追及 相遇问题 讲义 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

该高中物理讲义通过思维导图和对比表格系统构建追及相遇问题知识体系，梳理其本质为“同时到达空间某位置”，明确速度相等临界条件，分类呈现初速度不同的追及类型及位移关系，突出运动和相互作用观念。 讲义亮点在于分4类题型（如变速追匀速、避免相撞）设计例题与变式，结合位移方程法、图像法等培养科学思维，巩固提升题涵盖多过程综合问题，帮助不同层次学生掌握模型建构与推理，支持教师精准分层教学。

专题强化—追及相遇问题 目 录 一、思维导图 - 1 - 二、学习目标 - 2 - 三、知识讲解 - 2 - （一）追及问题 - 2 - （二）追及分类 - 3 - （三）相遇问题 - 4 - （四）避免相撞类问题（临界值问题） - 5 - 四、题型分类 - 5 - 题型1：变速物体追匀速物体 - 5 - 题型2：变速物体追变速物体 - 7 - 题型3：匀速物体追变速物体 - 9 - 题型4：避免相撞类问题 - 10 - 五、 巩固提升 - 12 - 一、思维导图 二、学习目标 1.识别追及相遇运动模型，理解追及、相遇、相距最远、相距最近物理含义； 2.会书写不同运动形式的位移表达式，利用位置关系列相遇方程； 3.掌握速度相等临界条件，会判断两物体距离极值； 4.熟练位移方程法、临界分析法、图像法三种解题手段； 5.重点规避刹车停止、解的合理性检验等高频易错点. 三、知识讲解 （一）追及问题 1.追及相遇问题的本质： 两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的本质是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。 2.解题关键： 抓住一个条件、两个关系。 (1)一个条件： 速度相等时临界条件，两物体是相距最远还是最近或是恰好追上。 (2)两个关系: ①时间关系（特别注意运动时间是否相等；同时出发或一先一后）； ②位移关系 (特别注意是同一地点出发，或是一前一后）。 3.解题思路 在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析． 分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件． 解题思路和方法： （二）追及分类 1.初速度小者追初速度大者 追及类型 图像描述 相关结论 匀加速追匀速 设 x0为开始时两物体间的距离，t0为速度大小相等的时刻，则应有下面结论∶ ①t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大; ②t=t0时，两物体相距最远，为x0＋△x; ③t=t0以后，后面物体与前面物体间距离先逐渐减小再逐渐增大; ④一定能追上且只能相遇一次 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 匀加速追匀速 2.初速度大者追初速度小者 追及类型 图像描述 相关结论 匀减速追匀速 设x0为开始时两物体间的距离，开始追赶时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻，则应有下面结论∶ ①若△x=x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件; ②若△x < x0，则不能追上，此时两物体间距离最小，为x0-△x; ③若△x > x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2=2t0-t1时刻两物体第二次相遇. 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 匀减速追匀减速 3.初速度不同的追及问题规律总结 初速度小者追初速度大者规律总结 实物图 (设经t0时间两物体速度相等) t＝t0以前(v2<v1) 两物体距离增大 t＝t0时(v1＝v2) 相距最远 t＝t0以后(v2>v1) 两物体距离减小 追及情况 只能追上一次 初速度大者追初速度小者规律总结 实物图 (设经时间t0两物体速度相等) t0时刻以前(v2>v1) 两物体距离减小(甲未追上乙时) t0时刻(v2＝v1)Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次 若Δx<x0，追不上，有最小距离 若Δx>x0，相遇两次 （三）相遇问题 第一类:同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题. 第二类:相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇. 解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量；然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了. 处理追及相遇问题的常用方法： 1.物理分析法：寻找问题中隐含的临界条件，对临界状态分析求解. 