2.1-2.2 有理数的加法与减法 《知识解读·题型专练》2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、加法运算律，再到减法法则（转化为加法）及加减混合运算（统一加法、省略括号），构建从基础到综合的学习支架。 资料通过10类题型分层设计，结合足球跑动、水果称重等生活实例，培养抽象能力、运算能力与应用意识。例题与变式训练结合，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

2.1-2.2 有理数的加法与减法（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型 1·有理数加法运算】 2 【题型 2·有理数加法中的符号问题】 3 【题型 3·有理数加法在生活中的应用】 3 【题型 4·有理数加法运算律】 5 【题型 5·有理数的减法运算】 5 【题型 6·有理数减法的实际应用】 6 【题型 7··有理数的加减混合运算】 7 【题型 8·有理数加减中的简便运算】 8 【题型 9·有理数加减混合运算的应用】 9 【题型 10·省略加法和括号的形式】 11 【随堂检测】 11 知识点1 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点2 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 【题型 1·有理数加法运算】 【例1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 题型 2·有理数加法中的符号问题】 【例2】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【变式2-1】下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【变式2-2】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型 3·有理数加法在生活中的应用】 【例3】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【变式3-1】有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 【变式3-2】某仓库周一到周五的货物进出记录如下（表示进库，表示出库，单位：吨）： (1)周二结束时，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ (2)周五结束时，仓库共有货物吨，求仓库原有的货物吨数． 【变式3-3】某股民以每股38.5元的价格持有某只股票．下表为一周内该股票的涨跌情况： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 每股涨跌/元 在星期五收盘时，该股票每股的价格是多少元？ 【题型 4·有理数加法运算律】 【例4】计算： (1)； (2)； (3)； 【变式4-1】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式4-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-3】用简便方法计算： (1)； (2)． 知识点3 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 【题型 5·有理数的减法运算】 【例5】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式5-1】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式5-2】计算： 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型 6·有理数减法的实际应用】 【例6】某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（     ） 多云 气温： A． B． C． D． 【变式6-2】一次测试共有两道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有25人，那么两道题都答错的人数为（    ） A．5人 B．10人 C．15人 D．25人 【变式6-3】五泉山位于甘肃省兰州市区南侧的皋兰山北麓，是一处“林木葱郁花草香，雕梁飞阁泉瀑鸣”，具有两千多年历史的遐迩闻名的陇上胜地，某月的五泉山，山顶的平均气温是，山脚的平均气温是，则该月山脚的平均气温与山顶的平均气温的温差(最高温度与最低温度的差)是（   ） A． B． C． D． 知识点4 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 【题型 7··有理数的加减混合运算】 【例7】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 【变式7-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型 8·有理数加减中的简便运算】 【例8】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-1】计算题： (1)； (2)； (3)+ ； (4) 【变式8-2】用简便方法计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式8-3】用简便方法计算： (1) (2) 【题型 9·有理数加减混合运算的应用】 【例9】某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【变式9-1】 习近平总书记说“要在学生中弘扬劳动精神，教育引导学生崇尚劳动、尊重劳动，懂得劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽的道理，长大后能够辛勤劳动、诚实劳动、创造性劳动．”原州区某校响应号召积极开展劳动教育，七年级（1）班学生在劳动课上采收成熟的白萝卜，一共采收了9筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：． (1)这9筐白萝卜中，最接近25千克的这筐白萝卜的实际质量为______千克； (2)以每筐25千克为标准，这9筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ 【变式9-2】 随着全球海洋碳汇研究与珊瑚礁修复技术的不断突破，南海珊瑚礁生态修复与监测项目已取得阶段性成果。