26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，系统梳理一般式与顶点式互化、五点法作图，性质涵盖开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值、对称性，以及图象与系数a、b、c的关系，构建从图象到性质再到系数分析的递进学习支架。 资料通过考点突破、题型探究与分层通关设计，以例题与变式训练培养数学思维，分层练习兼顾不同层次需求。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学语言表达与问题解决能力。

26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 目录 Part1考点突破 考点1：二次函数y=ax²+bx+c的图象 考点2：二次函数y=ax²+bx+c的性质 考点3：二次函数的图象与系数a、b、c的关系 Part2 题型探究 题型1：二次函数的图象画法与顶点式 题型2：y=ax²+bx+c的图象和性质 题型3：二次函数的图象与系数的关系 题型4：二次函数的最值 题型5：待定系数法求解析式 题型6：一次函数与二次函数图象综合判断 Part3 分层通关 【考点1：二次函数y=ax²+bx+c的图象】 1、一般式与顶点式的互化 二次函数的一般式为（）。利用配方法可将一般式化为顶点式，步骤如下： 第一步：提取二次项系数；第二步：配方，加上一次项系数一半的平方；第三步：写成完全平方形式；第四步：整理为顶点式。最终得： 2、五点法画图象 画二次函数图象的简易方法为"五点定形法"：①先根据解析式求出顶点坐标和对称轴，在坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；②求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D；③将A、B、C、D、M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连接，即得抛物线的图象。 【考点2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】 1、开口方向、对称轴与顶点 二次函数的图象是一条抛物线。当时开口向上，当时开口向下。对称轴为直线 ，顶点坐标为。 2、增减性 当时，在对称轴左侧（），随的增大而减小；在对称轴右侧（），随的增大而增大。 当时，在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小。 3、最值 当时，时，有最小值；当时，时，有最大值。 4、对称性 抛物线关于对称轴x=-b/(2a)对称。若抛物线上两点的纵坐标相等，则这两点关于对称轴对称，对称轴为这两点横坐标的平均数。已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x₁,0)、(x₂,0)，则对称轴为直线x=(x₁+x₂)/2。利用对称性可以由已知点求对称点的坐标，也可以比较函数值的大小。 【考点3：二次函数的图象与系数a、b、c的关系】 1、a的符号与开口方向 系数决定抛物线的开口方向：时开口向上，时开口向下。越大，开口越小；越小，开口越大。 2、a、b的符号与对称轴位置 对称轴为直线。当时，对称轴为y轴；当、同号时，对称轴在y轴左侧（左同）；当、异号时，对称轴在y轴右侧（右异）。 3、c的符号与y轴交点 系数是抛物线与y轴交点的纵坐标。时交于y轴正半轴，时交于y轴负半轴，时抛物线过原点。 4、判别式与x轴交点 判别式决定抛物线与x轴的交点个数：时有两个交点，时有一个交点（顶点在x轴上），时无交点。 5、特殊点的函数值 当时，；当时，；当时，；当时，。结合图象上这些特殊点的位置，可以判断相关代数式的符号。 【题型1：二次函数的图象画法与顶点式】 【例1】将二次函数化为的形式为（ ） A． B． C． D． 【变式1】将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 【变式3】已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【题型2：y=ax²+bx+c的图象和性质】 【例2】将二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象，则二次函数有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【变式1】关于的二次函数，下列说法正确的是（ ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交于点 【变式2】二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【变式3】已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D．当或时， 【题型3：二次函数的图象与系数的关系】 【例3】二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【变式2】二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（ ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【题型4：二次函数的最值】 【例4】二次函数的最小值为（ ） A．2 B．0 C． D．−9 【变式1】已知抛物线，当为（ ），y值最大 A． B． C． D． 【变式2】若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【变式3】点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ） A． B．4 C．﹣ D．﹣ 【题型5：待定系数法求解析式】 【例5】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 【变式1】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【变式2】已知二次函数图像经过，则______． 【变式3】二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【题型6：一次函数与二次函数图象综合判断】 【例6】函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A．B．C． D． 【基础通关练】 1．二次函数的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ） A． B． C． D． 4．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 6．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【提升通关练】 1．已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（ ） A． B．该函数的最小值为 C．该函数图象不经过第三象限 D．该函数图象的对称轴是直线 2．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，下列判断不正确的是（ ） A． B． C． D． 4．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 7．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 8．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 9．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 10．已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值． 11．在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 【培优通关练】 1．