第1章 教材拓展1 基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式核心考点，依据高考评价体系明确不等式证明、最值求解等考查要求。通过教材母题溯源、近三年真题分析，归纳出基本不等式链应用占35%、柯西不等式求最值占40%的高频考点分布，构建“母题-变式-真题”的题型训练体系。 课件亮点在于“真题情境+素养导向”的备考设计，如以2025北京卷不等式判断题为实例，运用数学思维中的推理能力剖析选项陷阱，通过“拆项配凑法”突破三元不等式最值难点，培养学生的模型观念与应用意识。特设“易错点警示”和“解题模板”，助力学生掌握得分技巧，教师可依托分层训练实现精准复习，提升备考效率。

教材拓展1 基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式 高三总复习讲义 北师大版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 02 二、柯西不等式 一、基本不等式链、三元基本不等式 01 内容索引 一、基本不等式链、三元基本不等式 返回 教材母题 1.(北师必修一P28练习T5) 设a＞0，b＞0，求证：． 2.(北师必修一P30A组T5(2)，(4)) 求证下列不等式： (2)x2＋y2≥； (4)(x＞0，y＞0)． 知能拓展 1.基本不等式链 若a＞0，b＞0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中和分别叫作a，b的调和平均数和平方平均数． 2.三元基本不等式 (1)三元基本不等式：当a＞0，b＞0，c＞0时，a3＋b3＋c3≥3abc，． (2)推广：n元基本不等式：(a1，a2，…，an均为正实数)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立． √ 典例应用 (1)(2025·北京卷)已知a＞0，b＞0，则 A．a2＋b2＞2ab B．＋ C．a＋b＞ D．＋≤ 典例1 对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B、D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6＜＝8＝，＋＝2＋4＝6＞＝4＝，故B、D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确.故选C. (2)(多选)判断下列不等式成立的有 A．若x＞0，则x2＋≥3 B．若0＜x＜1，则x2(1－x)≤ C．若x＞0，则2x＋≥3 D．若0＜x＜1，则x(1－x)2≤ √ √ 对于A，因为x＞0，所以x2＋＝x2＋＋≥3＝3，当且仅当x2＝，即x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，因为0＜x＜1，则x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤·()3＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为x＞0，则2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故C正确；对于D，因为0＜x＜1，则x(1－x)2＝·2x(1－x)(1－x)≤·()3＝，当且仅当2x＝1－x，即x＝时，等号成立，故D错误.故选AC. √ 教师备选 已知x＞0，y＞0，且xy＋2y2－36＝0，则xy2的最大值为 A．12 B．6 C．36 D．24 由xy＋2y2－36＝0，得xy＝36－2y2，则x＝－2y，36－2y2＞0.因为x＞0，y＞0，所以xy2＝y2(－2y)＝y＝＝≤×＝24.故选D. 对点练1.(多选)(2026·福建福州模拟)设正实数a，b满足a＋b＝2，则下列说法正确的是 A．＋的最小值为3 B．＋的最小值为2 C．ab的最大值为1 D．a2＋b2的最小值为2 √ √ √ 对于A，因为正实数a，b满足a＋b＝2，则b＝2－a，所以＋＝＋－1＝(＋)(a＋b)－1＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝b＝1时，取等号，故A正确；对于B，因为＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，当且仅当a＝b＝1时，取等号，得到＋≤2，故B错误；对于C，因为2＝a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时，取等号，得到ab≤1，故C正确；对于D，因为a2＋b2＝－2ab＝4－2ab≥4－2＝2，当且仅当a＝b＝1时，取等号，故D正确.故选ACD. 对点练2.(2026·江苏苏州模拟)某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：≤．小明由此得到启发，在求x3－3x，x∈的最小值时，小明给出的解法是：x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3－3x－2＝3x－3x－2＝－2，当且仅当x＝1时，有最小值－2. (1)请你模仿小明的解法，得出x4－4x，x∈上的最小值为_____． －3 由x∈知：x4－4x＝x4＋1＋1＋1－4x－3≥4－4x－3＝4x－4x－3＝－3，当且仅当x＝1时，取到最小值－3. (2)当a＞0时，x3－ax，x∈的最小值为_________． － 由a＞0，x∈知：x3－ax＝x3＋＋－ax－≥ 3－ax－＝ax－ax－＝－，当且仅当x3＝＝时，取到最小值－. 返回 二、柯西不等式 返回 教材母题 (人教A必修二P37T16)用向量方法证明：对于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)·(c2＋d2)． 上述不等式就是二维形式的柯西不等式，其证明的向量方法为教材P19数量积的性质(4)：|a·b|≤|a||b|． 知能拓展 1.二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2.三维形式的柯西不等式 (＋＋)(＋＋)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当＝＝时，等号成立． 典例应用 (1)设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为____． 典例2 13 由柯西不等式，得(22＋32)(x2＋y2)≥(2x＋3y)2，所以x2＋y2≥13，当且仅当，即x＝2，y＝3时取等号． (2)若a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为____． 由柯西不等式，得(＋＋)2≤(a＋b＋c)(1＋1＋1)＝3，所以当且仅当a＝b＝c＝时，＋＋的最大值为. 对点练3.实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值为 A．－5 B．－6 C．3 D．4 √ 因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，所以＝1，所以(16＋9)≥(2x＋y)2，即－5≤2x＋y≤5，当且仅当3x＝8y，即时，右边取等号，所以z＝2x＋y的最小值是－5.故选A． 对点练4.若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为 A．14 B． C．29 D． √ 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥时等号成立．故选B． 返回 谢 谢 观 看 教材拓展1 基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式 $