某潜水员以一艘科考船为基准，向位于水面以下 80米的一处珊瑚礁进行探测．由于洋流变化，下潜过程中不得不多次上浮调整装备．记潜水员向下潜的深度为正数，向上返回的深度为负数，这次下潜的深度变化记录（单位：米）如下： ． (1)这次下潜潜水员是否成功到达了80米深的珊瑚礁？ (2)若潜水员每下潜或上浮1米，平均消耗5千卡的能量，那么他在这次下潜过程中共消耗了多少千卡的能量？ 【变式9-3】某水泥仓库7天内进出水泥的吨数是（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，． (1)经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这7天，仓库管理员结算时发现仓库里还存有200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？ 【题型 10·省略加法和括号的形式】 【例10】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】将式子改写成省略括号和加号的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】把写成省略括号的和的形式是（   ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 2．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 3．福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 4．某种疫苗保存温度为，最合适的温度范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 6．_____． 7．数轴上点A表示，将点A向右移动5个单位长度后表示的数是_____． 8．计算：______． 9．对于有理数，若，则_____．（填“”“”或“”） 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．在南宁“邕江徒步活动”中，一名徒步爱好者沿东西方向的邕江步道行走，规定向东为正，向西为负．他从起点O（某观景台）开始出发，走过的各段路程依次为（单位：千米）：，，，，，，． (1)通过计算判断该徒步爱好者最后停下来的位置在起点O的哪个方向？距离起点O多远？ (2)活动主办方设置积分奖励，每走1千米奖励一个积分，则该徒步爱好者一共获得多少个积分？ 12．如图，一只甲虫在方格纸（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从格点处出发去格点处，规定向上、向右记作正，向下、向左记作负．如从到记为，从到记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)从到记为，从到记为； (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1-2.2 有理数的加法与减法（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型 1·有理数加法运算】 2 【题型 2·有理数加法中的符号问题】 4 【题型 3·有理数加法在生活中的应用】 5 【题型 4·有理数加法运算律】 8 【题型 5·有理数的减法运算】 11 【题型 6·有理数减法的实际应用】 15 【题型 7··有理数的加减混合运算】 16 【题型 8·有理数加减中的简便运算】 20 【题型 9·有理数加减混合运算的应用】 24 【题型 10·省略加法和括号的形式】 27 【随堂检测】 28 知识点1 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点2 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 【题型 1·有理数加法运算】 【例1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，加法运算律，正确计算是解题的关键． （1）根据加法交换律和结合律，把正数和负数分别相结合进行计算； （2）根据加法交换律和结合律，把能够凑整的，互为相反数相结合进行计算． 【详解】（1）解：原式； ； （2）解：原式． 题型 2·有理数加法中的符号问题】 【例2】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【变式2-1】下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的相关概念. 根据有理数加法的相关概念逐一判断即可. 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C. 【变式2-2】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【变式2-3】如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 【题型 3·有理数加法在生活中的应用】 【例3】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上 (2)25米 (3)4次，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【分析】（1）根据有理数加减法的规则进行计算，因为初始位置为球门线，对应数值0，所以只需将所有跑动记录的数值相加，判断和是否为0即可； （2）如果要找离开球门线的最远距离，那么需要依次计算每次跑动后守门员相对于球门线的位置，取最大值； （3）因为需要统计距离超过10m的次数，所以需逐一核对每次跑动后位置，统计其中大于10的次数即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次距离开球门线 （米）； 第三次距离开球门线 （米）； 第四次距离开球门线 （米）； 第五次距离开球门线 （米）； 第六次距离开球门线 （米）； 第七次距离开球门线 （米）； 第八次距离开球门线 （米）． ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）略． 【变式3-1】有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 【答案】(1) (2)从左到右依次为，，，，，，， (3)总质量为198千克，平均每筐质量为千克． 【分析】（1）根据包装质量的要求，即可选出基准数． （2）将每个数减去基准数，即可求出每筐质量与基准数的相差数． （3）利用有理数的加法法则即可求出总质量，根据总质量筐数即可求出每筐的质量． 