专题26.2.3二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质（15大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数的图象和性质核心知识点，从一般式与顶点式转化切入，系统梳理对称轴、顶点坐标、开口方向、增减性、最值及与坐标轴交点等性质，构建从概念到性质再到应用的递进学习支架。 资料通过易错点警示（如对称轴符号记错）、技巧总结（五点画图法）及15类题型训练（含存在性、面积等问题），培养学生抽象能力、推理意识与模型意识。例题选自各地期中试题，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题26.2.3二次函数的图象和性质 【新人教版】 【题型1 把化为顶点式】.....................................................................................................3 【题型2 画的图象】.............................................................................................................5 【题型3 的图象和性质】...................................................................................................10 【题型4 二次函数图象与系数符号判断】........................................................................................................12 【题型5 一次函数、二次函数的图象综合判断】............................................................................................16 【题型6 已知抛物线上对称的两点求对称轴】................................................................................................19 【题型7 待定系数法求二次函数解析式】........................................................................................................21 【题型8 将军饮马问题】....................................................................................................................................24 【题型9 线段、周长问题】................................................................................................................................28 【题型10 面积问题】..........................................................................................................................................35 【题型11 特殊三角形存在性问题】..................................................................................................................44 【题型12 特殊四边形存在性问题】..................................................................................................................56 【题型13 角度存在性问题】..............................................................................................................................58 【题型14 取值范围问题】..................................................................................................................................84 【题型15 其他问题】..........................................................................................................................................97 1. 基础形式 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，图象是抛物线，可配方化为顶点式: 2. 对称轴与顶点 对称轴:直线,顶点坐标： 3. 开口方向 a>0，开口向上，顶点为最低点；a<0，开口向下，顶点为最高点。 4. 开口宽窄 |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 5. 增减性与最值 ① a>0 ，y随x增大而减小； ，y随x增大而增大； 时，y最小=。 ② a<0 ，y随x增大而减大； ，y随x增大而增小； 时，y最大=。 6. 与坐标轴交点 · 与y轴交点：(0,c)，c决定交点上下位置； · 与x轴交点：令y=0，解方程ax2+bx+c=0，交点个数由判断: >0：2个交点；=0：1个交点；<0：无交点。 易错1：对称轴符号记错 对称轴，极易漏掉负号。 易错2：顶点纵坐标计算出错 混淆4ac-b2与b2-4ac，符号颠倒。 易错3：增减区间分界点错误 以x=0划分增减，正确分界是对称轴。 易错4：混淆c的含义 c是抛物线与y轴交点纵坐标，不是顶点纵坐标。 易错5：配方时漏乘a 一般式转顶点式，提取a后常数项要同步乘a再配方。 易错6：比较函数值忽略到对称轴距离 只看x大小，不看点到对称轴远近。 技巧1：五点画图通用法 · 求对称轴、顶点； · 求与y轴交点(0,c)及对称点； · 求与x轴交点（存在时）；五点平滑连线。 技巧2：函数值大小比较 两点到对称轴距离越远：a>0，函数值越大；a<0，函数值越小。 技巧3：图像快速判断四步 · a正负定开口； · a、b同号左移，异号右移（左同右异）； · c正负看y轴交点； · 判断与x轴交点个数。 技巧4：一般式转顶点式步骤 · 提取二次项系数a； · 括号内配方，加一次项系数一半的平方再减去； · 展开整理，写成y=a(x-h)2+k。 题型一 把化为顶点式 【例1】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）将二次函数化为的形式，正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法把二次函数一般式变为顶点式解析式的方法，利用配方法把二次函数一般式变为顶点式即可，熟知完全平方公式各个部分之间的关系是解题的关键． 【详解】解：将二次函数化为， 故选：． 【变式1-1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 【变式1-2】（上海市浦东新区几校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】本题考查把化为顶点式，的图象和性质． 先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方式，即可得二次函数的顶点式，从而可得顶点坐标和对称轴． 【详解】解： ， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)当取何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2) 当时，y随x的增大而减小 【分析】此题考查二次函数化为顶点式及二次函数的性质， （1）根据配方法将二次函数化为顶点式； （2）根据二次函数的性质确定增减性． 【详解】（1）解： （2）∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 题型二 画的图象 【例2】（25-26九年级上·贵州黔东南·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为： (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标． （1）化为顶点式，求出二次函数顶点坐标和对称轴； （2）利用（1）中所求进而画出函数图象． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：令，则， 令，则， 解得，， 所以，过，，的函数图象如图所示： 【变式2-1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2)二次函数的图象见详解 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； （2）解：二次函数的图象如图所示： （3）解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·北京门头沟·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． （1）把A点坐标代入中求出b，从而得到抛物线解析式； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用配方法得到顶点式，从而确定顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合（2）得抛物线与x轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为，再把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得， 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 则， ∴抛物线的顶点坐标为， 如图， （3）解：结合（2）得抛物线与x轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 依题意，把代入，得， ∴当时，y的取值范围为． 