3.2抛物线的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，通过手电筒聚光情境导入引发思考，结合表格对比四种标准方程的焦点、准线等性质，通过自我诊断夯实基础，典型例题分题型搭建从性质到应用的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过“想一想”引导学生自主探究影响开口大小的因素发展数学思维，实际应用问题如货船过桥孔体现数学语言表达现实世界。通性通法总结助力教师系统教学，帮助学生提升直观想象与数学运算能力，教师可高效实施分层教学。

3.2　抛物线的简单几何性质 新课程标准解读 核心素养 1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质 直观想象 2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思 想，了解抛物线的简单应用 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？ 【问题】　上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点　抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2 px （ p ＞0） y2＝－2 px （ p ＞0） x2＝2 py （ p ＞0） x2＝－2 py （ p ＞0） 图形 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 类型 y2＝2 px （ p ＞0） y2＝－2 px （ p ＞0） x2＝2 py （ p ＞0） x2＝－2 py （ p ＞0） 性 质 焦点 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 准线 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 范围 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 对称轴 ⁠ ⁠ 顶点 ⁠ F 　 F 　 F 　 F 　 x ＝－ 　 x ＝ 　 y ＝－ 　 y ＝ 　 x ≥0， y ∈R　 x ≤0， y ∈R　 x ∈R， y ≥0　 x ∈R， y ≤0　 x 轴　 y 轴　 O （0，0）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 类型 y2＝2 px （ p ＞0） y2＝－2 px （ p ＞0） x2＝2 py （ p ＞0） x2＝－2 py （ p ＞0） 性 质 离心 率 ⁠ 开口 方向 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ e ＝1　 向右　 向左　 向上　 向下　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【想一想】 　 在同一平面直角坐标系下试画出抛物线 y2＝ x ， y2＝2 x 和 y2＝3 x 的 图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？ 提示：影响抛物线开口大小的量是参数 p ， p 值越大，抛物线的开口 越大，反之，开口越小. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）抛物线 x2＝2 py （ p ＞0）有一条对称轴为 y 轴. （　√　） （2）抛物线 y ＝－ x2的准线方程是 x ＝ . （　×　） （3）抛物线是中心对称图形. （　×　） （4）过定点 P （0，1）作与抛物线 y2＝2 x 只有一个公共点的直 线，共可作3条. （　√　） √ × × √ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离 的取值范围是（　　） A. （6，＋∞） B. [6，＋∞） C. （3，＋∞） D. [3，＋∞） 解析：　∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴ ＝6，即 p ＝12.又 抛物线上的点到准线距离的最小值为 ，∴抛物线上的点到准线距 离的取值范围为[6，＋∞）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 已知过抛物线 y2＝4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A ， B 两点，｜ AF ｜＝2，则｜ BF ｜＝ ⁠. 解析： F （1，0），由抛物线定义得 A 点横坐标为1.∴ AF ⊥ x 轴， ∴｜ BF ｜＝｜ AF ｜＝2. 2　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 由性质求抛物线的标准方程 【例1】　（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上 一点 M （ m ，－3）到焦点的距离为5，求 m 的值、抛物线方程和准线 方程； 解：因为顶点在原点，焦点在 y 轴上，点 M （ m ，－3）位 于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法一　设所求抛物线方程为 x2＝－2 py （ p ＞0）， 则焦点为 F （0，－ ）. 因为 M （ m ，－3）在抛物线上且｜ MF ｜＝5， 故解得 故 m ＝±2 ，抛物线方程为 x2＝－8 y ，准线方程为 y ＝2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　如图所示，设抛物线方程为 x2＝－2 py （ p ＞ 0），则焦点为 F （0，－ ）， 准线 l ： y ＝ ，过点 M 作 MN ⊥ l ，垂足为 N ，则｜ MN ｜＝｜ MF ｜ ＝5，而｜ MN ｜＝3＋ ，所以3＋ ＝5，解得 p ＝4.又点 M 在抛物线 上，所以 m2＝24，解得 m ＝±2 . 故 m ＝±2 ，抛物线方程为 x2＝－8 y ，准线方程为 y ＝2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛 物线交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，若△ OAB 的面积等于4， 求此抛物线的标准方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由题意，可设抛物线的方程为 y2＝2 px （ p ≠0），则焦点为 F （ ，0），直线 l ： x ＝ ，所以直线 l 与抛物线的交点的坐标分别为 （ ， p ），（ ，－ p ），所以｜ AB ｜＝2｜ p ｜. 因为△ OAB 的面积为4， 所以 · ·2｜ p ｜＝4，所以 p ＝±2 . 故所求抛物线的标准方程为 y2＝4 x 或 y2＝－4 x . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 由抛物线的几何性质求标准方程的方法 （1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未 知数； （2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦 准距，从而得到抛物线的标准方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 边长为1的等边三角形 AOB ， O 为坐标原点， AB ⊥ x 轴，以 O 为顶 点且过 A ， B 的抛物线方程是（　　） 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　设抛物线方程为 y2＝ ax （ a ≠0）.又 A （取点 A 在 x 轴上方），则有 ＝± a ，解得 a ＝± ，所以抛物线方程为 y2＝± x .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴且与圆 x2＋ y2＝4相交 的公共弦长等于2 ，则抛物线的方程为 ⁠. 解析：根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为± ，交点 横坐标为±1，则抛物线过点（1， ）或（－1， ），设抛物 线方程为 y2＝2 px 或 y2＝－2 px （ p ＞0），则2 p ＝3，从而抛物线方 程为 y2＝3 x 或 y2＝－3 x . y2＝3 x 或 y2＝－3 x 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 由抛物线的方程研究其几何性质 【例2】　已知等边三角形 AOB 的顶点 A ， B 在抛物线 y2＝ x 上， O 为 坐标原点，顶点 A 到抛物线的焦点 F 的距离等于 ，则△ AOB 的面积 为 ⁠. 3 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：∵△ AOB 是等边三角形， A ， B 在抛物线 y2＝ x 上，∴顶点 A ， B 关于抛物线的对称轴（ x 轴）对称，不妨设 A （ x0， y0）（ x0＞0， y0＞0），则 B （ x0，－ y0）.由｜ AF ｜＝ x0＋ ＝ ，解得 x0＝3， ∴ y0＝ ，∴△ AOB 的边长｜ AB ｜＝2 y0＝2 ，∴△ AOB 的面积为 ×（2 ）2× ＝3 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 确定抛物线的简单几何性质的三个要点 （1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准二次 项是 x 还是 y ，一次项的系数是正还是负； （2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂 直于对称轴； （3）定值：焦点到准线的距离为 p ，过焦点垂直于对称轴的弦（又称 为通径）长为2 p （ p ＞0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　抛物线 x2＝2 py （ p ＞0）的焦点为 F ，其准线与双曲线 － ＝1相交于 A ， B 两点，若△ ABF 为等边三角形，则 p ＝ ⁠. 解析：如图，在等边△ ABF 中， DF ＝ p ， BD ＝ p ，则 B 点坐标为 .又点 B 在双曲线 上，故 － ＝1.解得 p ＝6. 6　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 抛物线的实际应用问题 【例3】　某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物 线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲 过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5 米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装 150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度， 问：该 货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为 x 轴，竖直直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以 A （10，－2）. 设桥孔上部抛物线方程是 x2＝－2 py （ p ＞0）， 则102＝－2 p ×（－2）， 所以 p ＝25， 所以抛物线方程为 x2＝－50 y ， 即 y ＝－ x2. 若货船沿正中央航行，船宽16米，而当 x ＝8时， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） y ＝－ ×82＝－1.28， 即船体在 x ＝±8之间通过点 B （8，－1.28），此 时 B 点距水面6＋（－1.28）＝4.72（米）. 而船体高为5米，所以无法通行. 又因为5－4.72＝0.28（米），0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050（吨）， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现 有状况下不能通过桥孔. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求抛物线实际应用问题的五个步骤 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　 如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m. 水位下降1 m后，水面宽 ⁠ m. 2 　 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的 方程为 x2＝－2 py （ p ＞0），则点（2，－2）在抛物 线上，代入可得 p ＝1，所以 x2＝－2 y .当 y ＝－3时， x2＝6，所以水面宽为2 m. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 抛物线 y ＝ ax2的准线方程是 y ＝1，则 a 的值为（　　） A. 4 B. －4 解析：　由题意知抛物线的标准方程为 x2＝ y ，所以准线方程 y ＝－ ＝1，解得 a ＝－ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 过抛物线 x2＝4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P1（ x1， y1）， P2 （ x2， y2）两点，若 y1＋ y2＝6，则｜ P1 P2｜＝（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 解析：　抛物线 x2＝4 y 的准线为 y ＝－1，因为 P1（ x1， y1）， P2 （ x2， y2）两点是过抛物线焦点的直线 l 与抛物线的交点，所以 P1 （ x1， y1）， P2（ x2， y2）两点到准线的距离分别是 y1＋1， y2＋ 1，所以｜ P1 P2｜＝ y1＋ y2＋2＝8. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. （多选）以 y 轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直 的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（　　） A. y2＝8 x B. y2＝－8 x C. x2＝8 y D. x2＝－8 y 解析：　设抛物线方程为 x2＝2 py （ p ＞0）或 x2＝－2 py （ p ＞ 0），依题意得 y ＝ ，代入 x2＝2 py 或 x2＝－2 py 得｜ x ｜＝ p ， ∴2｜ x ｜＝2 p ＝8， p ＝4.∴抛物线方程为 x2＝8 y 或 x2＝－8 y . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物 线反射后与对称轴平行.如图所示，沿直线 y ＝－2发出的光线经抛 物线 y2＝2 px （ p ＞0）反射后，与 x 轴相交于点 A （2，0），则该 抛物线的焦点到准线的距离为 ⁠. 4　 解析：依题意， A （2，0）为该抛物线的焦点，则 ＝2，得 p ＝4.∴该抛物线的焦点到准线的距离为4. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 抛物线 y2＝4 x 的弦 AB ⊥ x 轴，若｜ AB ｜＝4 ，则焦点 F 到直线 AB 的距离为 ⁠. 解析：由抛物线的方程可知 F （1，0），由｜ AB ｜＝4 且 AB ⊥ x 轴得 ＝（2 ）2＝12，∴ xA ＝ ＝3，∴所求距离为3－1＝2. 2　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝ ， S△ OAB ＝ （α是直线 AB 的 倾斜角）； （3） ＋ ＝ 为定值（ F 是抛物线的焦点）. 　活用抛物线的焦点弦 　设 AB 是过抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）焦点 F 的弦，若 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 （1） x1· x2＝ ， y1· y2＝－ p2； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 一、活用 x1· x2＝ ， y1· y2＝－ p2 【例1】　已知抛物线 C 的顶点是原点 O ，焦点 F 在 x 轴的正半轴上， 经过点 F 的直线与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 · ＝－12，则抛 物线 C 的方程为（　　） A. x2＝8 y B. x2＝4 y C. y2＝8 x D. y2＝4 x 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析： 　设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 · ＝ x1 x2＋ y1 y2＝ － p2＝－ p2＝－12，得 p ＝4（舍负），即抛物线 C 的方程为 y2＝8 x ，故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 　　该种类型题目通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组 求解，较为迅速的得到结果，体现了模式化的认识特征，将特征的概 念结论广泛地、抽象地应用于数学题目，体现了数学抽象、数学运算 的核心素养. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 二、活用｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝ 【例2】　抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角 为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：依题意可设抛物线的方程为 y2＝2 px （ p ＞0），则直线方程为 y ＝－ x ＋ . 设直线交抛物线于 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）两点， 则｜ AB ｜＝ ，∴ ＝8，∴ p ＝2， 故所求的抛物线方程为 y2＝4 x . 当抛物线方程设为 y2＝－2 px （ p ＞0）时，同理可求得抛物线方程为 y2＝－4 x . 综上，抛物线方程为 y2＝±4 x . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 　　利用｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝ （α是直线 AB 的倾斜角， α≠0°）可较为迅速的求解焦点弦的长度问题. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 三、活用 ＋ ＝ 为定值 【例3】　过抛物线 y2＝4 x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ， B 两 点，若｜ AF ｜＝2｜ BF ｜，则｜ AB ｜＝（　　） A. 4 C. 5 D. 6 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析： 　因为｜ AF ｜＝2｜ BF ｜， ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝1，解得｜ BF ｜＝ ，｜ AF ｜＝3，故｜ AB ｜＝｜ AF ｜＋｜ BF ｜＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 　　该题将求弦长问题，通过焦半径与 p 之间的关系，转化为焦半径 问题，体现了数学抽象及数学运算的核心素养. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $