2.4用一元二次方程解决问题课后作业1 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用，分层设计从基础建模到综合应用，覆盖营销、图形等8类情境，通过问题梯度培养数学建模意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|握手问题、数字问题等单一知识点|单选1-6、填空13-14直接套用模型，强化符号意识| |能力提升|传播问题、增长率问题等复杂情境|单选7-12、填空15-16需分析数量关系，发展推理能力| |综合应用|营销利润、图形面积等多步问题|解答17-20完整建模求解，提升数学思维与表达能力|

第2章 一元二次方程 2.4 用一元二次方程解决问题 课后作业1 一、单选题 1．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．2025年6月25日，河南省平顶山市教育体育局发布了《关于加强劳动教育实践基地的建设与培养全面发展接班人的提案》为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．长方形的长比宽多，面积为．设宽为，则可列一元二次方程（   ）． A． B． C． D． 5．有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A． B． C．1 D．或1 7．冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．某新能源公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密度达到，则x的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．宁波市轨道交通发展助力绿色出行，2023年宁波轨道交通运营里程约186公里，2025年增长至约262公里．设这两年运营里程的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 12．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 14．俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，每天“遗忘”的百分比为______ 15．《疯狂动物城2》上映后票房持续增长，据统计连云港市首日票房约为100万元，第三天票房约为350万元，设票房收入平均每天增长率为，则可列方程为_____． 16．如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 三、解答题 17．某农村居委会以16000元的成本收购了一种农产品40吨，目前就可以按600元/吨的价格全部销往外地，如果将该农产品先储藏起来，每星期的重量会损失1吨，且每星期需支付各种费用共400元，每星期每吨的价格能上涨100元，但储藏时间不超过10个星期，那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利20500元？ 18．如图，某社区计划将一块长为、宽的矩形空地改造成居民共享菜园，为方便居民照料和采摘，需要在菜园内部修建宽度相同的步道（图中阴影部分）．已知步道将菜园分成9个面积均为的矩形种植区，请求出步道的宽度． 19．某超市购进一批商品，一月份销售375件，二、三月份该商品销售量持续走高，且月平均增长率不变，三月份的销售量达到540件．求二、三月份的平均增长率． 20．如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章 一元二次方程 2.4 用一元二次方程解决问题 课后作业1》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C D C A B C D 题号 11 12 答案 B A 1．C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，根据题意列方程即可； 【详解】解：设每台冰箱定价元时，种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，由题意得： ， 故选：C． 2．C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设矩形的一边长为，则另一边长为，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为， ∵围出一块6平方米的矩形菜地， ∴， 故选：C． 3．D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查列一元二次方程，小组共有人，每人要送出件礼物，据此列出方程即可． 【详解】解：设小亮及小组一共有人，根据题意得． 4．C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：∵设长方形的宽为，长比宽多， ∴长方形的长为， 又∵长方形面积为， ∴可列方程为． 5．D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：根据题意及平移规则可知，若设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形， ∴可列方程为． 6．C 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 7．A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以，即可作答． 【详解】解：∵最初有人患流感， ∴第一轮传染后，患病人数为， ∴第二轮传染后，患病人数为 ∵两轮传染后该班级共有32人患流感， ∴可列方程为． 8．B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】依次求出两次迭代升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ， ∴第二次升级后的能量密度为 ， 又∵最终能量密度达到 ， ∴可列方程为 ． 9．C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列方程求解，解题思路是先依次推出两次升级后的能量密度，列出方程后求解正的x值即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为， 第二次升级后的能量密度为， ∵最终能量密度达到， ∴可列方程为， ∵，两边同除以得， 又∵为倍数，， ∴． 10．D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设宽为步，先表示出长，再利用长方形面积公式列方程，即可选出正确选项． 【详解】解：设宽为步，则长为步， ∵长方形田地的面积为864平方步， ∴可得方程． 11．B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据年平均增长率的计算方法，从2023年的初始里程推出2025年的里程表达式，结合已知2025年的里程即可列出方程． 【详解】解：∵2023年运营里程为公里，年平均增长率为.， ∴2024年运营里程为，2025年运营里程为.， 又∵2025年运营里程为公里， ∴可列方程为 ． 12．A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】设长方形田地的长为步，宽比长小步， 宽为步， 长方形田地的面积为平方步， 可得方程． 13． 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系是关键． 每人给其他人都发一个红包，则每人发红包数为个，x人共发个红包，总红包数为420，故列方程． 【详解】解：设该群共有x人，则每人需要给其他人发红包， ∴每人发红包数为个，由于有x人， ∴总红包数为个， ∴列方程得， 故答案为：． 14． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每天遗忘的百分比为x，则每天剩余比例为 ，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为x， 由题意，得 ， 解得或（舍去）， ∴每天“遗忘”的百分比为， 故答案为：． 15． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的实际应用，解题的核心是掌握增长率的计算公式：若初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则公式为． 根据票房每日增长率，由第三天的票房量列方程即可． 【详解】解：设平均每天增长率为，则第二天票房为万元， 第三天票房为万元．给定第三天票房为350万元， 故得方程． 故答案为：． 16． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积的计算，理解图示面积的计算是关键，根据题意，草坪的长为米，宽为米，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，草坪的长为米，宽为米， ∴， 故答案为： ． 17．储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设储藏x个星期出售这种农产品可获利20500元， 根据题意得：， 解得，，（舍去）， 答：储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元． 18．步道的宽度为， 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先理解题意，结合需要在菜园内部修建宽度相同的步道（图中阴影部分），且步道将菜园分成9个面积均为的矩形种植区，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设步道的宽度为， 依题意，， 整理得， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴步道的宽度为， 19． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设月平均增长率为，根据一月份和三月份的销售量，列出方程，解方程得到，即平均增长率为． 【详解】解：设月平均增长率为，根据题意，， 解得，（不合题意，舍去）． 故二、三月份的平均增长率为． 20．15 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设最小数为，则最大数为，根据最小的数与最大的数的乘积为345建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 解得，， 答：这个最小数为15． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $