16.3 乘法公式 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过复习平方差公式内容及应用要点，结合多项式乘法特殊情况分析，搭建“平方差公式—完全平方公式”的知识支架，引导学生自然过渡到新知学习。 其亮点在于以正方形实验田面积情境引入，结合图形面积验证公式，渗透几何直观；通过合作探究计算多项式积发现规律，培养推理意识；典例与巩固练习涵盖数字、单项式等多种形式，强化运算能力。学生能深化公式理解，教师可提升教学效率。

16.3.2 完全平方公式 （第1课时 完全平方公式） 第十六章 整式的乘法 人教版八年级上册 符号语言 (a+b)(a−b)=a2−b2. 文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这 两个数(式子)的平方差． 问题1 上一节课，我们学习了多项式乘法的特殊形式：(a+b)(a−b)，得到了平方差公式，你能说一说平方差公式的内容吗？ 复习引入 问题2 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： 1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项 ， 另一项 ； 2.右边是 的平方减去 的平方； 3.公式中的a和b可以是 ，也可以是 或 ． 相同 相反 相同项 相反项 数字 单项式 多项式 复习引入 (1) (x+3)(x−3) (2) (1+2a)(−2a+1) (3) (x+4y)(x−4y) (4) (−5z+y) (y+5z) =x2−9 ; =1−4a2 ; =x2−16y2 ; =y2−25z2 . =x2−32 =12−(2a)2 =x2−(4y)2 =y2−(5z)2 计算下列各题: 平方差公式(a+b)(a−b)= a2−b2. 多项式乘法的特殊化——以(a+b)(p+q)为例： (a+b)(p+q) (a+b)(a+q) 一项相同 一项相反 (a+b)(p−b) 一项相同 一项相反 (a+b)(a−b) 两项相同 (a+b)(a+b) (a+b)(−a−b) 两项相反 平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2. 复习引入 二、经历探索完全平方公式的过程，感受从特殊到一般和数形结合的思想，发展符号意识和几何直观观念. 一、理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，能利用完全平方公式进行简单的计算和推理. 学 习 目 标 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. b a a b 直接求： 间接求： 你发现了什么？ a2 ab ab b2 （a+b)2=a2+2ab+b2 总面积=（a+b)(a+b) 总面积= a2+2ab+b2 情景引入 探究　计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2 = (p+1)(p+1) = . （2） （m+2)2 = (m+2)(m+2)= . （3） （p−1)2 = (p−1)(p−1) = . （4） （m−2)2 = (m−2)(m−2)= . 都是形如(a±b)2的多项式相乘. p2+2p+1 m2+4m+4 p2-2p+1 追问1　四个等式的左侧有什么共同特征？ 追问2　四个等式的右侧有什么共同特征？ 都是两项的平方和(a2+b2)加上(或减去)两项乘积的二倍(2ab). 你能用符号语言描述这个规律吗？ (a±b)2=a2±2ab+b2. m2-4m+4 合作探究 证明 (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 . 问题3 你能证明(a±b)2=a2±2ab+b2吗？ 文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的平方，等于它们的平方和， 加上 (或减去)它们的积的2倍． 证明 (a−b)2=(a−b)(a−b) =a2−ab−ab+b2 =a2−2ab+b2 . 你能用文字语言描述这个规律吗？ 合 作 探 究 （乘法的）完 全 平 方 公 式 文字语言 ：两个数(式子)的和 (或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (a+b)2=a2+2ab+b2. (a−b)2=a2−2ab+b2. 归 纳 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式. 知识要点 完全平方公式 （a+b)2= . （a-b)2= . a2 +b2 a2 +b2 “首平方，尾平方，积的2倍放中央,符号看前方” +2ab -2ab 平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2. 思考 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？ (a+b)2 a2+2ab+b2 = 合作探究 思考 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？ (a−b)2 a2−2ab+b2 = 合作探究 ( 4m + n )2=( )2+( )+( )2. ( a + b )2= a 2 + 2ab + b 2 . 8mn n 4m 典 例 分 析 解： y y 典 例 分 析 确定 首项 确定 尾项 尾项平方 首项平方 首项尾项 积的两倍 解 (1)原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2 =16m2+8mn+n2； 典例分析 解 (1)原式=(100+2)2 =(100)2+2×100×2+22 =10 000+400+4 =10 404 ； 例4 运用完全平方公式计算： (1) 1022； (2) 992. 两数之和的平方 典例分析 解 (2)原式=(100−1)2 =(100)2−2×100×1+12 =10 000−200+1 =9 801 . 例4 运用完全平方公式计算： (1) 1022； (2) 992. 两数之差的平方 典例分析 方法总结 应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： （1）积为二次三项式； （2）积中两项为两数(式子)的平方和； （3）另一项是两数(式子)积的2倍，且与乘式中间的符号相同； （4）公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式. 总 结 思考 1. (a+b)2与(−a−b)2相等吗? 相等， 因为(−a−b)2=(−a)2+2·(−a)·(−b)+(−b)2=a2+2ab+b2=(a+b)2. 2. (a−b)2与(b−a)2相等吗? 相等， 因为(b−a)2=b2−2ba+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2. 3.(a−b)2与 a2−b2相等吗? 不相等， 因为(a−b)2=a2−2ab+b2≠a2−b2. 差的平方 平方差 1. 下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1) (a+b)2=a2+b2； (2) (a−b)2=a2−ab+b2； (3) (−x +y)2 =x2+2xy +y2； (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2. 不正确 不正确 原式=a2+2ab+b2 原式=a2−2ab+b2 不正确 不正确 原式=x2−2xy +y2 原式=4x2 +4xy +y2 巩固练习 2. 下列计算结果为2ab−a2−b2的是( ) A．(a−b)2 B．(−a−b)2 C．−(a＋b)2 D．−(a−b)2 D 巩固练习 巩固练习 解 (1)原式=(100−2)2 =(100)2−2×100×2+22 =10 000−400+4 =9 604 ； 4. 运用完全平方公式计算： (1) 982 ； (2) 70.52 . (2)原式=(70+0.5)2 =(70)2+2×70×0.5+0.52 =4 900+70+0.25 =4 970.25 . 巩固练习 整式的乘法公式——完全平方公式 符号语言 (a±b)2= . 文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的 ，等于它们的 ，加上(或减去)它们的 ． 注意事项 公式中的a和b可以是 ，也可以是 或 ． a2±2ab+b2 平方 平方和 积的2倍 数字 单项式 多项式 归纳总结 m(a+b+c)=ma+mb+mc a2-b2 a2±2ab+b2 am÷an=am-n 整式的除法 $