2.1.2椭圆的简单几何性质课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

§1 椭 圆 第二章 第二章：圆锥曲线 §1.2 椭圆的简单几何性质 （重点） （重点） （难点） 学习目标 思考：由椭圆的标准方程和图形可以获得椭圆的哪些简单的几何性质呢？ 复习导入 椭圆的标准方程 y x M O F1 F2 以焦点在x轴的椭圆C： 为例，通过图像观察椭圆上点的坐标的范围、对称性，与坐标轴的交点有和特点？ 由方程①可得椭圆C上的任意一点P(x,y)总满足 即 -a≤x≤a,-b≤y≤b 这说明椭圆C位于四条直线：x=-a，x=a，y=-b，y=b所围成的矩形区域内． 探索新知 1.范围 y x P O F1 F2 探索新知 根据椭圆方程的结构特点，可以发现： 若(x0,y0)是椭圆方程的一组解，即 ，则(x0,-y0)，(-x0,y0)，(-x0,-y0)也是方程的解, 这说明：若点P(x0,y0)在椭圆上，则点P分别关于x轴、y轴和原点O对称的点P1(x0,-y0)，P2(-x0,y0)，P3(-x0,-y0)也在椭圆上． 这说明椭圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形．这个中心称为椭圆的中心． 探索新知 2.对称性 如图，在椭圆C的标准方程①中，当x=0，y=±b．这说明B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆C与y轴的两个交点． 同理，当y=0时，x=±a，即A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆C与x轴的两个交点． 因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点．这四个交点叫作椭圆的顶点. 椭圆 的四个顶点分别为： A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) 探索新知 3.顶点 线段A1A2，B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴，且 |A1A2|=2a, |B1B2|=2b a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长．它反映了a，b的几何意义. 由于b2=a2-c2，a，b，c就是图中Rt△OB2F2的三边长，它们从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义. 探索新知 注：椭圆标准方程中的a，b，c的几何意义 反映了椭圆的扁平程度 我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即 显然0<e<1． 如图(1)，e越接近于l，椭圆就越扁．反之，如图(2)，e越接近于0，椭圆就越接近于圆．当a=b时，椭圆的方程为x2+y2=a2．这时c=0，两个焦点重合，图形变为圆． 探索新知 4.离心率 反映了椭圆的扁平程度 我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即 探索新知 4.离心率 性质:1.椭圆离心率e的取值范围是(0,1). 2.当e越接近于1时，椭圆就越扁； 当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 当且仅当a=b时，c=0,这时,两个焦点重合,图形变成圆. 它的方程为x2+y2=a2 . 例1： 求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形． 解：已知方程化为椭圆的标准方程 则a=5,b=3, c= 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10,2b=6 离心率是 两个焦点分别是F1(-4,0)，F2(4,0) 椭圆的四个顶点分别是A1(-5,0),A2(-5,0),B1(0,-3),B2(0,3) 典例讲解 将方程变形为 ，由 ，在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x,y)，如下表(y的值精确到0.1)． x 0 1 2 3 4 5 y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图)． 典例讲解 巩固训练1 已知椭圆， ，则( ). D A.椭圆与的顶点相同 B.椭圆与 的长轴长相同 C.椭圆与的短轴长相同 D.椭圆与 的焦距相等 巩固训练2 椭圆上的点 到其右焦点的距离的( ). D A.最大值为5，最小值为4 B.最大值为10，最小值为8 C.最大值为10，最小值为6 D.最大值为9，最小值为1 方法总结 用标准方程研究几何性质的步骤:（1）将椭圆方程化为标准形式；（2）确定焦点 位置；（3）求出<m></m>，<m></m>，<m></m>；（4）写出椭圆的几何性质. 探索新知 思考：若椭圆焦点在y轴，通过其方程和图像观察椭圆上点的坐标的范围、对称性，与坐标轴的交点有和特点？ 2.对称性： 1.范围： 3.顶点： 其中椭圆标准方程中的a，b，c的几何意义： 4.离心率： 椭圆的简单几何性质： 探索新知 例2：分别求出适合下列条件的椭圆的标准方程: （1）长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为 ； 解：由已知2a=12, ,得a=6,c=4 从而 b2=a2-c2=20 所以椭圆的标准方程为 典例讲解 （2）经过点P(-6,0)和Q(0,8)． 解：由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有 a=8,b=6 又因为长轴在y轴上，所以椭圆的标准方程为 练习：如图，点P是圆O：x2+y2=4上的动点，作PH⊥x轴于点H，求线段PH的中点M的轨迹方程，并指出该轨迹是什么图形． 解：设点M的坐标为(x,y) ，则点P的坐标为(x,2y)． 因为点P在圆O上，所以x2+(2y)2=1，即 所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆． 典例讲解 例3：2022年10月31日15时37分，搭载空间站梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭，在我国文昌航天发射场准时发射，约8min后,梦天实验舱与火箭成功分离并准确进入预定椭圆轨道，该轨道的近地点(离地面最近的点)高度约为388 km，远地点(离地面最远的点)高度约为398 km，求该椭圆轨道的标准方程.(注：将地球看作一个球，其半径约为6 371 km，地球中心位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地球中心共线) 解：如图，设地心为椭圆轨道右焦点F2，近地点、远地点分别为A2，A1，以直线A1A2为x轴，线段A1A2的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则F2，A1，A2三点都在x轴上， 典例讲解 |F2A2|=a-c=388+6371 |F2A1|=a+c=398+6371 所以 a=6764,c=5 从而 b2=a2-c2=67642-52=45751671 所以椭圆轨道的标准方程为 典例讲解 典例讲解 典例讲解 例4 （2022年全国甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在 上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则 的离心率为( ). A A. B. C. D. 解：已知，设，则 ， ， ， 故 , ① ， , ② ②代入①中，整理得 ， .故选 典例讲解 方法总结 求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法 （1）直接法:若已知<m></m>，<m></m>，可直接利用<m></m>求解；若已知<m></m>，<m></m>或<m></m>，<m></m>，可借助 <m></m>求出<m></m>或<m></m>，再代入公式<m></m>求解. （2）方程法:若<m></m>，<m></m>的值不可求，则可根据条件建立<m></m>，<m></m>，<m></m>的关系式，借助 <m></m>，转化为关于<m></m>，<m></m>的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以<m></m> 的最高次幂，得到关于<m></m>的方程或不等式，即可求得<m></m>的值或取值范围. 巩固训练1 已知是椭圆上的一点，为椭圆的右焦点， 轴，过点且斜率为 的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为( ). C A. B. C. D. 当堂检测 1.曲线与曲线 的( ). D A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 2.离心率且与椭圆 共焦点的椭圆方程为( ). B A. B. C. D. 3.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 的值为__. 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率 ，连接 椭圆的四个顶点，所得四边形的面积为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）设，是直线上的不同两点，若，求 的最小值. 当堂检测 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率 ，连接 椭圆的四个顶点，所得四边形的面积为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）设，是直线上的不同两点，若，求 的最小值. 解： （1）由题意得 解得 所以椭圆的标准方程为 . （2）由（1）知，，设直线上的两个不同点， 的坐标 分别为，，则， ，由 ，得，即 . 不妨设，则，当且仅当， 时 取等号，所以的最小值是 课堂小结 $