例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时距离最大；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时距离最小； 2.极值法：（函数法）：设相遇问题为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇2次，若Δ＝0，说明恰好追上或相遇；若Δ＜0，说明不能追上或相遇； 3.图像法：将两者的v－t图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解； 4.相对运动法：以其中一个物体为参考系，确定另一个物体的相对初速度和相对加速度，就把研究两个物体的运动问题，转化为研究一个物体的运动问题. （四）避免相撞类问题（临界值问题） 追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、追不上、两者相距有极值的临界条件。 1.速度大者减速（如：匀减速直线运动）追速度小者（如：匀速直线运动）： ①两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离； ②若速度相等时，有相同位移，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件； ③若位移相同时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，二者速度相等时，二者间距离有一个较大值. 2.速度小者加速（如：初速为零的匀加速直线运动）追速度大者（如：匀速直线运动）： ①当两者速度相等时，二者间有最大距离； ②当两者位移相等时，即后者追上前者. 四、题型分类 题型1：变速物体追匀速物体 【例题1】在平直的公路上，一辆小汽车前方处有一辆大客车正以54km/h的速度匀速前进，若小汽车从静止出发以2m/s2的加速度追赶。试求： （1）小汽车追上大客车时的速度； （2）追上前，小汽车和大客车之间的最大距离是多少. 【变式1】（多选）汽车沿水平车道以的速度向前做匀减速直线运动，其刹车的加速度大小，此时发现在相邻车道前方相距处有以的速度同向运动的汽车B匀速行驶，从此刻开始计时，经多长时间两车并排（即相遇）（　　 ） A. B. C. D. 【变式2】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，但警车的行驶速度不能超过90km/h. （1）从警车发动开始计时，两车经过多长时间相距最远； （2）警车在追赶货车的过程中，两车相距的最远距离是多少； （3）警车能否在加速阶段追上货车.（请计算说明） 题型2：变速物体追变速物体 【例题2】甲、乙两车同时从同一地点出发，甲以16m/s的初速度，2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙以4m/s的初速度，1m/s2的加速度作匀加速直线运动。若甲、乙两车始终沿同一直线同一方向运动。求： （1）两车再次相遇的时间； （2）两车再次相遇前的最大距离. 【变式1】甲、乙两物体在两地同时同向出发做匀加速直线运动，出发时甲的初速度为2 m/s，乙的初速度为1 m/s，运动时甲的加速度为2 m/s2，乙的加速度为4 m/s2，已知甲、乙在2 s时恰好相遇，下列说法正确的是(　　) A.从出发到相遇，甲的位移为6 m B.在2 s后，若甲、乙保持加速度不变，则会再次相遇 C.甲与乙出发地之间的距离为4 m D.相遇之前，甲与乙在t＝0.5 s时相距最远 【变式2】甲、乙两车在同一平直公路上同向行驶，甲车在前，速度为10m/s，乙车在后，速度为15m/s。当两车相距64m且甲车距离停车线10m时，甲车司机突然发现前方斑马线处有行人，立即刹车做匀减速直线运动，并恰好停在停车线处，甲车停车等待4s后以的加速度启动。甲车开始刹车1s后，乙车以的加速度做匀减速直线运动，当看到甲车启动时才以的加速度做匀加速直线运动。司机的反应时间忽略不计。求： （1）甲车刹车时加速度的大小； （2）甲车启动时，两车之间的距离.    题型3：匀速物体追变速物体 【例题3】为了迎接接力赛，甲、乙两同学在操场训练交接棒发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前=13.5m处作了标记，并以v=9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L=20m。求： （1）此次练习中乙在接棒前的加速度a大小； （2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离. 【变式1】平直公路上，一辆自行车与同方向行驶的一辆汽车在t=0时同时经过某一个路标，它们的位移x随时间t变化的规律分别为：汽车，自行车，则下列说法正确的是（　　） A.汽车做匀减速直线运动，自行车做匀加速直线运动 B.在t=20s时，此时两车相距最远 C.在t=22s时，汽车的位移为100m D.自行车不可能追上汽车 【变式2】百舸公司7路公交车是城区至教学园区的运营专线车，新建的宽阔大道上，公交车正以最高限速15m/s行驶，设公交车近似做匀减速直线运动进站，规定允许泊站60s。 （1）求公交车进站制动停车位移为90m时，则制动加速度的大小； （2）公交车以（1）中的加速度开始制动的同时被距泊站上客点40m远处的乘客发现，他立即以0.5m/s的速度匀速前进，则他是否能在公交车启动前赶上公交车. 题型4：避免相撞类问题 【例题4】某产业园内部货运铁路系统因调度失误，导致快慢不同的A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度；B车在后，速度。B车在距A车600m时发现A车，立即采取制动措施刹车。 （1）若B车以的加速度刹车，通过计算判断两车是否发生碰撞； （2）若要避免发生碰撞，B车刹车时的加速度至少应是多少. 【变式1】某天早晨朱老师开着小汽车去上班，小汽车以18m/s的速度直线行驶，通过某路段时，发现正前方浓雾中有一辆卡车，如图所示，此时卡车正以6m/s的速度同向匀速行驶，朱老师立即刹车减速，两车恰好没有追尾，该过程小汽车做匀减速直线运动，用时3s，则在这3s内（　　） A.小汽车的平均速度为9m/s B.小汽车运动的距离为27m C.小汽车加速度大小为6m/s2 D.刹车时小汽车离卡车18m 【变式2】一汽车停在小山坡底，某时刻，司机发现山坡上距坡底处的泥石流以的初速度、的加速度匀加速倾泻而下，假设泥石流到达坡底后速率不变，在水平地面上做匀速直线运动，司机从发现险情到发动汽车共用了，汽车启动后以恒定的加速度一直做匀加速直线运动，其过程简化为如下图所示，求： （1）泥石流到达坡底的时间和速度大小； （2）试通过计算说明：汽车的加速度至少多大才能脱离危险. 5、 巩固提升 1.雾霾天气对公路、铁路、航空、航运等均产生重要影响，雾、霾会造成空气质量下降，影响生态环境，给人体健康带来较大危害，在我国治理雾霾已刻不容缓，在一大雾天，一辆小汽车以30m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30m处有一辆大卡车以10m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵，如图所示，a、b分别为小汽车和大卡车的图像，以下说法正确的是（　　） A.因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾 B.因车速太快，刹车不失灵也会追尾 C.在时追尾 D.在时追尾 2.物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为=30m/s，A车在前、B车在后，两车相距110m，其传感器读数与时间的函数关系图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是（　　） A.=3s时两车间距离为25m B.0~9s内两车最近距离为20m C.3~9s内，A车与B车的加速度相同 D.0~9s内两车必能相遇一次 3.甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的图像如图所示。下列判断正确的是（     ） A.乙车启动时，甲车在其前方处 B.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为 C.乙车启动10s后正好追上甲车 D.乙车超过甲车后，两车不会再相遇 4.甲、乙两辆汽车在同一直线上运动，从t=0时刻起同时出发，甲做初速度为0的匀加速直线运动，x—t图像如图（a）所示。乙做刹车运动，整个运动过程的x—v2图像如图（b）所示。则下列说法不正确的是（　　） A.甲汽车的加速度大小为4m/s2 B.乙汽车的初速度 C.经过，甲追上乙 D.甲追上乙之前两车相距最远的距离为 5.甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其图像如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则下列说法正确的是（　　） A.在t=1s时，甲车在乙车后 B.在t=0时，甲车在乙车前 C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2s D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为30m 6.如图，甲、乙两名运动员在训练4×100m接力赛跑。已知甲、乙两运动员的起跑过程可看成加速度大小为2m/s2的匀加速运动且经加速后都能达到并保持的最大速度跑完全程。已知接力区的长度为，乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲乙相遇时完成交接棒，假设接棒动作不影响运动员的速度大小. （1）乙能否在接力区内达到最大速度； （2）为了取得最好成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在距离接力区前端多远时对乙发出起跑口令； （3）若接力区的长度只有，甲应在距离接力区前端多远处对乙发出起跑口令才能使他们取得最好成绩. 7.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶，它们的v-t图像如图所示，t=0时，乙在甲前方相距为x0处，回答下列问题： （1）甲和乙的加速度分别为多少； （2）若x0=0，甲和乙在2s末相距多远； （3）若x0=12m，甲和乙是否相遇，若相遇，甲和乙相遇时用时多少，若不相遇，甲停止时和乙的距离为多少； （4）若x0=3m，甲和乙能相遇几次，分别用时多少. 