第1章 培优点1 直线的对称问题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件系统梳理了直线对称问题的四大类型，即点关于点、线关于点、点关于线、线关于线的对称，通过例题解析与方法点拨构建知识网络，清晰呈现各类型问题的逻辑关系和解题脉络。 其亮点在于结合光的反射、距离最值等实际情境设计例题，如利用对称求|AP|+|CP|最小值，培养学生的逻辑推理和数学运算能力。尝试训练题分层设置，从基础对称点求解到综合最值应用，帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习的教学支持。

培优点1　直线的对称问题 　　直线的对称问题是平面解析几何中的重点问题，主要包括点关于点的对称、线关于点的对称、点关于线的对称、线关于线的对称四种类型，这类问题主要考查学生的逻辑推理和数学运算能力，通常与光的反射、距离和与差的最值问题结合在一起进行考查，难度中等． 返回首页 类型一 中心对称问题 [例1] (1)已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝(　　) A．－5 B．14 C．－14 D．5 C 返回首页 返回首页 (2)直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)对称的直线l的方程为______________． 【解析】　方法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且点M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 3x－y－10＝0 返回首页 方法二：因为点(2，－1)不在直线3x－y－4＝0上，由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，则可设直线l的方程为3x－y＋c＝0(c≠－4). 在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)， 则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋c＝0上， 所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 返回首页 方法点拨 返回导航 类型二 轴对称问题 D 返回首页 返回首页 (2)直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是____________． 2x－y＋1＝0 返回首页 方法点拨 返回导航 (2)直线关于直线对称：①若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． ②若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解． 方法点拨 返回导航 类型三 利用对称求最值 [例3]已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0). (1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小，并求这个最小值； 返回首页 返回首页 (2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大，并求这个最大值． 返回首页 返回首页 根据题目条件求距离的最大值及最小值是解析几何的一个重要问题，解决此类问题主要有两种方法： (1)代数法：把距离表示为某个变量的函数，转化为函数的最值问题． (2)几何法：由几何图形指出哪种状态下有最大值和最小值，进而求出最大值和最小值．一般来说，当两点A，B在直线l的两侧时，可利用三点共线求出|PA|＋|PB|的最小值；当两点A，B在直线l的同侧时，可利用三点共线求出||PA|－|PB||的最大值． 方法点拨 返回导航 [尝试训练] 1.已知直线l：2x－y－6＝0，则点M(1，1)关于直线l的对称点N的坐标为(　　) A．(－1，5) B．(5，－1) C．(－5，1) D．(1，－5) B 返回首页 返回首页 2．已知直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则实数b的值为(　　) A．2 B．6 C．－2 D．－6 解析：由于直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，所以两直线平行，故2a＝4，则a＝2，由于点(3，0)在直线x＋2y－3＝0上，点(3，0)关于点A(1，0)的对称点为(－1，0)， 故点(－1，0)在直线ax＋4y＋b＝0上，代入可得－a＋b＝0，故b＝a＝2. A 返回首页 3．直线y＝2x＋1关于直线y＝2x＋3对称的直线方程为____________. y＝2x＋5 返回首页 4．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为____________． 返回首页 5 $