【详解】（1）解：包装质量为每筐26千克， 选取的恰当基准数为26． （2）解：选取的基准数为26千克， ，，，，，，，， 从左往右依次是，，，，，，，． （3）解：， 8筐水果的总质量为（千克）． 平均每筐的质量为（千克）． 【变式3-2】某仓库周一到周五的货物进出记录如下（表示进库，表示出库，单位：吨）： (1)周二结束时，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ (2)周五结束时，仓库共有货物吨，求仓库原有的货物吨数． 【答案】(1) 多了，多吨 (2) 吨 【分析】（）将周一和周二的货物变化量相加，根据结果的正负判断货物比原来多了吨； （）先算出周一到周五的总变化量，再用周五结束时的货物总量减去总变化量，得到原有货物吨数． 【详解】（1）解：∵进出记录按顺序，周一为吨，周二为吨， ∴周二结束的总变化量： 结果为正， 说明货物比原来多了，多吨； （2）解：周一到周五五天的总变化量： 说明周五结束时，货物比原来一共多了吨， ∵周五结束共有货物吨， ∴原有货物为：吨． 【变式3-3】某股民以每股38.5元的价格持有某只股票．下表为一周内该股票的涨跌情况： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 每股涨跌/元 在星期五收盘时，该股票每股的价格是多少元？ 【答案】39元 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，计算一周内每日涨跌的代数和，然后加上初始价格，得到星期五收盘时的股价． 【详解】解：初始价格为38.5元，一周内每股涨跌依次为元、元、元、元、元． 总涨跌为：（元） 星期五收盘价为：（元） 答：星期五收盘时该股票每股的价格是39元． 【题型 4·有理数加法运算律】 【例4】计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式4-1】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3)18 (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式4-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3) (4)7 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟记运算法则是解答本题的关键． （1）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； （2）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； （3）同分母两数先相加，然后再进行运算； （4）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式4-3】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 知识点3 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 【题型 5·有理数的减法运算】 【例5】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式5-1】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2) (3) (4)18.18 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【变式5-2】计算： 【答案】 【分析】根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算和有理数的加减混合运算，解决本题的关键是根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． （1）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （4）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （5）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （6）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 【题型 6·有理数减法的实际应用】 【例6】某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用冷藏室温度减去冷冻室温度，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解∶， 即冷藏室温度比冷冻室温度高． 【变式6-1】如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（     ） 多云 气温： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用最高温度减最低温度即可． 【详解】解：． 【变式6-2】一次测试共有两道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有25人，那么两道题都答错的人数为（    ） A．5人 B．10人 C．15人 D．25人 【答案】B 【分析】将全班同学分为只答对第一题、只答对第二题、两题都答对、两题都答错四类，根据已知条件计算各类人数，即可得到两道题都答错的人数. 【详解】解：将全班同学分为四类，A为只答对第一题，B为只答对第二题，C为两题都答对，D为两题都答错； ∵答对第一题的有35人，两题都答对的有25人， ∴. ∵答对第二题的有30人，两题都答对的有25人， ∴. 已知，全班总人数为50， ∴. ∴两道题都答错的有10人. 【变式6-3】五泉山位于甘肃省兰州市区南侧的皋兰山北麓，是一处“林木葱郁花草香，雕梁飞阁泉瀑鸣”，具有两千多年历史的遐迩闻名的陇上胜地，某月的五泉山，山顶的平均气温是，山脚的平均气温是，则该月山脚的平均气温与山顶的平均气温的温差(最高温度与最低温度的差)是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的减法，根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】解： 故选：D． 