29.1.2 过三点的圆-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“过三点的圆”展开，核心知识点包括确定圆的条件、三角形外接圆与外心概念及位置规律。课堂通过对折圆形纸片探究轴对称性，逐步引导学生从过一点、两点作圆过渡到不在同一直线上三点确定圆，搭建连贯的知识支架。 其亮点在于采用探究式教学，如让学生动手作圆、复原破损圆盘，培养几何直观与空间观念。练习分层设计，结合直角三角形外接圆半径计算等实例，渗透推理意识与应用意识。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建体系，教师使用可提升教学效率，学生能逐步发展数学思维与创新意识。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十九章 圆 29.1.2 过三点的圆 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/5 29.1.2 过三点的圆 专项练习 核心知识点梳理：1. 过一点可作无数个圆，过两点可作无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；2. 不在同一直线上的三点确定一个圆，共线三点无法确定圆；3. 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆，外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等；4. 直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径为斜边的一半；锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列命题属于真命题的是（） A. 三点确定一个圆 B. 任意四边形都有外接圆 C. 不在同一直线上的三点确定一个圆 D. 过三点最多可作两个圆 2. 平面内有A、B、C三点，AB=3，BC=3，AC=6，则过这三点的圆的个数为（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，其外接圆半径为（） A. 6.5 B. 13 C. 5 D. 12 4. 三角形的外心是（） A. 三条角平分线交点 B. 三条中线交点 C. 三边垂直平分线交点 D. 三条高的交点 5. 下列三角形中，外心在三角形外部的是（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 过平面内一点能作______个圆，过平面内两点能作______个圆。 7. 已知△ABC的三边垂直平分线交于点O，则OA、OB、OC的数量关系是______。 8. 等腰Rt△ABC中，斜边AB=8，则其外接圆的面积为______。 9. 若A、B、C三点共线，则这三点______（填“能”或“不能”）确定一个圆。 10. 锐角三角形的外心在三角形______，直角三角形的外心在______。 三、中档解答题（每题15分，共30分） 11. 已知平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(2,0)、C(2,2)，求证：A、B、C三点可以确定一个圆，并求出该圆的半径。 12. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径。 四、拔高压轴题（30分） 13. 已知四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上。 参考答案与详细解析 1. C 解析：只有不共线三点才能确定一个圆，共线三点无法画圆，任意四边形不一定有外接圆。 2. A 解析：AB+BC=AC，三点共线，无法确定圆。 3. A 解析：由勾股定理得斜边=13，直角三角形外接圆半径=斜边÷2=6.5。 4. C 解析：外心定义为三角形三边垂直平分线的交点。 5. B 解析：锐角三角形外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部。 6. 无数；无数 解析：过一点圆心、半径均可任意；过两点圆心在连线垂直平分线上，半径可变。 7. OA=OB=OC 解析：外心到三角形三个顶点距离相等。 8. 16π 解析：斜边为外接圆直径，半径4，面积=πr²=16π。 9. 不能 解析：共线三点无法确定唯一圆。 10. 内部；斜边中点 11. 解析：三点坐标无共线情况，可确定圆。△ABC为直角三角形，直角顶点C，斜边AB为直径，AB=$$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$$，半径=$$\sqrt{2}$$。 12. 解析：过A作AD⊥BC于D，BD=6，AD=8。设外接圆圆心为O，半径为R，OD=8-R，OB=R，由勾股定理：$$R^2=6^2+(8-R)^2$$，解得R=6.25。 13. 解析：连接BD，∵∠A=∠C=90°，∴△ABD、△BCD均为直角三角形，斜边均为BD。两直角三角形外接圆圆心均为BD中点，半径为BD一半，故四点共圆。 练习总结：本节核心难点是区分共线与不共线三点的差异，掌握三角形外心的位置规律与外接圆半径计算，尤其熟练运用直角三角形外接圆的特殊性质，四点共圆问题可依托直角三角形外接圆性质推导，是中考高频基础考点。（字数：1236） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握作图方法. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 了解反证法的证明思想. 推进新课 什么是轴对称图形？ 我们学过哪些轴对称图形？ 回 顾 知识点1 圆的轴对称性 情境导入 3 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形． 线段 角 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正方形 圆 情境导入 　用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 探究 情境导入 探究 (1) 经过一个点 A 能不能作圆？如果能，这样的圆能作出多少个？ · · · · · A 经过一个点 A 作圆，只要以点 A 以外任意一点为圆心，以这一点与点 A 的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个. 思考：作圆的关键是什么？要确定什么？ 作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小. 对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作圆的问题又转化为确定圆心的问题. 探究新知 探究 (2) 经过两个点 A，B 能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？ · · · · A B 经过两个点 A，B 作圆，由于所作圆的圆心到 A，B 两点的距离相等，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个. 探究新知 探究 (3) 经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ D E G F A B C O 经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 作圆，因为所作的圆要经过 A，B，C 三点，其圆心应满足到这三个点的距离都相等， 所以所作圆的圆心既要在线段 AB 的垂直平分线上，又要在线段 BC 的垂直平分线上， 所作圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点. 探究新知 探究 (3) 经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ D E G F A B C O 由作法可知，线段 AB，BC 的垂直平分线有且只有一个交点，所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径也是确定的. 因此，经过 A，B，C 三点可以作一个并且只可以作一个圆. 探究新知 知识点1 确定圆的条件 1.下列条件中，不一定能确定一个圆的是( ) C A.圆心和半径 B.直径和圆心 C.平面上的三个点 D.三角形的三个顶点 返回 举一反三 10 （第2题） 2.如图，点，，均在直线上，点在直线 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个 数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 返回 举一反三 11 3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如 图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块 碎片应该是____.（填序号） ① （第3题） 返回 举一反三 12 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 不能忽略这个前提条件 有且只有 探究新知 如图，在平面直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点 A,B,C，已知点A的坐标是(-3，5)，则该圆弧所在圆的圆心 P 的坐标是____________. 解析：连接AB，BC，线段AB，BC 的垂直平分线的交点即为圆心P，如图所示，观察图形可知点P恰好为正方形网格的格点，点P的坐标是(-1，0). 例1 (-1 , 0) P 探究新知 确定圆心的基本方法 一找点：在圆弧上任意找三点. 二作弦：任意连接其中两点作弦，共作两条弦. 三定圆心：分别作这两条弦的垂直平分线，它们的交点就是这段圆弧所在圆的圆心. 探究新知 你知道如何将一个如图所示的破损的圆盘复原吗？ 解：修复方法： （1）在圆弧上任取三点A，B，C; （2）作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即为圆心; （3）以点O为圆心，OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. A B C O 跟踪训练 探究新知 D E G F A B C O 注意： 根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，任意三角形有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 探究新知 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形的内部. 外心是直角三角形斜边的中点. 外心在三角形的外部. 联系 外心在三角形的内部 ⇔三角形为锐角三角形. 外心在三角形最长边中点处⇔三角形为直角三角形. 外心在三角形的外部 ⇔三角形为钝角三角形. 三角形外心的位置 探究新知 如图，在△ABC 中，AB=AC =13 cm，BC =10 cm， 求△ABC 外接圆半径的长度. 例2 解：如图，∵ 在 △ABC 中，AB=AC=13 cm， ∴ 过 A 作 ADBC 于点 D，AD 所在直线即为 BC 的垂直平分线. 作 AB 的垂直平分线 l 交 AD 于点 O，以点 O 为圆心，OA 长为半径作 ⊙O，⊙O 即为 △ABC 的外接圆. 连接 OB，设 OA=OB=R cm. 由作图可知，BDBC10=5 (cm). 在  中，由勾股定理，得 AD=12 (cm), ∴ OD=AD-OA=(12-R) cm. 在 △OBD 中，由勾股定理，得 即 ，解得 R. ∴ △ABC 的外接圆半径的长度为 . 探究新知 知识点2 三角形的外接圆和外心 4.下列说法中，正确的是( ) D A.一个三角形有无数个外接圆 B.钝角三角形的外心在三角形内部 C.三角形的外心是到三角形三边的距离相等的点 D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 返回 举一反三 20 5.如图，，是的直径，是 上的一点， 连接，下列三角形中，外心是点 的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 21 6.在中， ，，，则 外接圆的半 径为( ) C A.3 B.4 C.5 D.不确定 返回 举一反三 22 7.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 ， ，，，，， 均在小正方形的顶点上，则 的外心是( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 返回 举一反三 23 8.［教材P 118练习T 2变式］如图，在中， . （1）求作：的外接圆，圆心为 .（要求：尺规作图，保留作图 痕迹，不写作法） 举一反三 24 解：如图. 举一反三 25 （2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则 的半径长为___. 5 返回 举一反三 26 知识点3 反证法 9.用反证法证明时，假设结论“点在圆内”不成立，那么点与圆的位置关 系只能是( ) D A.点在圆外 B.点在圆上 C.点在圆心上 D.点在圆上或圆外 返回 举一反三 27 10.请将下面用反证法进行证明的过程补全. 已知：在中，.求证： . 证明：假设__________. ， ， . 这与__________________相矛盾. __________不成立， . 三角形内角和定理 返回 举一反三 28 过三点的圆 确定圆的条件 三角形的外接圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形. 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $