第1章 第1节 集合-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦集合专题，覆盖集合的含义与表示、基本关系、基本运算及新定义问题等核心考点，依据高考评价体系梳理考查要求，分析集合运算、子集关系等高频考点权重，归纳选择、多选题等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与核心素养培养结合，如以2025全国二卷交集题、2026模拟新定义题为例，运用数学思维（推理能力）和数学语言（符号意识），指导空集讨论、数轴法等解题技巧，帮助学生掌握得分关键，为教师提供系统复习框架，助力高效备考。

第一节　集合 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.　2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.　3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,能用Venn图表达集合间的基本关系和基本运算. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识点一　集合的含义与表示 知识梳理 知识点一　集合的含义与表示 1.集合中元素的三个特性: 、 、 . 2.元素与集合的关系是 或 ,用符号 或 表示. 3.集合的表示法: 、 、 . 4.常见数集的记法 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 图示法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 正实数集 符号 ___ N＋(或N*) ___ ___ ___ R＋ N Z Q R 知识点二　集合间的基本关系 1．子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个____都属于集合B，即若a∈A则a∈B，那么称集合A是集合B的子集．记作 (或 ). 2．真子集：对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作 (或BA). 3.相等:若A⊆B,且 ,则A=B. 4.空集:不含任何元素的集合叫作空集,记为⌀, ⌀是任何集合的子集,是任何 集合的真子集. 元素 A⊆B B⊇A AB B⊆A 非空 知识点三　集合的基本运算 基本运算 交集 并集 补集 Venn图 符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B} ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 学用结论 1.若集合A有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,2n-1个真子集. 2.A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A. 3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 自我评价 1.(2025·全国二卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B= (　　) A.{0,1,2}　　　　　　　　 B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} 解析:B={x|x3=x}={0,-1,1},故A∩B={0,1}. D 2.(多选)下列说法错误的是(　 　) A.集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{-1,0,1} B.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1} C.若1∈{x2,x},则x=-1或x=1 D.对任意集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B) ABC 3. 已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是 .  [2,+∞) 4.(北师大必修第一册P12T10改编)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若A∪B=A,则实数a= .  解析:因为A∪B=A,所以B⊆A,所以a+2∈A.当a+2=3,即a=1时,A={1,3,1},不满足集合中元素的互异性,不符合题意;当a+2=a2时,a=-1(舍去)或a=2,此时A={1,3,4},B={1,4},符合题意.综上,实数a=2. 2 关键能力　重点探究 考点一　集合的含义与表示 [例1]　(多选)下列说法正确的是(　 　) A.若含有3个实数的集合既可以表示成{a,,1},又可以表示成{a2,a+b,0},则a2 027+b2 027=1 B.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为4 C.已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|x+y=0},则A∩B的子集个数为4 D.已知集合A={x,x2+1,-1}中的最大元素为2,则实数x=1 BCD [解析]　对于A,因为{a,,1}={a2,a+b,0},显然a≠0,所以=0,即b=0, 此时两集合分别是{a,1,0},{a,a2,0},则a2=1,解得a=1或a=-1, 当a=1时,不满足互异性,故舍去,当a=-1时,满足题意, 所以a2 027+b2 027=(-1)2 027+02 027=-1,A错误; 对于B,因为集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},所以C={5,6,7,8},即C中元素的个数为4,B正确; 对于C,集合A={(x,y)|x2+y2=4}表示以(0,0)为圆心,2为半径的圆上的所有点, 集合B={(x,y)|x+y=0}表示直线x+y=0上的所有点, 因为直线x+y=0经过圆心(0,0), 所以直线与圆相交, 所以A∩B的元素个数为2个, 则A∩B的子集个数为4个,C正确; 对于D,因为x2+1-x=+>0,所以x2+1>x,所以x2+1=2,解得x=1或x= -1, 显然x=-1不满足集合元素的互异性,故舍去,经检验x=1符合题意,D正确. 解决集合含义问题的关键点 1.确定构成集合的元素. 2.确定元素的限制条件. 3.根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 方法总结 1.(2026·重庆模拟)已知集合A={a-2,a2+4a,12},且-3∈A,则a= (　　) A.-1　　　　　　　　 B.-3 C.3 D.-3或-1 B 跟踪训练 解析:集合A={a-2,a2+4a,12},且-3∈A, ①当a-2=-3时,a=-1, ∴a2+4a=1-4=-3, 此时集合A={-3,-3,12},不满足集合元素的互异性,故不符合题意,舍去; ②当a2+4a=-3时,a=-1或a=-3, 若a=-1,则a-2=-3,此时集合A={-3,-3,12},不满足集合元素的互异性,故不符合题意,舍去, 若a=-3,则a-2=-5,此时集合A={-5,-3,12},符合题意. 综上所述,a=-3. 考点二　集合间的基本关系 [例2]　(1)已知集合M={x|y=,x∈R},N={x|x=m2,m∈M},则集合M,N的关系是(　　) A.M⫋N B.N⫋M C.M⊆∁RN D.N⊆∁RM [解析]　因为M={x|y=,x∈R}={x|-1≤x≤1},N={x|x=m2,m∈M}= {x|0≤x≤1},所以N⫋M. B (2)设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1<x<2m+1},当x∈Z时,集合A的非空真子集的个数为 ,当B⊆A时,实数m的取值范围是____________ .  [解析]　易得A={x|-2≤x≤5}. 若x∈Z,则A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素, 所以A的非空真子集的个数为28-2=254. 当m-1≥2m+1,即m≤-2时,B= ⌀,满足B⊆A; 当m>-2时,B={x|m-1<x<2m+1}≠ ⌀, 因此要使B⊆A,则需解得-1≤m≤2. 综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m≤2}. 254 {m|m≤-2, 或-1≤m≤2} 1.空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解. 2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 方法总结 2.(多选)(2026·山东济南模拟)已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=2n-,n∈Z},P={x|x=,p∈Z},则(　　) A.N⊆P B.P⊆M C.N⊆M D.M⊆N 解析:由题意得,M={x|x=,m∈Z},N={x|x=,n∈Z}={x|x=, k∈Z}={x|x=,k∈Z}, 所以N⊆M⊆P, 故A,C正确,B,D错误. AC 跟踪训练 3.(2026·辽宁大连模拟)设集合A={x|x-5=0},B={x|ax-1=0}.若A∩B=B,则实数a的值为 .   0或 解析:A={x|x-5=0}={5}. 因为A∩B=B,所以B⊆A. 当B= ⌀时,a=0,符合题意; 当B={5}时,5a-1=0,解得a=. 综上可得,a=0或a=. 考点三　集合的基本运算 角度1　集合的基本运算 [例3]　(1)(2026·北京模拟)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,0,1},B={0,1,2},则{-1}⊆(　　) A.∁UA B.∁UB C.(∁UA)∩B D.∁U(A∪B) B [解析]　对于A,∁UA={2},故A错误; 对于B,∁UB={-1}, 所以{-1}⊆∁UB,故B正确; 对于C,(∁UA)∩B={2},故C错误; 对于D,∁U(A∪B)=⌀,故D错误. (2)(多选)(2026·山东潍坊模拟)若非空集合M,N,P满足M∩N=N,M∪P=P,则(　　) A.P⊆M B.M∩P=M C.N∪P=P D.M∩(∁PN)= ⌀ BC [解析]　由M∩N=N,可得N⊆M, 由M∪P=P,可得M⊆P, 则推不出P⊆M,故A错误; 由M⊆P,可得M∩P=M,故B正确; 因为N⊆M且M⊆P, 所以N⊆P,则N∪P=P,故C正确; 由N⊆M,可得M∩(∁PN)不一定为空集,故D错误. 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) [例4]　(2026·河北秦皇岛模拟)设集合A={1,2,3,4},B={x|2x≤a}.若A∩B≠ ⌀,则a的取值范围为(　　) A.(-∞,2) B.(-∞,8) C.[2,+∞) D.[8,+∞) [解析]　B=,注意到A={1,2,3,4},A∩B≠⌀,故≥1,解得a≥2. C 利用集合的运算求参数的方法 1.与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍. 2.若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解. 注意:在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 方法总结 4.(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则∁U(A∪B)=(　　) A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,4} D.{4} 解析:由A={1,3},B={2,3,5},则A∪B={1,2,3,5},集合U={1,2,3,4,5},故∁U(A∪B)={4}. D 跟踪训练 5.(2026·重庆模拟)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|a<x<2}.若A∩B={1},则a的取值范围为 .  解析:因为A∩B={1},所以1∈B,0∉B, 所以a的取值范围为0≤a<1. [0,1) 考点四　集合中的新定义问题 [例5]　(多选)(2026·河南郑州模拟)对于集合M,N,我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”,记作M-N,即M-N={x|x∈M,且x∉N};把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”,记作M△N,即M△N={x|x∈M∪N,且x∉M∩N}.下列四个选项中,正确的有(　 　) A.若M-N=M,则M∩N= ⌀ B.若M-N= ⌀,则M=N C.M△N=(M∪N)-(M∩N) D.M△N=(M-N)∪(N-M) ACD [解析]　若M-N=M,则M∩N= ⌀,A正确; 当M⫋N时,M-N= ⌀,B错误; M△N={x|x∈M∪N,且x∉M∩N}=(M∪N)-(M∩N),C正确; M△N和(M-N)∪(N-M)均表示图中阴影部分,D正确. “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解. 方法总结 6.(多选)(2026·河南开封模拟)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A={-2,0,,1},B={x|(ax-1) (x+a)=0},若A与B构成“全食”或“偏食”,则实数a的取值可以是(　 　) A.-2 B.- C.0 D.1 BCD 跟踪训练 解析:若A与B构成“全食”或“偏食”, 则A∩B≠ ⌀. 当a=0时,B={0}, 当a≠0时,B=. 对于A,若a=-2,则B=, 此时A∩B= ⌀,不满足题意; 对于B,若a=-,则B=, 此时B⊆A,满足题意; 对于C,若a=0,则B={0}, 此时B⊆A,满足题意; 对于D,若a=1,则B={-1,1},此时A∩B={1}≠ ⌀,满足题意. 教材延展 容斥原理 知识背景 容斥原理(源于北师大必修第一册P13阅读材料及P12B组T3) 在研究集合时,经常遇到与集合中元素的个数有关问题,研究若干集合、集合的交集、集合的并集的元素个数之间的关系,正是容斥原理的应用范畴. 即先不考虑重叠的部分,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后把计数时重复计算的部分排斥出去,使计算的内容无遗漏也无重复. 结论拓展 1.二元容斥原理 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 2.三元容斥原理 card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card (A∩C)+card(A∩B∩C). [例]　(2020·新课标Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% C [解析]　设喜欢足球、游泳的学生分别为集合A,B,记该校总人数为100. 则card(A∪B)=96,card(A)=60,card(B)=82, 所以card(A∩B)=card(B)+card(A)-card(A∪B)=46,故既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是×100%=46%. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》并称中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 C 跟踪训练 解析:记阅读过《西游记》《红楼梦》的学生分别构成集合A,B. 则card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),其中card(A∪B)=90,card(B)=80,card(A∩B)=60,所以card(A)=card(A∪B) -[card(B)-card(A∩B)]=70,故该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7. $