知识点4 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 【题型 7··有理数的加减混合运算】 【例7】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式7-1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是掌握有理数的加减混合运算． （1）先写成省略加号的和式，再计算； （2）先写成省略加号的和式，再计算； （3）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可； （4）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）先化简为省略括号和加号的和的运算，然后利用运算律简化运算即可； （2）先化简为省略括号和加号的和的运算，然后利用运算律简化运算即可； 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 【变式7-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】这几道题考查的是有理数的加减混合运算，解题关键是灵活运用运算律（如加法交换律、结合律）简化计算，或按运算顺序逐步计算． 利用加法交换律、结合律，将易计算的数组合（如凑整、同符号数），再按运算顺序计算即可． 【详解】（1） ， ， ． （2） ， ， ． （3） ， ， ． （4） ， ， ． 【题型 8·有理数加减中的简便运算】 【例8】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数加减的简便运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用有理数的加法交换律和结合律把正数、负数分别放在一起进行计算； （2）利用有理数的加法交换律和结合律把正数、负数分别放在一起进行计算； （3）把同分母放一起计算，再加减即可； （4）先利用交换律计算，最后通分计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【变式8-1】计算题： (1)； (2)； (3)+ ； (4) 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数减法法则（减去一个数等于加上它的相反数），并灵活运用加法交换律、结合律对算式分组，简化计算过程． （1）先根据有理数减法法则，将减法转化为加法，统一算式符号，再合并所有有理数； （2）观察到带分数与带分数、小数与小数可分组，利用加法交换律和结合律，分别将与、与结合，再计算每组结果并相加； （3）同理，将小数分组，把与、与分别结合，简化小数间的计算； （4）发现相邻两个数为一组（如、），每组结果均为，先计算总组数，再用组数乘每组结果得最终答案． 【详解】（1） ； （2） （3） （4） 【变式8-2】用简便方法计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)（或） (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算． （1）利用加减法中的简便运算计算即可． （2）把小数转化成分数，再利用加减法中的简便运算计算即可． （3）利用加减法中的简便运算计算即可． （4）利用加减法中的简便运算计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （或） （3）解： （4）解： 【变式8-3】用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型 9·有理数加减混合运算的应用】 【例9】某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【分析】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出着一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． 【变式9-1】 习近平总书记说“要在学生中弘扬劳动精神，教育引导学生崇尚劳动、尊重劳动，懂得劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽的道理，长大后能够辛勤劳动、诚实劳动、创造性劳动．”原州区某校响应号召积极开展劳动教育，七年级（1）班学生在劳动课上采收成熟的白萝卜，一共采收了9筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：． (1)这9筐白萝卜中，最接近25千克的这筐白萝卜的实际质量为______千克； (2)以每筐25千克为标准，这9筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1) (2)不足7千克 【分析】本题考查正负数的实际意义及有理数混合运算的实际应用，读懂题意，熟练掌握正负数实际意义是解决问题的关键． （1）根据以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，由题中表格数据逐项比较即可得到答案； （2）利用称重的各筐数据，利用有理数加减运算求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题中数据可得， ， ∴这9筐白萝卜，最接近25千克的这筐白萝卜实际质量为（千克）， 故答案为：； （2）解：由题意得 千克， 答：以每筐 25 千克为标准，这 9 筐白萝卜总计不足7千克． 【变式9-2】 随着全球海洋碳汇研究与珊瑚礁修复技术的不断突破，南海珊瑚礁生态修复与监测项目已取得阶段性成果。某潜水员以一艘科考船为基准，向位于水面以下 80米的一处珊瑚礁进行探测．由于洋流变化，下潜过程中不得不多次上浮调整装备．记潜水员向下潜的深度为正数，向上返回的深度为负数，这次下潜的深度变化记录（单位：米）如下： ． (1)这次下潜潜水员是否成功到达了80米深的珊瑚礁？ (2)若潜水员每下潜或上浮1米，平均消耗5千卡的能量，那么他在这次下潜过程中共消耗了多少千卡的能量？ 【答案】(1)不能到达 (2)420千卡 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，掌握有理数的加减混合运算是解此题的关键． （1）直接根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可得出答案； （2）先计算出下潜或上浮的距离和，再计算即可． 【详解】（1）解：（米）， ， 这次下潜潜水员不能到达80米深的珊瑚礁； （2）解：（米）， （千卡） 他在这次下潜过程中共消耗了千卡的能量． 