内蒙古自治区锡林郭勒盟苏尼特右旗实验中学2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

**基本信息** 九年级数学开学测试，以劳动教育情境、跨学科问题及经典模型应用为特色，综合考查数学眼光、思维与语言，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|统计、平行四边形、一次函数、菱形|第1题结合劳动教育考查众数中位数，体现数学眼光| |填空题|4/12|勾股定理、跨学科光学、函数图像|第11题跨学科融合光学知识，运用数学语言解决实际问题| |解答题|6/64|尺规作图、“将军饮马”模型、函数探究|第16题通过“将军饮马”模型应用，培养数学思维与创新意识|

苏尼特右旗实验中学2026-2027学年度 九年级数学开学测试参考答案 一、 选择题（本题共有8小题，每题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案BAD B C 二、填空题（本题共有4小题，每题3分，共24分） 1 -m ≤k<2 9.7 10.1<EG<9/9>EG>1 112 12.2 三、解答题（本题共有6小题，共64分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的相对 位置) 13.(1) 四边形ABCD即为所求： (图1) (2)解：如图2中，当点M与A重合时，MN的长最大，最大值=V2AB=4W2: 如图2中，当点E以D重合时，连接BM,设BD,AC交于点O,MW的长最小，设BM=DM=x,则 2=42+(8-x)2 有 解得x=5, A() A M D(E N (图2) :∠BAD=90°AB=4AD=8 BD=VAB2+AD2=V42+82=45 答案第1页（共2页） ∴OB=0D=2√5 0M=0N=VDM2-0D=52-(25=5, :MN=25 .2V5≤MN≤4V2 2W5≤MN≤4√2 故答案为： 21 14.(1)解：V5aV10a 2 1 5a 25a 2 5a2 2 5a: (2)(-2)3-5+3 =4-343 8 =12 8· 15.(1) 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ABICD,AB=CD,∠BAD=∠BCD, .∠ABG=∠CDH, :AG,CH分别是∠BAD和∠BCD的平分线， ∴.∠BAG=∠DCH, ,△ABG≌aCDH(ASA) (2)②；是菱形，证明如下： 答案第2页（共2页） .△ABG≌ACDH. .∠AGB=∠CHD ∴.∠AGH=∠CHG. .'AE lI CF 四边形ABCD是平行四边形， ADI‖BC ∴.四边形AECF是平行四边形： 如果添加条件①无法证明四边形AECF是其余特殊四边形，理由如下： ,BD平分∠CDF) ∴.∠CDB=∠ADB ·AD BC .∠ADB=∠CBD .∠CDB=∠CBD ..CB=CD, 四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD. ∴.AC与EF不垂直， ∴：四边形AECF不是菱形和正方形： ·ADII BC .∠DFC=∠BCF ,CH是∠BCD的平分线， ∴.∠DCF=∠BCF, .∠DFC=∠DCF, .DF=CD .BD平分∠CDF, .CF⊥BD .CF与AD不垂直， 四边形AECF不是矩形： 综上，添加条件①不合适； 如果添加条件②，四边形AECF是菱形.理由如下： 答案第3页（共2页） AG平分∠BAD, ∴.∠BAE=∠DAE, .∠BAE=2∠EAC, .∠DAE=2∠EAC, .∠EAC=∠FAC, .AD‖BC .∠FAC=∠ACE, .∠EAC=∠ACE, ∴.AE=CE, ∴四边形AECF是菱形. 16.(1)解：问题1：作点A关于直线I的对称点A,连接BA',过点A'作A'M⊥BD并交BD于点M, .AC=AC=300米， 在RtaA'BM中，A'M=CD=900米， BM=BD+DM=BD+A'C=1200米， AB=V12002+9002=1500(米)， ∴.“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米： B D M (2)问题2：如图，连接BE,设BE与AC交于点P, :四边形ABCD是正方形， 点B与D关于AC对称， .PD=PB, ∴.PD+PE=PB+PE=BE最小. 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度. 9R△CE中，∠BCE=90,BC=g,CE=CD=3, :BE=V92+32=3V0 答案第4页（共2页） 310 故答案为： D (3)问题3.作A点关于x轴的对称点A',连接BA'交x轴于P点，P点即为所求. 利用对称的性质得到PA=PA, 则PA+PB=PA'+PB=BA',BA'的值最小： A点关于x轴对称的点A的坐标为(-2,4)， PA+PB的最小值=BA=V4+22+(2+4=6N2 17.(1) 函数图象如下： 3 ’6543223456x 6 解：根据图象可得当x>1时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小： -2×6-1+5=-2×m-1+5 (2)解：根据题意可得 m-1=5 可得 解得m=6或m=-4, :A(m,川）.B(6,m)为该函数图象上不同的两点， 答案第5页（共2页） ∴.m=-4 故答案为：-4； (3)解： -1<-2-1+5≤3 -6<-2x-1≤-2 3>x-121 可得3>x-1≥1，解得4>x≥2， 或可得3>-x+1≥1，解得-2<x≤0， 故答案为：4>x≥2或-2<x≤0： (4)解：当24-52分*时，此时y=. 1 2-05分2(x40+52 可得 x-1≥0 或 x-1<0 解得15x6号成26<1即-26x6号 14 7 当x=5时，取最大值为5： 当2-+5<2x时，此时y=-2-1+5, 14 根据上述自变量取值范围，可得此时x>5或x<-2: .y= 2x+3(x<-2)’ *812 当x=4时，-2x+8=2x4/ 5 当*=-2时， 2x+3=2×(-2)+3=-1 答案第6页（共2页） :当 5或x<-2,少< 5 y=min -2x-1+5,2 > 故函数 的最大值为5， 7 故答案为：5· 18.(1) ①过G作GM⊥BC于M, :正方形ABCD, .AB=BC=CD=DA,∠D=∠C=∠GMC=90°， ∴.