8.强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以10m/s和16m/s的速度在路面上匀速行驶，其中甲车车身长L1=5m、货车车身长L2=8m，某时货车在甲车前s=3m处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为2m/s2，假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度，求： （1）甲车超过货车之前经过多长时间与货车的距离达到最大； （2）甲车完成超车至少需要多长时间； （3）若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者车头相距208m，乙车速度为12m/s，甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车能否安全超车；若甲车恰好不能安全超车，则乙车至少以多大的加速度减速才能使甲车安全超车. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化—追及相遇问题 目 录 一、思维导图 - 1 - 二、学习目标 - 1 - 三、知识讲解 - 2 - （一）追及问题 - 2 - （二）追及分类 - 2 - （三）相遇问题 - 4 - （四）避免相撞类问题（临界值问题） - 4 - 四、题型分类 - 6 - 题型1：变速物体追匀速物体 - 6 - 题型2：变速物体追变速物体 - 7 - 题型3：匀速物体追变速物体 - 9 - 题型4：避免相撞类问题 - 10 - 一、思维导图 二、学习目标 1.识别追及相遇运动模型，理解追及、相遇、相距最远、相距最近物理含义； 2.会书写不同运动形式的位移表达式，利用位置关系列相遇方程； 3.掌握速度相等临界条件，会判断两物体距离极值； 4.熟练位移方程法、临界分析法、图像法三种解题手段； 5.重点规避刹车停止、解的合理性检验等高频易错点. 三、知识讲解 （一）追及问题 1.追及相遇问题的本质： 两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的本质是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。 2.解题关键： 抓住一个条件、两个关系。 (1)一个条件： 速度相等时临界条件，两物体是相距最远还是最近或是恰好追上。 (2)两个关系: ①时间关系（特别注意运动时间是否相等；同时出发或一先一后）； ②位移关系 (特别注意是同一地点出发，或是一前一后）。 3.解题思路 在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析． 分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件． 解题思路和方法： （二）追及分类 1.初速度小者追初速度大者 追及类型 图像描述 相关结论 匀加速追匀速 设 x0为开始时两物体间的距离，t0为速度大小相等的时刻，则应有下面结论∶ ①t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大; ②t=t0时，两物体相距最远，为x0＋△x; ③t=t0以后，后面物体与前面物体间距离先逐渐减小再逐渐增大; ④一定能追上且只能相遇一次 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 匀加速追匀速 2.初速度大者追初速度小者 追及类型 图像描述 相关结论 匀减速追匀速 设x0为开始时两物体间的距离，开始追赶时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻，则应有下面结论∶ ①若△x=x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件; ②若△x < x0，则不能追上，此时两物体间距离最小，为x0-△x; ③若△x > x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2=2t0-t1时刻两物体第二次相遇. 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 匀减速追匀减速 3.初速度不同的追及问题规律总结 初速度小者追初速度大者规律总结 实物图 (设经t0时间两物体速度相等) t＝t0以前(v2<v1) 两物体距离增大 t＝t0时(v1＝v2) 相距最远 t＝t0以后(v2>v1) 两物体距离减小 追及情况 只能追上一次 初速度大者追初速度小者规律总结 实物图 (设经时间t0两物体速度相等) t0时刻以前(v2>v1) 两物体距离减小(甲未追上乙时) t0时刻(v2＝v1)Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次 若Δx<x0，追不上，有最小距离 若Δx>x0，相遇两次 （三）相遇问题 第一类:同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题. 