如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C． D． 3．点在抛物线上，其中，，若对于任意，都有，则m的取值范围为（ ） A． B．或 C．或 D． 4．已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过点和，求该二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，的最大值为，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，的最大值与最小值的差，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 目录 Part1考点突破 考点1：二次函数y=ax²+bx+c的图象 考点2：二次函数y=ax²+bx+c的性质 考点3：二次函数的图象与系数a、b、c的关系 Part2 题型探究 题型1：二次函数的图象画法与顶点式 题型2：y=ax²+bx+c的图象和性质 题型3：二次函数的图象与系数的关系 题型4：二次函数的最值 题型5：待定系数法求解析式 题型6：一次函数与二次函数图象综合判断 Part3 分层通关 【考点1：二次函数y=ax²+bx+c的图象】 1、一般式与顶点式的互化 二次函数的一般式为（）。利用配方法可将一般式化为顶点式，步骤如下： 第一步：提取二次项系数；第二步：配方，加上一次项系数一半的平方；第三步：写成完全平方形式；第四步：整理为顶点式。最终得： 2、五点法画图象 画二次函数图象的简易方法为"五点定形法"：①先根据解析式求出顶点坐标和对称轴，在坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；②求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D；③将A、B、C、D、M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连接，即得抛物线的图象。 【考点2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】 1、开口方向、对称轴与顶点 二次函数的图象是一条抛物线。当时开口向上，当时开口向下。对称轴为直线 ，顶点坐标为。 2、增减性 当时，在对称轴左侧（），随的增大而减小；在对称轴右侧（），随的增大而增大。 当时，在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小。 3、最值 当时，时，有最小值；当时，时，有最大值。 4、对称性 抛物线关于对称轴x=-b/(2a)对称。若抛物线上两点的纵坐标相等，则这两点关于对称轴对称，对称轴为这两点横坐标的平均数。已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x₁,0)、(x₂,0)，则对称轴为直线x=(x₁+x₂)/2。利用对称性可以由已知点求对称点的坐标，也可以比较函数值的大小。 【考点3：二次函数的图象与系数a、b、c的关系】 1、a的符号与开口方向 系数决定抛物线的开口方向：时开口向上，时开口向下。越大，开口越小；越小，开口越大。 2、a、b的符号与对称轴位置 对称轴为直线。当时，对称轴为y轴；当、同号时，对称轴在y轴左侧（左同）；当、异号时，对称轴在y轴右侧（右异）。 3、c的符号与y轴交点 系数是抛物线与y轴交点的纵坐标。时交于y轴正半轴，时交于y轴负半轴，时抛物线过原点。 4、判别式与x轴交点 判别式决定抛物线与x轴的交点个数：时有两个交点，时有一个交点（顶点在x轴上），时无交点。 5、特殊点的函数值 当时，；当时，；当时，；当时，。结合图象上这些特殊点的位置，可以判断相关代数式的符号。 【题型1：二次函数的图象画法与顶点式】 【例1】将二次函数化为的形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，掌握将一般式转化为顶点式是解题的关键． 先提取二次项系数，再配一次项系数一半的平方，即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 【变式1】将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 【变式2】求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 【答案】开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题主要考查了把一般式化成顶点式，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：， ∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数图象的开口向上． 【变式3】已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． （1）把A点坐标代入中求出b，从而得到抛物线解析式； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用配方法得到顶点式，从而确定顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合（2）得抛物线与x轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为，再把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得， 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 则， ∴抛物线的顶点坐标为， 如图， （3）解：结合（2）得抛物线与x轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 依题意，把代入，得， ∴当时，y的取值范围为． 【题型2：y=ax²+bx+c的图象和性质】 【例2】将二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象，则二次函数有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律，二次函数最值的计算方法是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，再根据平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”求出的解析式，由此即可求解． 【详解】解：， ∵将图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴， ∴顶点坐标为， ∴二次函数有最小值， 故选：． 【变式1】关于的二次函数，下列说法正确的是（ ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交于点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过二次函数的一般形式，分析系数的值，判断开口方向、对称轴、增减性和与轴交点． 【详解】解： ， ，抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 对称轴，故B错误，不符合题意； ，开口向下，对称轴， 当时，随的增大而减小，故C错误，不符合题意； 当时，， 图象与轴交点为，故D正确，符合题意． 故选D． 【变式2】二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 【变式3】已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 【题型3：二次函数的图象与系数的关系】 【例3】二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． 【变式2】二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限． 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 【变式3】如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（ ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 【题型4：二次函数的最值】 【例4】二次函数的最小值为（ ） A．2 B．0 C． D．−9 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握配方法将二次函数转化为顶点式是解题的关键． 将二次函数的一般式通过配方转化为顶点式，利用二次函数开口向上时顶点纵坐标为最小值的性质求解． 【详解】解： ∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， 故选D． 【变式1】已知抛物线，当为（ ），y值最大 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的最值，灵活运用二次函数的性质及顶点横坐标公式是解题的关键，根据判断出抛物线开口向下，进而利用求出使式子取得最大值时的值． 【详解】解：抛物线解析式为，其中，， ， 抛物线开口向下，在顶点处值取得最大值， 根据二次函数顶点横坐标公式， ， 即当时，值最大． 故选：． 【变式2】若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 【变式3】点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ） A． B．4 C．﹣ D．﹣ 【答案】C 【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值． 【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上， ∴a＝0， ∴n＝m2+4， ∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣， ∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣， 故选：C． 【题型5：待定系数法求解析式】 【例5】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 【答案】D 【分析】先选取表格中三个点代入解析式求出系数，得到顶点式后根据函数性质逐一判断选项即可． 【详解】解：选取表格中三组对应值，，代入， 得， 解得， ∴二次函数解析式为，配方得， 选项A：∵，∴抛物线开口向上，故A错误，该选项不符合题意； 选项B：对称轴为直线，故B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵开口向上，对称轴为，∴当时，随的增大而增大，因此时，随的增大而增大，故C错误，该选项不符合题意； 选项D：∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为，∴函数的最小值为，故D正确，该选项符合题意． 【变式1】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式． 【详解】解:点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 【变式2】已知二次函数图像经过，则______． 【答案】2026 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到与的关系式，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：将点代入，得 ， 整理得，即， ∴． 【变式3】二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 【题型6：一次函数与二次函数图象综合判断】 【例6】函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由的图象可得，，，，从而可判断的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数及一次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数及一次函数的图像与性质是解题的关键；因此此题可分当和两种情况进行分类讨论，则问题可求解． 【详解】解：当时，则二次函数开口向上，一次函数图像经过第一、三、四象限，故排除B、D； 当时，则二次函数开口向下，一次函数图像经过第二、三、四象限，故排除A；C选项符合题意； 故选C． 【基础通关练】 1．二次函数的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，，． 根据二次函数顶点坐标公式，可得： ，． ∴二次函数的顶点坐标为． 2．已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x轴最多有一个交点，可得判别式 ，再根据当时 随增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 3．如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可以得出抛物线的开口向下，由得出抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，由，可以得出抛物线的对称轴，即抛物线的对称轴在轴右侧，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 4．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，分情况讨论是解题的关键．根据一次函数和二次函数的性质，讨论：和的情况． 【详解】解：当时，直线经过轴正半轴点，图形从左到右是上升的；抛物线开口向上，顶点在轴负半轴，A选项符合题意，选项B、C、D都不符合题意； 当时，直线经过轴正半轴点，图形从左到右是下降的；抛物线开口向上，顶点在轴正半轴，选项A、B、C、D都不符合题意； 综上，A选项正确． 故选：A． 5．二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线， ∵当时，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 6．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 【提升通关练】 1．已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（ ） A． B．该函数的最小值为 C．该函数图象不经过第三象限 D．该函数图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】先利用表格中的对应点求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断各选项，找出错误结论即可． 【详解】解：由表格可知当时，，当时，； ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， 、，结论正确，不符合题意； 、由，则函数开口向上， ∵对称轴为， ∴将代入得， ∴函数最小值为，结论正确，不符合题意； 、当时，，， ∴恒成立，函数与轴交点都在正半轴，图象不经过第三象限，结论正确，不符合题意； 、由选项得函数对称轴为直线，不是，结论错误，符合题意． 2．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线与x轴两交点求对称轴，再计算A、B两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交集得到m的取值范围． 【详解】解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点， ，抛物线的对称轴为 ， ，， 两点到对称轴的距离分别为 ，， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 恒成立， ， 即， ， ， 解得，符合， 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 恒成立， ， 即， 解得，即， 结合，得， 综上，m的取值范围为或． 