四边形MGDC是矩形， ∴.AD=DC=GM,∠ADE=∠GMF=∠AGM=90°， B ---M E .GH⊥AE, .LMGF=90°-∠AGF=∠DAE,, '∠DAE=∠MGF AD=GM ∠ADE=∠GME 、△ADE≌AGMF(ASA) .AE=GF ②过点H作HM⊥DC于点M E为CD的中点，不妨设DE=EC=x ME 正方形ABCD 答案第7页（共2页） ∴.AD=DC=2x,∠ADC=90°， :AE=√AD+DE2=V5x .DF⊥AE于点H, .DH=AD-DE25 AE :=n-n-5,E=6-4MND07.5 HM=DHE_2、 DE-5x .DM =DH2-HME4 .CM=CD-DM=6x 5, CH=VHM+CM-210 4v5 .CH210 (2)如图，以点D为原点，以DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， y个 A 6 B G H 4 2 5 AB=6,AG=CF=1.5,CE =2DE, .CE=4,DE=2 0.2 fo) 设直线AE的解析式为y=+b, 答案第8页（共2页） [2k+b=0 根据题意，得b=6, k=-3 解得b=6, .直线AE的解析式为y=-3x+6: 设直线GF的解析式为y=px+q, 6p+q=2 3 根据题意，得 9 q22 1 p=一 2 解得 9 /9 2 小直线GF的新析式为=号 2 19 y=-一x+ 22 由此得y=-3x+6· [.3 x-5 解得21 y25 5 9 设直线GFy=~2x+2与x轴的交点为P, P(9,0) 点 答案第9页（共2页） m=割-2， ·PE=9-2=7? .5.mP14.7. 过点E作E0⊥GF于点Q, :0=47-5 5, 2 .H0=hc2-O_ 5, HO=EO ∠EHQ=45° .∠AHG=45°. 答案第10页（共2页） 保密★启用前 苏尼特右旗实验中学2026-2027学年度 九年级数学开学测试 试卷满分：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共有8小题，每题3分，共24分） 1．（本题3分）《义务教育课程标准2022年版》中首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出了明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，7，3，3，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．3，3 B．3，4 C．4，4 D．4，5 2．（本题3分）如图，四边形是平行四边形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）一次函数与的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 4．（本题3分）如图，菱形的边长为6，对角线AC，BD交于点O，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，当取得最小值时，菱形两条对角线的和为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．（本题3分）一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（本题3分）如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（本题3分）如图，正方形的边长为2，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接，，．则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是（   ）   A．①④ B．②③ C．①④⑤ D．①③④⑤ 8．（本题3分）如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（   ） A． B．1 C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共有4小题，每题3分，共24分） 9．（本题3分）如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形，它们的面积分别为、、．若，，则________． 10．（本题3分）如图，在四边形中，，，是的中点，是的中点，交于，则的长度的取值范围是___________． 11．（本题3分）跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 12．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，则的取值范围是________． 三、解答题（本题共有6小题，共64分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的相对位置） 13．（本题8分）如图，中，． (1)尺规作图：作矩形；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，点为边上一点，若的中垂线分别交边、边于点、，则的长的取值范围为 ． 14．（本题8分）计算： (1)； (2)． 15．（本题10分）如图，在中，对角线，相交于点，作和的平分线，分别交于点，，延长交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），判断四边形的形状，并证明．条件①：平分；条件②：． 16．（本题10分）“将军饮马”问题探究与拓展：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我们想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且．            【模型应用】 (1)问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． (2)问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是________． (3)问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的最小值． 17．（本题14分）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） (2)若，为该函数图象上不同的两点，则 ； (3)当时，自变量x的取值范围是 ； (4)定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 18．（本题14分）已知正方形，点 E，F，G 分别在边 上， 连接， (1)若于点H． ①如图 1，求证：； ②如图 2，将向下平移，当点G与D 重合时， 若E为的中点，连接 HC，求的值； (2)如图；若，且，请你求出的度数． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $