得|MF|= + =2, ∴p=1,故抛物线C的方程为y2=2x. 将M 代入抛物线方程,得m2=3,解得m=± . (2)由题知过F点的两条互相垂直的直线的斜率均存在,且不为零, 设lAC:y=k ,lBD:y=-  ,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 联立  得4k2x2-(4k2+8)x+k2=0, ∴x1+x3=1+ , 第1讲　描述运动的基本概念 故|AC|=|AF|+|CF|=p+x1+x3=2+ , 联立  得4x2-(4+8k2)x+1=0,∴x2+x4=1+2k2, 故|BD|=|BF|+|DF|=p+x2+x4=2+2k2, ∵AC⊥BD, ∴S四边形ABCD= |AC||BD|=  (2+2k2)=2 ≥2 =8,当且仅当k2= ,即k=±1时等 号成立, 故四边形ABCD的面积的最小值为8. 第1讲　描述运动的基本概念 $