第二类:相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇. 解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量；然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了. 处理追及相遇问题的常用方法： 1.物理分析法：寻找问题中隐含的临界条件，对临界状态分析求解. 例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时距离最大；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时距离最小； 2.极值法：（函数法）：设相遇问题为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇2次，若Δ＝0，说明恰好追上或相遇；若Δ＜0，说明不能追上或相遇； 3.图像法：将两者的v－t图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解； 4.相对运动法：以其中一个物体为参考系，确定另一个物体的相对初速度和相对加速度，就把研究两个物体的运动问题，转化为研究一个物体的运动问题. （四）避免相撞类问题（临界值问题） 追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、追不上、两者相距有极值的临界条件。 1.速度大者减速（如：匀减速直线运动）追速度小者（如：匀速直线运动）： ①两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离； ②若速度相等时，有相同位移，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件； ③若位移相同时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，二者速度相等时，二者间距离有一个较大值. 2.速度小者加速（如：初速为零的匀加速直线运动）追速度大者（如：匀速直线运动）： ①当两者速度相等时，二者间有最大距离； ②当两者位移相等时，即后者追上前者. 四、题型分类 题型1：变速物体追匀速物体 【例题1】在平直的公路上，一辆小汽车前方处有一辆大客车正以54km/h的速度匀速前进，若小汽车从静止出发以2m/s2的加速度追赶。试求： （1）小汽车追上大客车时的速度； （2）追上前，小汽车和大客车之间的最大距离是多少. 【答案】（1）40m/s；（2）156.25m 【详解】（1）设小汽车经过t时间追上大客车，则满足 其中 代入数据解得，（舍去） 追上时小汽车的速度为 （2）当小汽车与大客车速度相等时相距最远，设此时小汽车已运动的时间为，则有 解得 两车的最大距离为 解得 【变式1】（多选）汽车沿水平车道以的速度向前做匀减速直线运动，其刹车的加速度大小，此时发现在相邻车道前方相距处有以的速度同向运动的汽车B匀速行驶，从此刻开始计时，经多长时间两车并排（即相遇）（　　 ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】两车相遇时满足 解得或者 时A车、B车第一次相遇，此时A车速度为 A车刹车时间为 故车停时车还未追上。第一次相遇后车运动位移为 则B车经秒追上。故下个时刻是 故选AD。 【变式2】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，但警车的行驶速度不能超过90km/h. （1）从警车发动开始计时，两车经过多长时间相距最远； （2）警车在追赶货车的过程中，两车相距的最远距离是多少； （3）警车能否在加速阶段追上货车.（请计算说明） 【答案】（1）4s；（2）75 m；（3）见解析 【解析】(1)当两车速度相等时，它们的距离最远，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等，则 (2) 4s内两车的位移分别为：x货=(t0+t1)×v货=(5. 5+4)×10 m=95 m， 所以两车间的最远距离：Δx=x货-x警=75 m （3）vm=90 km/h=25 m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间： x货1=(t0+t2)×v货=(5. 5+10)×10 m=155 m 因为x货1>x警1，故此时警车尚未追上货车 题型2：变速物体追变速物体 【例题2】甲、乙两车同时从同一地点出发，甲以16m/s的初速度，2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙以4m/s的初速度，1m/s2的加速度作匀加速直线运动。若甲、乙两车始终沿同一直线同一方向运动。求： （1）两车再次相遇的时间； （2）两车再次相遇前的最大距离. 【答案】（1）8s；（2）24m 【解析】（1）两车再次相遇位移相等有 甲的位移 乙的位移 联立解得 ，甲车刚好停车 （2）两车速度相等时间距最大 即 又 ， 联立解得 代入 得 由 得 两车间距 【变式1】甲、乙两物体在两地同时同向出发做匀加速直线运动，出发时甲的初速度为2 m/s，乙的初速度为1 m/s，运动时甲的加速度为2 m/s2，乙的加速度为4 m/s2，已知甲、乙在2 s时恰好相遇，下列说法正确的是(　　) A.