3．已知二次函数的图象如图所示，下列判断不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合函数图象分析即可求解．抛物线开口向下，即可判断A选项；抛物线与x轴有两个交点，即可判断B选项；抛物线的对称轴为直线，即可判断C选项；当时，，即可判断D选项． 【详解】A、二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，∴选项不符合题意； B、二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴，∴选项符合题意； C、二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，∴选项不符合题意； D、当时，， ∴选项不符合题意． 4．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在二次函数的图象上，点到轴的距离小于，可得：，进一步可得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为． ∵点P到y轴的距离小于2， ∴． 当时，； 当时，； 当时，． ∴n的取值范围是． 5．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二次函数的对称性，解题关键是根据二次函数的对称性推得． 先根据与轴的两点求出对称轴，再利用点与的对称性得到与的关系，最后结合的范围求出的范围． 【详解】解：二次函数的图象过点和， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，即抛物线过点，且点不在坐标轴上， 点与点关于对称轴对称， ，即， ， ，即． 故选：． 6．已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 7．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 8．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 9．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 10．已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点代入函数，求解即可； （2）根据二次函数的图象及性质得到函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是，根据与的取值进行分类分析，根据二次函数的最大值与最小值的差为3列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数， ∴该函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是， ①当，即时，y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，， ，解得， ∵ ∴不符合题意，舍去． ②当，即时，顶点的横坐标在取值范围内， 当时，． i）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ii）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ③当，即时，y随着x的增大而增大， 当时，， 当时，， ，解得． ， 不符合题意，舍去． 综上，或． 11．在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 【分析】（）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b的数值； （）先根据用表示，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、开口向下分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的，分别列式求解，最后汇总所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即， 解得； 综上所述，或． 【培优通关练】 1．如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的开口方向可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，根据图像的特点可以判断④，根据二次函数图像与轴的交点可判断⑤，根据二次函数的最值可判断⑥． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴，故说法①不正确； ∵二次函数的图像与轴交点横坐标分别是和， ∴该图像的对称轴为：， ∴，故说法②正确； 由二次函数的图像可知：当时，， ∴，故说法③正确； 由二次函数的图像可知：当时，函数图像在轴上方，即，故说法④正确； 由二次函数的图像可知：该图像与轴有个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的根， ∴，故说法⑤错误； ∵二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴当时，最大值为， 当时，， ∴， 即（为实数），故说法⑥正确； ∴正确的有个． 2．已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 3．点在抛物线上，其中，，若对于任意，都有，则m的取值范围为（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】先将抛物线配方得到对称轴，利用开口向上二次函数的性质：点离对称轴越远，函数值越大，将恒成立转化为：内所有点到对称轴的最大距离不超过到对称轴的距离，解绝对值不等式得到m的范围 【详解】解：∵， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上的二次函数中，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ∴等价于对任意恒成立， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 情况1：，解得， 情况2：，解得 综上，m的取值范围是或． 4．已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过点和，求该二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，的最大值为，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，的最大值与最小值的差，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据图象的性质即可列方程求解即可； （3）分三种情况讨论：当在对称轴的左侧时，当在对称轴的右侧时，当在对称轴的两侧时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和代入二次函数中得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：，对称轴为， 抛物线开口向下，的值离对称轴越远，的值越小， ， 当时，有最小值，当时，有最大值． 即，解得， ； （3）解：由（1）可知，，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当在对称轴的左侧时，即时， 的最大值与最小值的差， ， 整理得， 解得（不合题意，故舍去）． 当在对称轴的右侧时，，即时， 的最大值与最小值的差， ， 整理得， 解得（不合题意，故舍去）． 当在对称轴的两侧时，即时， 的最大值与最小值的差， 或， 解得，（舍去）或（舍去），， 综上所述，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $