16-3乘法公式 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦乘法公式中的平方差公式和完全平方公式，通过计算实例、问题引导及几何面积演示导入，从具体运算到观察归纳再到公式推导，搭建学习支架帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于结合几何直观与代数推理，如用阴影面积说明平方差公式、正方形实验田推导完全平方公式，通过实例剖析和变形应用培养学生推理意识与运算能力，公式总结有简记口诀和对比归纳，助力学生用数学语言表达，既提升学生学习兴趣和能力，也为教师提供系统教学资源。

乘法公式 模块一： 平方差公式 计算 (1)(x+1)(x-1)=_______； (2)(m+2)(m-2)=______； (3)(2x+1)(2x-1)=_______. x2-1 m2-4 4x2-1 用自己的语言叙述你的发现。 1、观察等式左边的两个二项式有什么特点？ 2、观察等式右边的多项式,你发现了什么？ 计算：(a+b)(a-b) =a2-ab+ab-b2 =a2-b2 思考：你能用文字语言表达以上式子吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2 理解公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 特征结构 (1)公式左边是：相同两数的和与差的积 有两项符号相同(相同项)、有两项符号相反(相反项) (2)公式右边是：这两个数的平方差； (3)公式中的a和b可以代表数，也可以是式子 运用公式的关键 先确定相同项和相反项 根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？ 分析：(1) 左图中阴影部分的面积为_______； (2) 将阴影部分拼成右图的一个长方形，这个长方形的长是______，宽是______，面积___________. a2-b2 a+b a-b (a+b)(a-b) 例1.计算： (1) (3x+2)(3x-2) (2) (-x+2y)(-x-2y) (a +b)(a -b)=a2-b2 分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成 b，即 (3x+2)(3x-2)=(3x)2-22 解：(1) (3x+2)(3x-2) =(3x)2-22= 9x2-4 (2) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2= x2-4y2 运用平方差公式计算： (4a1)(4a1)． 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式． 法一 利用加法交换律， 变成公式标准形式。 (4a−1)(4a−1) = =(1)2 −(4a)2 = 1−16a2 提取两“−”号中的“−”号,变成公式标准形式。 法二 (4a−1)(4a−1) 计算时千万别忘了你提出的“”号、添括号； 注意 =[ ] = 1−16a2 =-(4a+1) (4a−1) ( 4a−1 ) ( 4a −1 ) −1 −4a −1 +4a 例2.计算： (1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (2) 102×98 解：(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1 (2) 102×98 =(100+2)×(100-2) =1002-22 =10000-4 =9996 1．下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是(　　) A．(－2m＋n)(－2m－n) B． C．(x＋2y－1)(x＋2y＋1) D．(a－b)(－a＋b) 2.下列计算错误的是(　　) A．(6a＋1)(6a－1)＝36a2－1 B．(a3－8)(－a3＋8)＝a9－64 C．(－m－n)(m－n)＝n2－m2 D．(－a2＋1)(－a2－1)＝a4－1 D B 3．已知 x+y-3=0，，则______，x－y的值为______. 4．已知，，则______. 5．在平面直角坐标系中，已知A(﹣a，8)，B(﹣11，b)关于y轴对称，其中x＝a+b，y＝2，则式子(x+2y﹣3)(x﹣2y+3)的值为_____． 27 -4 6 8 解：把b－c＝2，a＋c＝14相加，得a＋b＝16. 所以a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32. 6．(1)已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值． (2)已知2a2＋3a－6＝0，求式子3a(2a＋1)－(2a＋1)·(2a－1)的值． 解：原式＝6a2＋3a－4a2＋1＝2a2＋3a＋1. 因为2a2＋3a－6＝0， 所以2a2＋3a＝6. 所以原式＝2a2＋3a＋1＝6＋1＝7. 7.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的 整数倍． 解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10. ∵(10n2－10)÷10=n2-1， n为正整数， ∴n2-1为整数. 平方差公式 内 容 注 意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 字母表示：（a+b)(a-b)=a2-b2 应用时，紧紧抓住 “一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 模块二： 完全平方公式 一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种. 你能用不同的方法表示试验田的总面积吗？ ①总面积=(a+b)2 ②总面积=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 ab b2 a2 ab 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 (4) (m－2)2= . 计算下列各式： (1) (p＋1)2= 　　 ; p2 ＋2p＋ 1 (2) (m＋2)2= ; (3) (p－1)2= ; m2 ＋4m＋ 4 m2 －4m＋ 4 p2 －2p＋ 1 （2）(m+2)2=m2+4m+4； （1）(p+1)2=p2+2p+1； 你能用字母表示出你发现的规律吗？ (a+b)2=a2+2ab+b2. 2×p×1 2×m×2 （4）(m-2)2=m2-4m+4. （3）(p-1)2=p2-2p+1； 你能用字母表示出你发现的规律吗？ (a-b)2=a2-2ab+b2. -2×p×1 -2×m×2 (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央” 完全平方公式 注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式. 公式特征： 公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式. 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 例1.运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 (2) 解：(1)(4m+n)2 =(4m)2+2•(4m)•n+n2 =16m2+8mn+n2 解：(2) =y2-2•y•+()2 =y2-y+ (1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 992. 992 =9801. 例2 运用完全平方公式计算： =10000 -200+1 = (100 –1)2 通过合理变形， 利用完全平方公式， 可以简化运算. 运用完全平方公式进行计算时，应注意： (1)公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式； (2)公式等号右边2ab的符号取决于等号左边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab取“+”；若这两项异号，则2ab取“-”； (3)(a±b)2 ≠ a2±b2 . (a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？ (a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？ (-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2 只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2. =a2+2ab+b2=(a+b)2 (b-a)2=b2-2ba+a2 =a2-2ab+b2=(a-b)2 (a-b)2与a2-b2不一定相等. 1. 下列多项式中，是完全平方式的是(　　). A.m2－2mn -n2　 B．x2＋4xy＋4y2 C．x2－2xy－y2 D．25a2＋10ab－b2 2. 计算(2x－y)(－y＋2x)的结果是(　　). A.4x2－4xy ＋y2　 B.x2＋4xy＋4y2 C.2x2 － y2 D.4x2－y2 B A 3.若多项式9x2+mx+1是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．±3 B．±6 C．3 D．±9 4.若（2x+4y）2=4x2-2（m-1）xy+16y2，则m的值为 ． B -7 5.运用乘法公式计算: ( x +2y-3) (x-2y +3) (a + b +c ) 2 解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) = [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2-(2y- 3)2 = x2-( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. (a + b +c ) 2 = [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac. 解：∵a+b=3，a-b=-1， ∴a2+2ab+b2=9①，a2-2ab+b2=1②， ①-②，得4ab=9-1=8，∴ab=2． (2)已知a+b=3，且a-b=-1，求ab的值． 6.(1)已知x+y=8，xy=12，求x2-xy+y2的值． 解：∵x+y=8，xy=12，x2-xy+y2=（x+y）2-3xy ∴x2-xy+y2=82-3×12=64-36=28． 完全平方公式 符号表示 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 内容 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2. Lavf57.83.100 $