从出发到相遇，甲的位移为6 m B.在2 s后，若甲、乙保持加速度不变，则会再次相遇 C.甲与乙出发地之间的距离为4 m D.相遇之前，甲与乙在t＝0.5 s时相距最远 【答案】D 【解析】由s＝v0t＋at2可得甲从出发到相遇的位移为8 m，A错误； 2 s相遇时甲的速度由v＝v0＋at可得v甲＝6 m/s，同理可得v乙＝9 m/s，又乙的加速度大于甲，可知2 s后乙的速度始终大于甲，不会再次相遇，B错误； 由s＝v0t＋at2可得从出发到相遇甲、乙的位移分别为s甲＝8 m，s乙＝10 m，则甲与乙出发地之间的距离为s乙－s甲＝2 m，C错误； 分析可知甲、乙速度相等的时刻相距最远，由v甲0＋a甲t＝v乙0＋a乙t，可得t＝0.5 s时甲、乙相距最远，D正确。 【变式2】甲、乙两车在同一平直公路上同向行驶，甲车在前，速度为10m/s，乙车在后，速度为15m/s。当两车相距64m且甲车距离停车线10m时，甲车司机突然发现前方斑马线处有行人，立即刹车做匀减速直线运动，并恰好停在停车线处，甲车停车等待4s后以的加速度启动。甲车开始刹车1s后，乙车以的加速度做匀减速直线运动，当看到甲车启动时才以的加速度做匀加速直线运动。司机的反应时间忽略不计。求： （1）甲车刹车时加速度的大小； （2）甲车启动时，两车之间的距离.    【答案】（1）；（2）9m；（3）4m 【详解】（1）甲车立即刹车做匀减速直线运动，并恰好停在停车线处，所以 解得 （2）甲车刹车时间为 乙车如果完全刹停所需要的时间为 所以乙先匀速运动1s，在匀减速运动5s，再开始匀加速。则在甲车启动前，乙的位移为 则甲车启动时，两车之间的距离为 题型3：匀速物体追变速物体 【例题3】为了迎接接力赛，甲、乙两同学在操场训练交接棒发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前=13.5m处作了标记，并以v=9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L=20m。求： （1）此次练习中乙在接棒前的加速度a大小； （2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设经过时间t，甲追上乙，则根据题意有=13.5m 将v=9m/s代入得到 由 解得=3m/s2 （2）在追上乙的时候，乙走的距离为s，则代入数据得到 所以乙离接力区末端的距离为=20-13.5=6.5m 【变式1】平直公路上，一辆自行车与同方向行驶的一辆汽车在t=0时同时经过某一个路标，它们的位移x随时间t变化的规律分别为：汽车，自行车，则下列说法正确的是（　　） A.汽车做匀减速直线运动，自行车做匀加速直线运动 B.在t=20s时，此时两车相距最远 C.在t=22s时，汽车的位移为100m D.自行车不可能追上汽车 【答案】C 【详解】A.根据汽车 可知v0=10m/s，a=-0.5m/s2 做匀减速直线运动，自行车，则乙做速度为v=4m/s的匀速直线运动，故A错误； B.汽车速度为 得t=12s 即在t=12s时两车速度相等，此时两车相距最远，故B错误； C.汽车刹车时间为 刹车距离为，故C正确； D.自行车一直做匀速直线运动，汽车t0=20s时，车已停止运动，故自行车最终追上汽车，故D错误。 故选C。 【变式2】百舸公司7路公交车是城区至教学园区的运营专线车，新建的宽阔大道上，公交车正以最高限速15m/s行驶，设公交车近似做匀减速直线运动进站，规定允许泊站60s。 （1）求公交车进站制动停车位移为90m时，则制动加速度的大小； （2）公交车以（1）中的加速度开始制动的同时被距泊站上客点40m远处的乘客发现，他立即以0.5m/s的速度匀速前进，则他是否能在公交车启动前赶上公交车。 【答案】（1）；（2）赶不上 【详解】（1）由运动学公式得 （2）公交车制动过程 ， 该乘客在公交车起动前赶不上公交车。 题型4：避免相撞类问题 【例题4】某产业园内部货运铁路系统因调度失误，导致快慢不同的A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度；B车在后，速度。B车在距A车600m时发现A车，立即采取制动措施刹车。 （1）若B车以的加速度刹车，通过计算判断两车是否发生碰撞； （2）若要避免发生碰撞，B车刹车时的加速度至少应是多少. 【答案】（1）两车发生碰撞；（2） 【详解】（1）若B车以的加速度刹车，当B车速度减小到等于A车速度时，所用时间为 该过程B车的位移为 A车的位移为 由于 可知两车发生碰撞。 （2）若要避免发生碰撞，设B车刹车时的加速度至少，当B车速度减小到等于A车速度时，所用时间为 该过程B车的位移为 A车的位移为 又 联立解得 【变式1】某天早晨朱老师开着小汽车去上班，小汽车以18m/s的速度直线行驶，通过某路段时，发现正前方浓雾中有一辆卡车，如图所示，此时卡车正以6m/s的速度同向匀速行驶，朱老师立即刹车减速，两车恰好没有追尾，该过程小汽车做匀减速直线运动，用时3s，则在这3s内（　　） A.小汽车的平均速度为9m/s B.小汽车运动的距离为27m C.小汽车加速度大小为6m/s2 D.