【变式9-3】某水泥仓库7天内进出水泥的吨数是（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，． (1)经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这7天，仓库管理员结算时发现仓库里还存有200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？ 【答案】(1)减少了45吨 (2)7天前，仓库里存有水泥245吨 【分析】本题考查了有理数的加减运算在实际问题中的应用，解题的关键是通过有理数的加减计算确定水泥的变化量． （1）将7天的进出水泥吨数相加，根据结果的正负判断是增多还是减少，结果的绝对值即为变化的吨数； （2）用现有水泥量减去7天的变化量（注意符号），得到7天前的存量． 【详解】（1）解：将7天的进出量相加∶ 结果为负，说明水泥减少了，减少了45吨． （2）现有水泥量是7天后的剩余量，7天前的存量 = 现有量 - 7天的变化量∶． 7天前，仓库里存有水泥245吨． 【题型 10·省略加法和括号的形式】 【例10】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 【变式10-1】将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 【变式10-2】将式子改写成省略括号和加号的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是有理数加减法的符号化简，关键掌握“减正得负，减负得正”的原则． 根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，把算式化为加法运算，再省略括号和加号即可． 【详解】解：． 故选：． 【变式10-3】把写成省略括号的和的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减运算中去括号的规则，掌握“同号得正，异号得负”的原则是关键；根据有理数加减法则，减去正数等于加上负数，加上正数等于正数，减去负数等于加上正数，将原式中的括号省略即可。 【详解】解：∵ ，，，， ∴ 原式可写成 ， 故选 ：D 随堂检测 【随堂检测】 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 3．福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确净胜球数的计算方法为：净胜球数进球数失球数，结合题目给出的甲队净胜球验证计算规则，再计算丙队的净胜球数即可得到答案． 【详解】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数进球数失球数， ∵甲队与乙队的比赛结果为，即甲队进球数为，失球数为， ∴甲队的净胜球数为，记作， ∵丙队与丁队的比赛结果为，即丙队进球数为， 失球数为， ∴丙队净胜球数为，即丙队的净胜球数应记作． 4．某种疫苗保存温度为，最合适的温度范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据标注计算温度的最低值和最高值，即可得到合适温度范围． 【详解】解：表示保存温度的最低值为， 最高值为：， 最合适的温度范围是． 5．如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上的点M，N分别表示，2， ∴点M到点N的距离为 ． 6．_____． 【答案】2 【详解】解：． 7．数轴上点A表示，将点A向右移动5个单位长度后表示的数是_____． 【答案】2 【详解】解：∵数轴上点表示， ∴将点向右移动5个单位长度后表示的数是． 8．计算：______． 【答案】 【分析】本题根据有理数减法法则，将原式转化为有理数加法运算，计算得到结果即可． 【详解】解：． 9．对于有理数，若，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的比较大小，关键是作差法的应用；通过比较和 的差进行分析． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 故答案为：． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； 本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算律和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 11．在南宁“邕江徒步活动”中，一名徒步爱好者沿东西方向的邕江步道行走，规定向东为正，向西为负．他从起点O（某观景台）开始出发，走过的各段路程依次为（单位：千米）：，，，，，，． (1)通过计算判断该徒步爱好者最后停下来的位置在起点O的哪个方向？距离起点O多远？ (2)活动主办方设置积分奖励，每走1千米奖励一个积分，则该徒步爱好者一共获得多少个积分？ 【答案】(1)该徒步爱好者最后停下来的位置在起点O的西方，距离起点O有2千米 (2)该徒步爱好者一共获得30个积分 【分析】本题考查有理数加法的应用、正负数的实际应用，理解正负数的意义，熟练掌握有理数的加法运算法则是解答本题的关键． （1）求出所记录数据的和即可，如果结果是正数，则在出发点的东侧，如果结果是负数，则在出发点的西侧； （2）求出所记录数据的绝对值的和即可． 【详解】（1）解：， ∵向东为正，向西为负． ∴该徒步爱好者最后停下来的位置在起点O的西方，距离起点O有2千米； （2）解：， 则该徒步爱好者一共获得30个积分． 12．如图，一只甲虫在方格纸（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从格点处出发去格点处，规定向上、向右记作正，向下、向左记作负．如从到记为，从到记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)从到记为，从到记为； (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 【答案】(1)       (2)11 【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义即可求得答案； （2）根据运动路径，表示出运动距离，再相加即可． 【详解】（1）解：从格点出发到格点，向右移动个单位长度，向上运动个单位长度，可记为， 从格点出发到格点，向右移动个单位长度，向下运动个单位长度，可记为， 故答案为：，，，． （2）解：由题意，得，，， 所以该甲虫走过的路程为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $