第1章 2.1 圆的标准方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆的标准方程及点与圆的位置关系，以“月亮如圆”的文学情境导入，通过思考问题引导学生从圆的定义出发，推导标准方程，再结合待定系数法、几何法探究求圆方程的方法，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过多解法（如例2用几何法和代数法判断点的位置）和母题探究发展数学思维，感悟提升环节系统总结方法强化数学语言表达。学生能在探究中提升逻辑推理与运算能力，教师可借助结构化内容高效开展教学。

§2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 新课导入 学习目标 月亮，是中国人心目中的宇 宙精灵，在文学作品中有大量描 写：小时不识月，呼作白玉盘． 又疑瑶台镜，飞在青云端……，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，那么我们如何确定该圆的方程呢？ 1.掌握圆的定义及标准方程．　2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　圆的标准方程 思考1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 返回导航 思考2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，设圆上任一点M(x，y)，你能得到x，y的关系吗？ 返回导航 [知识梳理] 1．圆的定义：平面内到______的距离等于______的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，其中______是圆心，______是半径． 2．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为____________________． (x－a)2＋(y－b)2＝r2 定长 定点 定长 定点 返回导航 ABD 返回导航 圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为|b|，B错误，C正确； 返回导航 (2)(对接教材例3)求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 返回导航 返回导航 母题探究　本例(2)变为求经过点P(1，1)和坐标原点O且周长最小的圆的标准方程． 返回导航 感悟提升 求圆的标准方程的常用方法 (1)直接法：求出圆心和半径，直接写出方程． (2)待定系数法：一般步骤为：   (3)几何法：巧妙利用几何性质如垂径定理、切线的性质等确定圆心和半径，求出圆的标准方程． 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知一个圆的方程满足：圆心为(－3，4)，且过原点，则它的方程为(　　) A．(x－3)2＋(y－4)2＝5 B．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25 C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25 D 返回导航 (2)(2026·平谷月考)写出一个关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为_______________________________________________________________． 解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0，圆心坐标为(a，b)，半径为r，因为圆关于直线x－y＋1＝0对称，所以a－b＋1＝0，所以b＝a＋1， 不妨取a＝0，r＝1，则b＝1， 则关于直线x－y＋1＝0对称的一个圆的方程为x2＋(y－1)2＝1. x2＋(y－1)2＝1(答案不唯一，形如(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2，r＞0即可) 返回导航 知识点二　点与圆的位置关系 思考　平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置． 返回导航 >  >  ＝ ＝ <  <  返回导航 [例2] (对接教材例1)已知E(4，9)，F(6，3)两点，线段EF是圆C1的直径，求圆C1的标准方程，并判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)在圆上、圆内，还是在圆外． 返回导航 感悟提升 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小来判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断． 返回导航 [跟踪训练2] (1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则下列点在圆C内的是(　　) A．(0，0) B．(1，0) C．(2，1) D．(2，－1) BC 返回导航 解析：对于A，因为(0－1)2＋(0－1)2＝2，所以点(0，0)在圆上，所以A不符合题意； 对于B，因为(1－1)2＋(0－1)2＝1<2，所以点(1，0)在圆内，所以B符合题意； 对于C，因为(2－1)2＋(1－1)2＝1<2，所以点(2，1)在圆内，所以C符合题意； 对于D，因为(2－1)2＋(－1－1)2＝5>2，所以点(2，－1)在圆外，所以D不符合题意． 返回导航 (2)已知点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则实数a的取值范围为____________________________________． 解析：由题意得(1－a)2＋(1＋a)2>4，即2＋2a2>4，可得a<－1或a>1. 所以实数a的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞). (－∞，－1)∪(1，＋∞) 返回导航 D 返回导航 返回导航 (2)已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，则x2＋y2的最大值是________________，最小值是________________． 返回导航 感悟提升 常见代数式的几何意义 (1)x2＋y2表示点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2表示点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 28 1．在平面直角坐标系中，圆心为(1，－3)，半径为2的圆的标准方程为 (　　) A．(x－1)2＋(y＋3)2＝4 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝2 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝4 D．(x＋1)2＋(y－3)2＝2 解析：圆心为(1，－3)，半径为2的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝4. A 返回导航 2．(多选)已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　　　) A．圆M的圆心为(4，－3) B．点(1，0)在圆内 C．圆M的半径为5 D．点(－3，1)在圆内 ABC 解析：圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25的圆心为(4，－3)，半径为5，A，C正确； 由(1－4)2＋(0＋3)2＝18<25，得点(1，0)在圆内，B正确； 由(－3－4)2＋(1＋3)2＝65>25，得点(－3，1)在圆外，D错误． 返回导航 3．(2026·湘潭期中)过三点(0，0)，(4，0)，(4，2)的圆的标准方程为______________________． (x－2)2＋(y－1)2＝5 返回导航 4．已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程． 返回导航 课堂小结 1．已学习：圆的标准方程及点和圆的位置关系． 2．须贯通：求圆的标准方程有待定系数法和几何性质法，利用方程思想和数形结合思想． 3．应注意：利用几何法求圆的标准方程时，要全面考虑，否则易出现漏解的情况． 返回导航 [例1] (1)(多选)下列说法错误的是(　　　　) A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5 B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b C．圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为 [知识梳理] 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 距离判断 方程判断 点在圆外 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆上 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆内 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 7－4 $