刹车时小汽车离卡车18m 【答案】D 【详解】AB．设v1=18m/s，v2=6m/s，t=3s，两车恰好没有追尾，即两车速度相等时相遇，据匀减速的平均速度为 m/s 距离为 m，故AB错误； C．由加速度公式有 m/s2 即小汽车加速度大小为4 m/s2，故C错误； D．小汽车的位移为 m 刹车时小汽车离卡车 m，故D正确； 故选D。 【变式2】一汽车停在小山坡底，某时刻，司机发现山坡上距坡底处的泥石流以的初速度、的加速度匀加速倾泻而下，假设泥石流到达坡底后速率不变，在水平地面上做匀速直线运动，司机从发现险情到发动汽车共用了，汽车启动后以恒定的加速度一直做匀加速直线运动，其过程简化为如下图所示，求： （1）泥石流到达坡底的时间和速度大小； （2）试通过计算说明：汽车的加速度至少多大才能脱离危险. 【答案】(1)10s， (2) 【解析】（1）设泥石流到达坡底的时间为，速度为，根据位移时间公式和速度时间公式有 代入数据得 （2）泥石流在水平地面上做匀速直线运动，故汽车的速度加速至，且两者在水平地面的位移刚好相等就安全了，设汽车加速时间为t，故有 联立各式代入数据解得 5、 巩固提升 1.雾霾天气对公路、铁路、航空、航运等均产生重要影响，雾、霾会造成空气质量下降，影响生态环境，给人体健康带来较大危害，在我国治理雾霾已刻不容缓，在一大雾天，一辆小汽车以30m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30m处有一辆大卡车以10m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵，如图所示，a、b分别为小汽车和大卡车的图像，以下说法正确的是（　　） A.因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾 B.因车速太快，刹车不失灵也会追尾 C.在时追尾 D.在时追尾 【答案】D 【详解】ACD．从图像中可以得出小汽车刹车失灵前加速度为，刹车失灵后加速度为，假设能追尾，设追尾时间为t，则小汽车刹车失灵前的位移为 小汽车刹车失灵后的位移为 大卡车位移为 由 解得 则假设成立，故AC错误，D正确； B．如果刹车不失灵，则在时两车速度相同，此时小汽车的位移为 大卡车的位移为 且 故这时没有追尾，以后两车间距会越来越大，更不会追尾，故B错误。 故选D。 2.物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为=30m/s，A车在前、B车在后，两车相距110m，其传感器读数与时间的函数关系图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是（　　） A.=3s时两车间距离为25m B.0~9s内两车最近距离为20m C.3~9s内，A车与B车的加速度相同 D.0~9s内两车必能相遇一次 【答案】B 【详解】A．在内A车做加速度为的减速运动，因图像的面积等于速度的变化量，可知经过，A的速度减为零，A车的位移 B车的位移 即时两车间距离为，故A错误。 B．两车速度相等时相距最近，则在内在时两车速度相等，此时两车的速度均为，则内A车的位移 B车的位移 此时两车最近距离为，故B正确。 C．内，A车的加速度大小，B车的加速度大小 可知两车加速度大小相等，方向相反，故C错误。 D．在时B车在A车后距离A车最近，以后A车速度大于B车，两车距离逐渐变大，可知内两车不可能相遇一次，故D错误。 故选B。 3.甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的图像如图所示。下列判断正确的是（     ） A.乙车启动时，甲车在其前方处 B.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为 C.乙车启动10s后正好追上甲车 D.乙车超过甲车后，两车不会再相遇 【答案】D 【详解】A．由图像与时间轴围成的面积表示位移可知，乙车启动时（），甲车的位移为 乙车的位移为，即甲车在乙车前方处，故A错误； B．当两车速度相等时，乙车落后甲车的距离最大，由图可知时两车速度相等，此时甲车的位移为 乙车的位移为 最大距离为，故B错误； C．乙车启动后，即时，甲车的位移为 乙车的位移为，乙车未追上甲车，故C错误； D．乙车超过甲车后，乙车的速度始终大于甲车的速度，两车不会再相遇，故D正确。 故选D。 4.甲、乙两辆汽车在同一直线上运动，从t=0时刻起同时出发，甲做初速度为0的匀加速直线运动，x—t图像如图（a）所示。乙做刹车运动，整个运动过程的x—v2图像如图（b）所示。则下列说法不正确的是（　　） A.甲汽车的加速度大小为4m/s2 B.乙汽车的初速度 C.经过，甲追上乙 D.甲追上乙之前两车相距最远的距离为 【答案】C 【详解】A．甲初速度为零，取运动方向为正，由匀变速直线运动位移公式得 由图像知时，所以 由图像知时，所以 联立得，故A正确； B．乙刹车过程为匀变速直线运动，由速度与位移关系得 由图像读出乙开始刹车时停车时，；时， 代入上式得 解得，由图可知， 所以，故B正确； C．乙的停车时刻由匀变速直线运动速度公式确定，代入停车条件得 解得乙在时停在处。由中同一位移方程及，，甲的位置为 乙停车后保持在处，甲追上乙需满足 解得，故C错误； D．