25.3实际问题与一元二次方程（第3课时 单循环与双循环赛问题探究）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

25.3实际问题与一元二次方程

（第3课时 单循环与双循环赛问题探究）（教学设计）

1.教学内容

本节课时是人教版2024版九年级上册第二十五章《一元二次方程》第三节《实际问题与一元二次方程》第3课时单循环比赛问题.本节课承接前两课时数字面积、病毒传播与变化率模型，聚焦两两组合无重复的计数类实际问题.核心内容包括：理解单循环赛制的比赛规则、推导单循环比赛总场数通用公式、利用一元二次方程解决球赛、握手、互赠卡片等同模型实际问题。课堂持续落实“审、设、列、解、验、答”六步解题规范，重点结合队伍人数、比赛场数为正整数的实际意义取舍方程根，完善一元二次方程组合计数类建模体系.

2.内容解析

本节课是一元二次方程实际应用的收官基础课时，是中考应用题经典必考题型.前两课时分别覆盖静态等量关系、动态变化关系，本节课聚焦组合计数关系，填补了方程建模中“两两组合计数”的知识空白，形成完整的一元二次方程应用模型体系.同时，本节课的组合公式推导思维，为高中排列组合知识做好铺垫，兼具承上启下的重要作用.本节课题型模型唯一、规律极强，核心逻辑为任意两个对象只发生一次组合、无重复、无遗漏.区别于传播问题的裂变增长、变化率的比例增减，单循环问题本质是组合计数问题，数量关系固定，可实现公式化建模，题型变式统一（球赛、握手、互通电话），易于学生归纳掌握、举一反三.通过体育赛事、社交互动等生活化情境建模，培养学生数学建模、逻辑推理、数据分析核心素养；在公式自主推导、变式辨析中，培养学生归纳总结、严谨求实的学习品质，体会数学模型在生活计数问题中的普适性.

基于以上分析，本节课的教学重点为：理解单循环赛制规则，推导并掌握单循环比赛总场数公式；利用单循环通用模型建立一元二次方程，解决球赛、握手等同类实际问题.

1. 教学目标

（1）理解单循环赛制的比赛规则，自主推导并掌握单循环总场数公式；能识别球赛、握手、互通电话等同模型问题，熟练建立一元二次方程求解；能根据实际意义检验根的合理性，舍去非正整数、不合理的根，规范解题步骤.

（2）经历“情境感知→手动枚举→规律推导→模型归纳→变式应用”的探究过程，掌握组合计数类问题的建模方法，提升从生活情境中提炼数学规律、抽象数量模型的能力.

（3）感受数学与体育、生活的紧密联系，体会数学的工具性价值；在自主探究与合作交流中，增强探究意识与学习自信心，养成严谨规范的解题习惯.

2.目标解析

目标1精准落实教材单循环核心模型，区分单循环与双循环问题差异，掌握组合计数类一元二次方程应用的专属等量关系，完善前三课时所有方程应用模型体系，夯实中考基础考点.

目标2突破学生“死记公式、不懂原理、混淆循环类型”的短板，实现从机械套用到理解推导、灵活变式的能力提升，熟练掌握计数类应用题的验根技巧与解题规范.

目标3渗透模型思想、归纳推理思想、数形结合思想，通过枚举特例推导通用规律，培养学生从特殊到一般的数学思维，契合新课标核心素养培养要求.

学生已熟练掌握一元二次方程解法，经历前两课时建模训练，熟练掌握应用题六步解题法，具备一定的数学建模和规律探究能力，对生活化应用题接受度较高.学生容易凭直觉计数，无法理解单循环公式的推导原理，多依赖死记硬背；极易混淆单循环（不重复）与双循环（重复）模型，是本节课最大易错点；同时习惯性忽略计数类问题“结果必须为正整数”的验根要求.球赛、握手情境贴近学生生活，趣味性强，学生探究积极性高；从具体枚举到抽象公式的梯度学习，符合九年级学生由具象到抽象的认知规律，易于突破难点.

基于以上分析，本节课的教学难点确定为： 理解单循环公式的推导逻辑，明白公式中“x-1”和“”的实际意义； 区分单循环与双循环问题，规避两类模型公式混用错误；结合队伍数、人数为正整数的条件，精准取舍方程的实数根.

创设情景，引入新课

情境：学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为21场，求一共有多少个班级参赛？

师生活动：

1. 教师通俗解读单循环规则：任意两队只赛一场，不重复、不主客场双赛；

2. 抛出疑问：若有3支队伍、4支队伍，分别需要比赛多少场？引导学生手动枚举计数；

3. 学生枚举：3队比赛3场，4队比赛6场，发现无法逐一枚举多队伍场次，引出公式推导的必要性。

(设计意图：以学生熟悉的校园球赛情境导入，直观解读单循环核心规则，通过少量队伍枚举，让学生初步感知数量规律，制造多队伍计数的认知冲突，激发探究欲望，为公式推导铺垫具象基础.）

探究点1  自主探究，探究模型

活动1：参加比赛有几支队伍？

设有x支队伍参赛，遵循单循环赛制.

追问1. 每一支队伍需要和除自身外的多少支队伍比赛？（x-1支）

追问2. 所有队伍累计的总比赛次数（含重复）是多少？（x(x-1)场）

追问3. 单循环每两队只赛一场，存在重复计数，需要如何修正？（除以2去重）

师生归纳总结：

总场数=总配对次数÷2，得出单循环通用公式：总场数=x(x-1)

规范解题：结合导入情境列方程

解：设共有x个班级参赛，根据题意得：

x(x-1)=21

整理得：x-x-42=0

解得：，

根据班级数量为正整数，舍去x=-6

答：一共有7个班级参赛.

（设计意图：分层设问引导学生自主拆解公式构成让学生理解“x-1是每队对手数、除以2是去除重复场次”的核心原理，从根源理解公式、杜绝死记硬背，突破本节课教学难点，落实核心重点.)

探究点2  模型归类，同类迁移

活动2：归纳同模型题型

学生交流讨论：所有两两发生一次互动、无重复的问题均适用单循环公式，如：

1. 体育单循环球赛、棋类比赛；

2. 多人两两握手、两两拥抱；

3. 多人之间互通一次电话；等等.

教师提醒：题目出现“只一次、两两一场、不重复”为单循环；“主客场、互赠、双向互动”为双循环.

及时巩固：某次座谈会结束后，在场所有人两两握手一次，统计总握手次数为45次，求参会总人数？

学生独立识别单循环模型，套用公式列方程求解，规范验根作答，教师巡视纠错.

（设计意图：完成单一题型到通用模型的迁移，帮助学生建立题型识别思维，实现举一反三，为后续拓展变式训练奠定基础.)

典型例题

例１·九年级江门市新会区会城创新初级中学校考期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？

【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设有人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次，设出未知数列方程解答即可．

【详解】解：设有 人参加聚会，根据题意列方程得，，

解得 (不合题意，舍去)；

答：有 人参加聚会．

例2．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛．

(1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？

(2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？

【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，

（1）设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意列出方程，即可解答；

（2）设至少需要天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答；

解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．

【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，

根据题意可得，

解得（舍去），

故比赛组织者应计划邀请8个队参赛；