【变式2-3】（25-26九年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (3)当时，直接写出的取值范围：______ 【答案】(1) (2)图象见详解 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据列表，描点，连线可作函数图象； （3）根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：把点和点代入二次函数得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线可列表如下： x …… 0 1 2 3 … y ……. 0 0 … 由表可在坐标系中描点、连线可得函数图象如下： （3）解：由函数图象可知：当时，的取值范围为； 故答案为． 题型三 的图象和性质 【例3】（25-26九年级上·山西忻州·期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定，先求对称轴，再根据开口方向判断增减区间． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选：B． 【变式3-1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，最小值在顶点处，可通过配方法求解． 【详解】解：∵， ∵ ∴当时，二次函数最小值为， 故选：D． 【变式3-2】（25-26九年级上·天津·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，通过直接计算各点的函数值，比较大小． 【详解】解：∵二次函数为， 对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴，，， ∴， ∴ ． 故选：C． 【变式3-3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在给定区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．首先将函数配方为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，由最大值4可得对称轴必须在区间内，从而确定m的上限，同时由最小值可得，即可得到答案． 【详解】解： 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， 当时，y取最大值4， 需满足， 即， 当时，， 解得或， 直线与抛物线的交点为和， 为保证最小值恰为，需使区间内所有点的纵坐标都大于或等于， ， 结合， 可得． 故选：B． 题型四 二次函数图象与系数符号判断 【例4】（25-26九年级上·云南怒江·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向可判断①正确；根据对称轴的位置可判断②正确；根据抛物线与y轴的交点可判断③错误；根据时的函数值可判断④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴在y轴的右侧， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确． 故选D． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点，且与y轴交于正半轴，其对称轴是直线．则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据对称轴为可得，由图象经过点得，与轴交于正半轴得，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵对称轴为， ∴，即． ∵图象经过点， ∴． ∵与轴交于正半轴， ∴． A、∵图象与轴有交点（点）， ∴判别式，故A错误； B、（∵），故B错误； C、（∵），故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口向下，结合图知，当时，得即可判断①，由对称轴直线的取值范围，可得的正负，即可判断②；由抛物线的对称轴直线，得，进而得，即可判断③；由，，可得，即可判断④． 【详解】解：①∵，， 当时，， ∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ③∵抛物线的对称轴直线， ∴抛物线的顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④观察图形可知：， ∵， ∴． ∴，结论④正确． 正确的结论有①②④共个． 故选：C． 【变式4-3】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．①根据二次函数的图象经过，，可得到对称轴，并将代入解析式得到b、c与a的关系，及从而判断；②由对称轴和函数的图象可以判断；③算出a和c的关系即可；④由题意得到即可判断； 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴， ∴，， ∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， 当时，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； 正确的是①②③共3个． 故选：C． 题型五 一次函数、二次函数的图象综合判断 【例5】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 根据可知C、D错误，根据A、B可判断出的取值范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，y随x的增大而增大， ∴C、D错误； ∵A、B中二次函数开口均向下， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， ∴A错误、B正确； 故选：B． 【变式5-1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 【变式5-2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图像大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像与二次函数的图像的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的图像与性质． 分析每个选项中一次函数与二次函数的的符号与图像的关系即可． 【详解】解：A．由一次函数的图像可得：，此时二次函数的图像应该开口向下，错误； B．由一次函数的图像可得：，此时二次函数的图像应该开口向上，正确； C．由一次函数解析式可得图像过原点，但是选项中一次函数图像未经过原点，故错误； D．由一次函数的图像可得：，此时二次函数的图像应该开口向上，错误． 故选：B． 【变式5-3】（25-26九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可． 【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧， ∴和异号， 当时，则， 对于直线经过一、三、四象限，则选项B正确，符合题意； 当时，则， 对于直线经过一、二、四象限，则没有选项符合题意； 故选：B． 题型六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例6】（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果一条抛物线经过、两点，那么这条抛物线的对称轴是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及抛物线对称轴的求解，抛物线上的两点纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的中点． 【详解】解：点和的纵坐标均为，因此这两点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 4 6 7 … … 0 7 … 则二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．若抛物线上两点关于对称轴对称，则此两点的纵坐标即函数值相同，据悉解答即可． 【详解】解：观察表格，发现当和时，函数值相同为， 则两点关于对称轴对称， 则二次函数的对称轴为直线． 故选：D． 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线， ∵当时，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为直线， ∴由表格可知，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，，，， ∴ 故选：C． 题型七 待定系数法求二次函数解析式 【例7】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，由表格可知二次函数的图象与轴交于和两点，故设解析式为，再代入点求出的值，最后展开得一般式即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当和时，， ∴二次函数的图象与轴交于点和， 设二次函数解析式为，把点代入，得， 解得， ，即， 故答案为：． 【变式7-1】（25-26九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）把和代入即可求解； （2）求出抛物线在的函数值范围即可求解． 【详解】（1）解：把和代入得， ，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由抛物线的表达式为，方程可化为， ∵的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴t的取值范围为． 【变式7-2】（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查求二次函数的解析式，代数式比大小，掌握好作差法比较大小是解题关键． （1）将点和点代入表达式，求出和的值； （2）先用m表示出和，用作差法比较和的大小即可． 【详解】（1）解：将点和点代入表达式，得， ， 解得，， ∴二次函数的表达式为； （2）解：将点代入，得， ， 同理，， ． 当时，，此时，即； 当时，，此时，即； 当时，，此时，即； ∴当时，；当时，；当时，． 题型八 将军饮马问题 【例8】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 【变式8-1】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）已知抛物线与x 轴的交点为 A， B（A在B的左侧），与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上存在一点D ，且的值最小，则D 的坐标是 _________ ． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质；根据二次函数的对称性可知，当B，C，D三点共线时，的值最小，求出直线的解析式，进而求出D 的坐标． 【详解】解：， 对称轴为直线， 令，得， 解得， ， 令，， ， 如图， 连接，交对称轴于D，则， ， 当B，C，D三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26九年级上·全国·周测）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点为线段上的动点． (1)求抛物线的解析式． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)5 【详解】解：（1）∵抛物线交x轴于两点， ∴设抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）如图，过点O作关于直线的对称点，连接． ， ． ， ． ∵点关于直线对称， 垂直平分， ∴四边形是正方形， ∴点的坐标为． ， 的最小值为． 题型九 线段、周长问题 【例9】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． ()待定系数法求函数解析式即可； ()根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）在，当时， ∴ ∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， 当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴ ， ∴， 当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【变式9-1】（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数表达式的求解以及利用轴对称求最短路径问题．解题的关键是利用待定系数法求二次函数表达式，以及利用轴对称的性质将三角形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题． （1）求抛物线表达式：把抛物线与轴交点的坐标代入抛物线，得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出抛物线对称轴，再根据轴对称性质，找到点关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，先求出直线的表达式，再联立对称轴方程求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于两点， ∴将这两点代入抛物线表达式可得： ， 抛物线的表达式为． （2）抛物线， 其对称轴为， 当时，，所以， 设点关于对称轴的对称点为，则， 连接交对称轴于P， ， ， 当A，P，三点共线时，的周长最小， 设直线的表达式为，把代入可得： ， 直线的表达式为． ∴在对称轴上，把代入 得： ∴点的坐标为． 【变式9-2】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标； (2)若点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m． ①设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象C，当图象C的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值； ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作轴交直线于点E，求线段长的最大值； 【答案】(1)， (2)①或② 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数表达式，利用二次函数求线段长度的最值，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数表达式即可，然后根据函数表达式确定抛物线与轴的交点坐标； （2）①分两种情况进行讨论，根据最低点确定最高点的纵坐标，然后利用二次函数表达式进行求解即可； ②利用待定系数法求出直线的表达式，表示出点的坐标和线段的长度，最后利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得 ∴， ∴； （2）解：①当点位于点左侧时，， ∴， 解得或（舍去）； 由得，抛物线顶点坐标为， 当点位于点右侧时，， ∴， 解得或（舍去）； 综上，或； ②设直线的表达式为， 将，代入得， ，解得， ∴， 根据题意得，，且， ∴， ∵该二次函数表达式中， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 此时，顶点横坐标为，符合取值范围， ∴当时，线段长取最大值， 为， 所以，线段长的最大值为． 【变式9-3】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有相同的交点，（点在点的右侧），与轴的交点分别为，． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，； (2)线段与线段的长度的比值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （）将、代入中，即可求函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求出点的坐标； （）设，则，，分别求出，，再求比值即可． 【详解】（1）解：将、代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，令，则， ∴； （2）解：设，则，， ∴，， ∴， ∴线段与线段的长度的比值为． 题型十 面积问题 【例10】（25-26九年级上·重庆忠县·期末）在如图所示平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，B两点，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，已知线段的中点P为抛物线的顶点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与几何综合，求一次函数解析式，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据点A的坐标求出的长，进而求出的长，则可推出点P的坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点B的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴点P的坐标为， ∵点P为抛物线的顶点， ∴可设抛物线的解析式为， 把点A的坐标代入中得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：把点A的坐标代入中得，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，， ∴点B的横坐标为4， 在中，当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴． 【变式10-1】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，且位于直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）令点的坐标为，先得出直线的解析式，得出点的表达式，可求出，求的最值，即为面积的最大值及此时点的横坐标，再求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，， 设直线的解析式为，将，代入得： 得，解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于点，连接，，如下图所示： 则， ∴ ， ∵， 故当最大时，最大， ∵， ∴当时，最大， 此时面积最大，， 当时，， 此时点的坐标为． 【变式10-2】（（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； (3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可． （2）根据二次函数图象平移的性质求出点D的坐标，再求出点B的坐标，通过计算得出，根据等边对等角得出，最后根据正弦的定义求解即可． （3）分点D在点C上方或下方两种情况，画出图形作出辅助线利用平行线的性质和相似三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解∶∵抛物线的顶点C的坐标为， 故设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于A点，点A坐标为， ∴， 解得， ∴； （2）解：设抛物线的对称轴与x轴交于点E，如图：    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵把抛物线向上平移5个单位， ∴，， ∴， 令，则， 解得或7， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：①当点D在点C的上方时， 设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ②当点D在点C的下方时，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：点E的坐标为或． 【变式10-3】（（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①存在，；②． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． （1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． ②因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图： ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． ②设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 代入 ∴， ∴， ∴直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ∴点横坐标为， ∵与的比值和他们之间水平距离的比值相等， ， 和等高， ． 题型十一 特殊三角形存在性问题 【例11】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求解析式，二次函数与面积综合，二次函数与等腰三角形综合等知识点； （1）把，代入后解方程即可； （2）先求出，再求出直线 解析式为，过作轴，交于点，设，则，再根据求出最大值为； （3）设，根据，，表示出、、的长度，再根据当是以边为腰的等腰三角形时，或，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，解得， ∴， 设直线 解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线 解析式为， 过作轴，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为； （3）解：的对称轴为直线， ∴设抛物线的对称轴上有一动点， ∵，， ∴，，， 当是以边为腰的等腰三角形时，或， 当时，，即，解得，此时或； 当时，，即，解得，此时或， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴在直线上，即A、D、M三点共线，不符合题意； 综上所述，当是以边为腰的等腰三角形时，点坐标为或或． 【变式11-1】（（21-22九年级上·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)面积的最大值是； (3)或 【分析】（1） 已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于一点，用待定系数法将三点坐标代入，解三元一次方程组即可求出系数． （2）点在第二象限抛物线上运动，连接、、，求面积最大值．过点作x轴垂线交于点，利用铅垂高与水平宽表示面积，将面积化为关于点横坐标的二次函数，配方求最值． （3）直角三角形需分三种情况讨论直角顶点：、、．前两种情况分别通过构造相似三角形和等腰直角三角形列方程求解；第三种情况利用点在直线上方，说明，从而排除． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ， 解得：． （2）解：设点的横坐标为（）， 抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 直线经过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 过点作x轴于点，交于点， ， ， ， ， 当时，最大． （3）解：存在． ① 当时，过点作轴于点，轴于点， ， 又，， ， ， ， ， ，且，， ，，，， ， 整理得：， 又，， ， 解得：，不符合题意，舍去． ② 当时，过点作轴于点， ，， ， 点在y轴上， ， 又， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． ③ 当时， 点的坐标为，直线的解析式为， ， 又， ， 点在直线上方，且射线在x轴上方， ， ， ． 综上所述，存在点，使为直角三角形，的值为或． 【变式11-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式11-3】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)四边形面积的最大值为，P的坐标是 (3)Q的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，勾股逆定理的应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）设，用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出，连接，设，根据四边形面积列出二次函数表达式，再根据二次函数性质求出最值及坐标即可； （3）设，有，分三种情况：当为斜边时，当为斜边时，当为斜边时，分别列方程解得t的值，即可求出相应Q的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， 设，把代入得： ， 解得：， ∴， 则抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图： 设， 在中，令得， 令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积， ， ， ∴当时，四边形面积最大为， ∴当时，， ∴P的坐标是； （3）解：在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得是直角三角形，理由如下： 如下图， 由抛物线的对称轴为直线，设， ∵， ∴， 当为斜边时，， ∴， 解得或， ∴此时Q坐标为或； 当为斜边时，， ∴， 解得， ∴此时Q坐标为； 当为斜边时，， ∴， 解得， ∴此时Q坐标为； 综上所述，Q的坐标为或或或． 题型十二 特殊四边形存在性问题 【例12】（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或， (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法先确定函数解析式，再代入相应坐标即可求解； （2）先求出P点到x轴的距离，再将坐标代入解析式即可求解； （3）先设出M点与N点坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，设出对角线的交点，利用中点坐标关系即可求解． 【详解】（1）解:∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线经过， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， 设点纵坐标为m， ∵， ∴    ， ∴， 令，则， ∴或， 令，则该方程无解， ∴或， （3）解：存在，或或 设， 由（1）可知， ， 若以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，设它们的对角线的交点为点Q 则分为以下三种情况： ，， ∴，， ∴或， 当时，，此时M点与A点重合，故不符合题意，舍去， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，，与C点重合，故舍去； 综上可得：或或． 【点睛】本题考查了抛物线与平行四边形的判定或性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，正确确定点的坐标关系，本题涉及了分类讨论的思想方法． 【变式12-1】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式12-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 【变式12-3】（22-23九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是； (2)3 (3) 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意得出，，连接，然后结合图形得出即可求解； （3）分是正方形的边和是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点 ∴，， ∴， ∴直线的解析式为，抛物线的解析式是； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴点A的坐标是， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， 连接，如图所示： ∴； （3）解：当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示： 此时M点与A点关于y轴对称，点Q与点O重合，点P与点Q关于对称， ∴，， ∴，，， ∴当，时，四边形为正方形； 同理，当点M与顶点C重合，点Q与点O重合时，如图所示： ∴当，时，四边形为正方形； 当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：作点A关于的对称点M， ∴，， ∴当，时，，四边形为正方形； 如图，当是正方形的对角线时，如图所示： ∴点P的纵坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述：M点坐标为． 题型十三 角度存在性问题 【例13】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线与 x 轴交于和两点，与 y 轴交于点 C， 对称轴与 x 轴交于点 E，点 D为顶点，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)点 P 为线段上一点，若，求点 P 的坐标； (3)点 M 为抛物线上一点，作，交直线于点 N，若，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标． 【答案】(1)见详解 (2) (3)点 M 的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法得到抛物线解析式为，由此得到，运用两点之间距离公式得到，运用勾股定理逆定理即可求解； （2）运用待定系数法得到直线的解析式为，如图所示，过点作轴于点，可证，得到，设，则，则点，由点的纵坐标相等，代入计算即可求解； （3）根据得到当时，，结合点M的位置分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与 x 轴交于和两点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形； （2）解：， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵点 P 为线段上一点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）解：， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 根据题意得到，， ∴， ∴， 当时，， 如图所示，过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∴，且， ∴，即是等腰直角三角形， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵点在直线上， ∴设，，则，， ∴，， ∴， 整理得，， ∵， ∴，把代入得，， 整理得，， 解得，， 当时，点重合，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴； 如图所示， ∵轴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，，则，， ∴，，， ∴，， 整理得，，， ∴， 解得，， 当时，点重合，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴； 综上所述，所有符合条件的点 M 的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数与三角形面积的计算，相似三角形三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正切值的计算等知识的综合，合理作出辅助线是解题的关键． 【变式13-1】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点P的横坐标为或3 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点，正确做出辅助线，分类讨论思想的运用． （1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可； （2）点E在y轴的右侧，作轴，交于点G，推导出，得到，继而求出，的解析式为，设，则，推导出，进而推导出，解得，即可解答； （3）分类讨论：①当时，②当时， 逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得 解得 ∴抛物线表达式为． （2）解：存在，，理由如下： 如图，由题意，点E在y轴的右侧，作轴， 交于点G， 轴， ， ， 直线与轴交于点D， ， ， ， 令得，， 解得， ， 设所在直线的解析式为， 将，代入上述解析式得：， 解得：， 的解析式为， 设，则，其中， ， 解得． ∴， 点E的坐标为． （3）解：存在，理由如下： ①当时，过点O作于点N，延长至H，使， 连接交抛物线于点P，过点H作轴于点T， ，， 是的垂直平分线， ， ， 点P为所求点， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 即， 解得（不符合题意），， 点P的横坐标为， ②当时， 如图 则轴，则点P、C关于抛物线对称轴对称， ∵对称轴为直线，， 点P的横坐标为， 综上所述，点P的横坐标为或3． 【变式13-2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点． (1)求的表达式； (2)连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值； (3)如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）根据二次函数的平移利用待定系数法求得的解析式； （2）将化为顶点式，得到点C的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，联立与直线得点D坐标，设，则，求出的表达式，此时的表达式为二次函数，将二次函数化为顶点式后即可求得最大值； （3）作的对称轴，则，过点A作直线的垂线，交于点，求得的坐标，由分析点P的位置，此时点P的位置即为的位置，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵由平移得来， ∴设， ∵与交于点，且与y轴交于点， 得： 解得 ∴的表达式为：． （2）解：由（1）知，的表达式为：， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立与直线得：， 解得， ∴， ∵E在线段上，G在上，轴， 设，则， 则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：如图，作的对称轴，则， ∴， 过点A作直线的垂线，交于点， ∵的对称轴是直线， ∴的坐标为． ∵A，关于对称， ∴， ∴，即点P和点重合时满足条件， 当点P在对称轴的右边时，，故这样的点P不存在， 综上所述，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值及二次函数与角度的综合问题，求一次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式13-3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中，求得a的值，即可求得解析式； （2）过点D作轴交于点E，交于点G，过点D作于F，由B、C的坐标知是等腰直角三角形，则，求出直线的解析式，则可得直线的解析式：设，则可得点E的坐标，求得的最大值，即可求得点D的坐标； （3）分两种情况考虑：在直线的下方；在直线的上方；分别求出直线的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入，可得： 解得， 把代入， 得到抛物线的函数表达式为． （2）解：存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大； 如图1，过点作轴交于点，交于点，过点作于； 令，解得：，； 令，则， ， ， ， .， ， ∴，， ， 即是等腰直角三角形，则； 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为； 直线向下平移个单位长度得直线， 直线的解析式为； 设，则的坐标为， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值，的最大值为， 此时点的坐标为； 存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大． （3）解：①当在直线的下方时，如图2， 在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， 设直线解析式为，则有， ∴直线解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式得， 解得，，舍去， ∴； ②在直线的上方时，如图3， 作点关于直线的对称点，连接，直线交抛物线于点， 由对称得：，，， ， 设直线的解析式为，则有， ∴， 直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，解得，舍去， ． 综上,满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，直线的平移，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是注意分类讨论，作出图像，防止漏解． 题型十四 取值范围问题 【例14】（25-26九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，动点在抛物线上，点的横坐标为，作于点E，轴交于点，连接交轴于点 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)设的周长为，当最大时，求点的坐标； (3)连接，点在抛物线的对称轴上位于第一象限内，且，在点从点运动到点的过程中，点也随之运动，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】(1)利用待定系数法直接求解即可； (2)易证为等腰直角三角形，则，再求出直线BC解析式，可得点P、F坐标，进而可求PF最大值，据此得解； (3)根据题意，分别求出t的最大值和最小值： ①当点与点重合时，点与点重合，此时t的值最大，以为斜边在第一象限内作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，过点作轴于点，运用勾股定理即可求得答案， ②当点与点重合时，点与点重合，此时的值最小，连接，以为圆心，为半径作交抛物线对称轴于点，连接，设抛物线对称轴交轴于点，运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， 抛物线的表达式， ， ； （2）解：记延长线交轴于点，则， 对于， 当时，可得：， ，即， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设直线解析式为， 则有， 解得：， 直线解析式为， 由题意可得，则， ， 当时，为最大值， 此时， 此时； （3）解：①当点与点重合时，点与点重合，此时的值最大， 如下图所示， 以为斜边在第一象限内作等腰直角，则， ， 以为圆心，为半径画圆，交抛物线对称轴轴上方部分于点， 则， 过作于点，连接， 对称轴为直线， ， ，， 在中，， 即， 解得负值舍去； ②当点与点重合时，点与点重合，此时的值最小， 如下图所示， 连接，以为圆心，为半径作交抛物线对称轴于点， ， 经过点， 连接，设抛物线对称轴交轴于点， 则，， ， ， 综上，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，圆的性质，圆周角定理，勾股定理等，通过作辅助圆，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解决问题，是解题关键． 【变式14-1】（25-26九年级上·湖北·期末）如图①，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求，两点的坐标． (2)当时． ①当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的最小值． ②点是直线上一动点，过点作线段轴（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)①1；②或 【分析】（1）令，得，结合，得到，解方程即可得到结果． （2）①由，得到二次函数为， 分和两种情况，解答即可． ②分点，分别在抛物线上解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，二次函数的最值，根据交点求范围，熟练掌握待定系数法，抛物线的平移，交点的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，令，得， 又，故， 解得， 又点A在原点的左侧，故点A的横坐标为负数， 故，． （2）①解：由， 故二次函数为， ∴抛物线的对称轴为直线； 当时，对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，且为， 当时，取得最小值，且， ∵二次函数的最大值与最小值的差为， ∴， 整理，得， 解得， ∴； 当时， 当时，取得最大值，且， 当时，取得最小值，且为， ∵二次函数的最大值与最小值的差为， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴； ∵ ∴n的最小值为1． ②解：由， 得，， 设直线的表达式为， 故 解得 故直线的表达式为， 由轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m， 则，， 当在时，与抛物线图象有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与抛物线图象有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 故m的取值范围为； 当在时，与抛物线图象有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与抛物线图象有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 故m的取值范围为 综上所述，当线段与抛物线有交点时，m的取值范围是或． 【变式14-2】（25-26九年级上·河北·期末）如图，抛物线：经过，两点，其顶点沿直线：向左上方平移，抛物线也随之平移，平移后的抛物线记为，当顶点D与原点重合时平移停止． (1)求抛物线表达式； (2)请直接写出抛物线停止平移后的表达式； (3)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n．求点C与原点两点之间的最大距离； (4)如图所示，平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G，并将直线向上平移3个单位长度得到直线，点M是直线上一动点，过点M作线段轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m，当线段与图象G有交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)1 (4)或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意，抛物线顶点沿直线：向左上方平移，设抛物线向上平移了n个单位长度，则抛物线向左平移了个单位长度，新抛物线的表达式为，故的顶点D坐标为，结合与原点重合条件，解答即可； （3）根据题意，得，当时，取得最大值，此时点C与原点两点之间的最大距离，且最大距离为1． （4）分点，分别在抛物线和上解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，二次函数的最值，根据交点求范围，熟练掌握待定系数法，抛物线的平移，交点的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线：经过，两点， 故， 解得， 故抛物线：的表达式为． （2）解：根据题意，抛物线，顶点沿直线l：向左上方平移，设抛物线向上平移了n个单位长度，则抛物线向左平移了个单位长度，新抛物线的表达式为， 故的顶点D坐标为， 由的顶点D与原点重合时平移停止， 故， 解得， 抛物线停止平移后的表达式． （3）解：设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n． 根据顶点沿着平移，故顶点D的纵坐标为， 新抛物线的表达式为， 故点， 故， 当时，取得最大值，此时点C与原点两点之间的最大距离，且最大距离为． （4）解：根据（2）得到抛物线停止平移后的表达式， 直线的表达式为，抛物线的表达式为， 由轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m， 则，， 由平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G， 当在时，与图象G有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与图象G有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时， 故m的取值范围为； 当在时，与图象G有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与图象G有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时， 故m的取值范围为； 综上所述，当线段与图象G有交点时，m的取值范围是或． 【变式14-3】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）交x轴于点A，B，交y轴于点，点A坐标为，点D为抛物线的顶点，点E为抛物线上一动点，且点E的横坐标为t． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若E在的上方，当时，求点E的坐标； (3)如图2，设的面积为S，点E在抛物线对称轴的右侧， ①求S与t之间的函数表达式； ②以点E为对称中心，构造正方形，且在y轴上（点M在点N的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）将已知的点和点的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出和的值，即可确定抛物线的解析式； （2）延长交x轴于F，利用推导出，进而得到确定点的坐标，再求出直线的解析式，将直线解析式与抛物线解析式联立，解方程组并舍去不符合条件的解，得到点的坐标； （3）①求出直线的解析式，过点作轴的平行线交直线于点，用含的代数式表示出点和点的坐标，进而得到线段的长度，再结合三角形面积公式，推导出与的函数关系式； ②根据正方形的对称中心性质确定顶点坐标，再分情况讨论正方形与抛物线的交点个数，找到交点个数为3个时的临界状态，确定对应的的范围，结合的取值范围和二次函数函数的性质，最终转化为的取值范围． 【详解】（1）解：将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：． ∴该抛物线的解析式是； （2）解：延长交x轴于F． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线解析式为． 联立抛物线得， 解得：（舍），， ∴点E的坐标为； （3）解：①过E作轴交直线于H． ∵，， ∴直线的解析式为， ∴，， ， ． 即 ②由题可得，，， ⅰ）当边经过点， 正方形与抛物线有3个交点， ， 解得：或， ∵， ∴， ⅱ）当时，正方形与抛物线有2个交点； ⅲ）当点N与点C重合时，正方形与抛物线有3个交点， ， 解得：（不合题意，舍去）或， ⅳ）当时正方形与抛物线有2个交点． ⅴ）当时正方形与抛物线有4个交点 综上所述，正方形与抛物线有2个交点时，或． ∵， 当或，随的增大而增大 ∴或． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的判定与性质，二次函数的图像和性质，图形面积的计算方法，正方形的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 题型十五 其他问题 【例15】（25-26九年级上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在第一象限，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)过点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为； (3)点的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线交直线于点M，求出直线的解析式为，设，则，得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）由折叠可知，，再由，推导出，设，则，得到方程，求出m的值即可确定点M的坐标． 【详解】（1）解：将代入， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：过点P作x轴的垂线交直线于点M， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为8，此时点P的坐标为； （3）解：由折叠可知，， ∵在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【变式15-1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求a的值、函数的对称轴及顶点坐标． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C点，且点B为线段的中点，求t值． (3)设，抛物线的一段（）均在与x轴平行的直线，之间，若直线，之间的距离为16，写出的最大值． 【答案】(1)，对称轴，顶点坐标 (2) (3)8 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出t的值即可； （3）根据抛物线开口向上，对称轴为，顶点是最低点，函数最小值为，在范围内，抛物线在的一段位于平行x轴的两条直线，之间，间距为16，得最小值为，最大值为，得到，解得：，根据，取，即得的最大值． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：； ∴， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解： 由（1）知：对称轴为直线， ∵点在y轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入， 得：， ∴； （3）解： ∵抛物线开口向上，对称轴为，顶点是最低点， ∴当时，抛物线的最小值为， ∵抛物线在的一段，位于平行x轴的两条直线，之间，间距为16， ∴这段抛物线的最大值为， ∴， 解得：， ∵， ∴取， ∴的最大值为：． 【变式15-2】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）把代入抛物线利用待定系数法求解即可． （2）先求出点坐标，根据，得出点纵坐标为 4 ，则，解方程即可求解． （3）先求出抛物线的顶点坐标为，当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可．当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可． （4）分两种情况：①如图，过作轴．证明，得出，从而得， 根据， 得出， 根据， 列出方程， 求解即可．②如图所示：同理证明，得出，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为与轴交于点， ， ， ∴点纵坐标为 4 ， ， ， ． （3）解：抛物线， 故顶点坐标为， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， ， ， ， 综上所述，或． （4）解：①如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图所示：如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 或2， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式15-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数与，，我们把具有这样特点的函数和称为互利函数． 【总结归纳】 (1)填空：的顶点坐标为______，的顶点坐标为______． 【知识应用】 (2)求的互利函数解析式； (3)已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点，设的顶点为．若，．求证：这两个函数的图象的交点为、． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据顶点式直接写出顶点的坐标，即可求解； （2）根据定义，直接写出互利函数解析式，即可求解； （3）根据定义分别得出，，根据二次函数经过，得，联立两个函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：已知二次函数与，， ∴的顶点坐标为，的顶点坐标为． 故答案为：，． （2）， 互利函数解析式为． （3）证明：，， ， ∴它的互利函数为． 它的顶点坐标为． 经过点， ，解得． ，， ，． 联立，解得或， ∴这两个函数的图象的交点为，． ∴这两个函数的图象的交点为、． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2.3二次函数的图象和性质 【新人教版】 【题型1 把化为顶点式】.....................................................................................................3 【题型2 画的图象】.............................................................................................................4 【题型3 的图象和性质】.....................................................................................................5 【题型4 二次函数图象与系数符号判断】..........................................................................................................6 【题型5 一次函数、二次函数的图象综合判断】..............................................................................................7 【题型6 已知抛物线上对称的两点求对称轴】..................................................................................................8 【题型7 待定系数法求二次函数解析式】..........................................................................................................9 【题型8 将军饮马问题】......................................................................................................................................9 【题型9 线段、周长问题】................................................................................................................................10 【题型10 面积问题】..........................................................................................................................................12 【题型11 特殊三角形存在性问题】..................................................................................................................14 【题型12 特殊四边形存在性问题】..................................................................................................................15 【题型13 角度存在性问题】..............................................................................................................................17 【题型14 取值范围问题】..................................................................................................................................19 【题型15 其他问题】..........................................................................................................................................22 1. 基础形式 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，图象是抛物线，可配方化为顶点式: 2. 对称轴与顶点 对称轴:直线,顶点坐标： 3. 开口方向 a>0，开口向上，顶点为最低点；a<0，开口向下，顶点为最高点。 4. 开口宽窄 |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 5. 增减性与最值 ① a>0 ，y随x增大而减小； ，y随x增大而增大； 时，y最小=。 ② a<0 ，y随x增大而减大； ，y随x增大而增小； 时，y最大=。 6. 与坐标轴交点 · 与y轴交点：(0,c)，c决定交点上下位置； · 与x轴交点：令y=0，解方程ax2+bx+c=0，交点个数由判断: >0：2个交点；=0：1个交点；<0：无交点。 易错1：对称轴符号记错 对称轴，极易漏掉负号。 易错2：顶点纵坐标计算出错 混淆4ac-b2与b2-4ac，符号颠倒。 易错3：增减区间分界点错误 以x=0划分增减，正确分界是对称轴。 易错4：混淆c的含义 c是抛物线与y轴交点纵坐标，不是顶点纵坐标。 易错5：配方时漏乘a 一般式转顶点式，提取a后常数项要同步乘a再配方。 易错6：比较函数值忽略到对称轴距离 只看x大小，不看点到对称轴远近。 技巧1：五点画图通用法 · 求对称轴、顶点； · 求与y轴交点(0,c)及对称点； · 求与x轴交点（存在时）；五点平滑连线。 技巧2：函数值大小比较 两点到对称轴距离越远：a>0，函数值越大；a<0，函数值越小。 技巧3：图像快速判断四步 · a正负定开口； · a、b同号左移，异号右移（左同右异）； · c正负看y轴交点； · 判断与x轴交点个数。 技巧4：一般式转顶点式步骤 · 提取二次项系数a； · 括号内配方，加一次项系数一半的平方再减去； · 展开整理，写成y=a(x-h)2+k。 题型一 把化为顶点式 【例1】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）将二次函数化为的形式，正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（上海市浦东新区几校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)当取何值时，随的增大而减小？ 题型二 画的图象 【例2】（25-26九年级上·贵州黔东南·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； 【变式2-1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【变式2-2】（25-26九年级上·北京门头沟·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【变式2-3】（25-26九年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (3)当时，直接写出的取值范围：______ 题型三 的图象和性质 【例3】（25-26九年级上·山西忻州·期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【变式3-1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（25-26九年级上·天津·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四 二次函数图象与系数符号判断 【例4】（25-26九年级上·云南怒江·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点，且与y轴交于正半轴，其对称轴是直线．则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 一次函数、二次函数的图象综合判断 【例5】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图像大致是（    ） A．B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例6】（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果一条抛物线经过、两点，那么这条抛物线的对称轴是______． 【变式6-1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 4 6 7 … … 0 7 … 则二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 【变式6-3】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型七 待定系数法求二次函数解析式 【例7】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 【变式7-1】（25-26九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围． 【变式7-2】（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由． 题型八 将军饮马问题 【例8】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【变式8-1】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）已知抛物线与x 轴的交点为 A， B（A在B的左侧），与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上存在一点D ，且的值最小，则D 的坐标是 _________ ． 【变式8-2】（25-26九年级上·全国·周测）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点为线段上的动点． (1)求抛物线的解析式． (2)求的最小值． 题型九 线段、周长问题 【例9】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【变式9-1】（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【变式9-2】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标； (2)若点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m． ①设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象C，当图象C的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值； ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作轴交直线于点E，求线段长的最大值； 【变式9-3】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有相同的交点，（点在点的右侧），与轴的交点分别为，． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值． 题型十 面积问题 【例10】（25-26九年级上·重庆忠县·期末）在如图所示平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，B两点，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，已知线段的中点P为抛物线的顶点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)求的面积． 【变式10-1】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，且位于直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标． 【变式10-2】（（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； (3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 【变式10-3】（（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）． 题型十一 特殊三角形存在性问题 【例11】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 【变式11-1】（（21-22九年级上·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 【变式11-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 【变式11-3】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十二 特殊四边形存在性问题 【例12】（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-1】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【变式12-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】（22-23九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 题型十三 角度存在性问题 【例13】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线与 x 轴交于和两点，与 y 轴交于点 C， 对称轴与 x 轴交于点 E，点 D为顶点，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)点 P 为线段上一点，若，求点 P 的坐标； (3)点 M 为抛物线上一点，作，交直线于点 N，若，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标． 【变式13-1】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点． (1)求的表达式； (2)连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值； (3)如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十四 取值范围问题 【例14】（25-26九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，动点在抛物线上，点的横坐标为，作于点E，轴交于点，连接交轴于点 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)设的周长为，当最大时，求点的坐标； (3)连接，点在抛物线的对称轴上位于第一象限内，且，在点从点运动到点的过程中，点也随之运动，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【变式14-1】（25-26九年级上·湖北·期末）如图①，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求，两点的坐标． (2)当时． ①当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的最小值． ②点是直线上一动点，过点作线段轴（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【变式14-2】（25-26九年级上·河北·期末）如图，抛物线：经过，两点，其顶点沿直线：向左上方平移，抛物线也随之平移，平移后的抛物线记为，当顶点D与原点重合时平移停止． (1)求抛物线表达式； (2)请直接写出抛物线停止平移后的表达式； (3)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n．求点C与原点两点之间的最大距离； (4)如图所示，平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G，并将直线向上平移3个单位长度得到直线，点M是直线上一动点，过点M作线段轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m，当线段与图象G有交点时，直接写出m的取值范围． 【变式14-3】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）交x轴于点A，B，交y轴于点，点A坐标为，点D为抛物线的顶点，点E为抛物线上一动点，且点E的横坐标为t． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若E在的上方，当时，求点E的坐标； (3)如图2，设的面积为S，点E在抛物线对称轴的右侧， ①求S与t之间的函数表达式； ②以点E为对称中心，构造正方形，且在y轴上（点M在点N的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时S的取值范围． 题型十五 其他问题 【例15】（25-26九年级上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在第一象限，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)过点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标． 【变式15-1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求a的值、函数的对称轴及顶点坐标． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C点，且点B为线段的中点，求t值． (3)设，抛物线的一段（）均在与x轴平行的直线，之间，若直线，之间的距离为16，写出的最大值． 【变式15-2】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 【变式15-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数与，，我们把具有这样特点的函数和称为互利函数． 【总结归纳】 (1)填空：的顶点坐标为______，的顶点坐标为______． 【知识应用】 (2)求的互利函数解析式； (3)已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点，设的顶点为．若，．求证：这两个函数的图象的交点为、． 1 学科网（北京）股份有限公司 $