在乙停车前，两车的位置分别为和 两车间距为 由匀变速直线运动速度公式得，，两车相距最远时相对速度为零，因此 得，小于乙的停车时刻，代入间距方程得，故D正确。 故选C。 5.甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其图像如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则下列说法正确的是（　　） A.在t=1s时，甲车在乙车后 B.在t=0时，甲车在乙车前 C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2s D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为30m 【答案】B 【详解】B．由题中图像得， 两车在t=3s时并排行驶，此时， 所以t=0时甲车在前，故B正确； AC．t=0时甲车距乙车的距离为 t=1s时， 由于 所以另一次并排行驶的时刻为t=1s，故AC错误； D．两次并排行驶的位置沿公路方向相距，故D错误。 故选B。 6.如图，甲、乙两名运动员在训练4×100m接力赛跑。已知甲、乙两运动员的起跑过程可看成加速度大小为2m/s2的匀加速运动且经加速后都能达到并保持的最大速度跑完全程。已知接力区的长度为，乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲乙相遇时完成交接棒，假设接棒动作不影响运动员的速度大小. （1）乙能否在接力区内达到最大速度； （2）为了取得最好成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在距离接力区前端多远时对乙发出起跑口令； （3）若接力区的长度只有，甲应在距离接力区前端多远处对乙发出起跑口令才能使他们取得最好成绩. 【答案】（1）能；（2）16m；（3）15m 【详解】（1）设乙起跑后一直以2m/s2做匀加速直线跑完接力区共18m解得则乙能在接力区内达到最大速度；（2）乙从起跑到加速至最大速度时间为，则这段时间内乙的位移故乙起跑时，与甲的距离为即甲应在距离接力区前端16m处对乙发出起跑口令，这种情况之下，接力棒随甲运动员从静止开始加速至最大速度后，保持做匀速运动，这样才能取得最好成绩。（3）由于，故不可能在乙达到最大速度时完成接棒。为取得最好成绩，应在接力区末端即乙跑出时完成交接棒，设乙此时的速度为，由代入数据解得则此时乙所用时间为故乙起跑时，与甲的距离为即甲应在距离接力区前端15m处对已发出起跑口令，接棒后，乙继续加速至最大速度，保持做匀速运动，这样才能取得此种情况下的最好成绩。 7.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶，它们的v-t图像如图所示，t=0时，乙在甲前方相距为x0处，回答下列问题： （1）甲和乙的加速度分别为多少； （2）若x0=0，甲和乙在2s末相距多远； （3）若x0=12m，甲和乙是否相遇，若相遇，甲和乙相遇时用时多少，若不相遇，甲停止时和乙的距离为多少； （4）若x0=3m，甲和乙能相遇几次，分别用时多少. 【答案】（1）-2m/s2；1m/s2；（2）6m；（3）不相遇；12m；（4）相遇2次，分别用时0.59s和3.41s 【详解】（1）甲和乙的加速度分别为（2）由图可知，若x0=0，甲和乙在2s末相距（3）若x0=12m，若甲和乙能相遇，则解得1.5t2-6t+12=0该式子无实数解，可知甲乙不能相遇；当甲停止时时间，此时甲的位移乙的位移此时甲乙距离仍为12m。（4）若x0=3m，若甲和乙能相遇，则带入数据t2-4t+2=0解得即甲和乙能相遇2次，分别用时0.59s和3.41s。 8.强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以10m/s和16m/s的速度在路面上匀速行驶，其中甲车车身长L1=5m、货车车身长L2=8m，某时货车在甲车前s=3m处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为2m/s2，假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度，求： （1）甲车超过货车之前经过多长时间与货车的距离达到最大； （2）甲车完成超车至少需要多长时间； （3）若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者车头相距208m，乙车速度为12m/s，甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车能否安全超车；若甲车恰好不能安全超车，则乙车至少以多大的加速度减速才能使甲车安全超车. 【答案】（1）3s；（2）8s；（3）1m/s2 【解析】 【详解】（1）两车距离达到最大时应满足条件是 设所需时间为，由 解得 （2）设甲经过时间刚好完成超车，在时间内甲车的位移为 货车的位移为 超车时两车的距离关系为 联立上式，代入数据解得 （3）在最短8s内甲车的位移为 乙车的位移为 由于 故不能安全超车。 要使甲车安全超车，乙车的位移至多为 设乙车减速到，则由 解得 则乙车的加速度至少为 即乙车至少以大小为1m/s2的加速度减速才能使甲车安全超车。 1 学科网（北京）股份有限公司 $