专题3.2 从有理数到实数（8题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦“从有理数到实数”核心知识点，系统梳理无理数（无限不循环小数）、实数概念及分类，建立实数与数轴一一对应关系，构建从有理数到实数的数系扩充学习支架。 资料以知识点+题型设计为特色，即学即练结合典例变式，如通过几何作图理解√2的数轴表示培养几何直观，无理数大小估算发展运算能力，助力教师突破重难点，学生课后可强化练习查漏补缺。

专题3.2 从有理数到实数 教学目标 1.理解概念：了解无理数和实数的概念，知道实数由有理数和无理数组成，能对实数进行分类。 2.掌握关系：理解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，并借助数轴比较大小。 3.初步运用：能用有理数估计一个无理数的大致范围，体会数形结合与数系扩充的思想。 教学重难点 教学重点 1. 实数的分类（有理数与无理数），能正确区分和判断。 2. 实数与数轴上的点一一对应的关系，以及利用数轴比较实数大小。 教学难点 1. 无理数“无限不循环”概念的抽象性，易与循环小数混淆，需通过实例辨析。 2. 在数轴上准确表示如√2等无理数，需要借助几何作图（如构造等腰直角三角形）来理解。 知识点01 无理数 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 【即学即练1-1】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，常用的无理数表达方式有：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如（每相邻的两个之间依次增加一个）. 【详解】解：是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； ，，，是无理数，共有4个． 知识点02 实数概念及分类 实数：有理数和无理数统称为实数． 无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数. 【即学即练2-1】（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）将下列各数填入相应的集合中∶ ，0，1.121121112，3， 正数∶（                ） 整数∶（                ） 无理数∶（                ） 【答案】；； 【分析】根据正数，整数，无理数的定义分类即可． 【详解】解： （1）根据大于零的数是正数知：正数集合有：（）． （2）整数集合：{}， （3）根据无理数是无限不循环小数知：无理数集合：（）． 故答案为：；； 知识点03 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 【即学即练3-1】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴得，，再利用实数的加减乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，，，， 故选项A、B、C正确，不符合题意，选项D错误，符合题意． 【即学即练3-2】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定被遮挡数的取值范围． 【详解】解：由图可知，被手掌遮挡住的数在2与3之间． ， 该数应满足， A．，不合题意， B．，不合题意， C．，符合题意， D．，不合题意． 题型01 无理数的概念 【典例1】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）下列实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．π D． 【答案】C 【详解】解：∵ 0是整数，也是整数， ∴ 二者均属于有理数； ∵ 是无限不循环小数， ∴ 是无理数； ∵ 是分数， ∴ 属于有理数． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）下列四个实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．   D．2 【答案】C 【分析】需先化简带根号的数，再根据无理数的定义判断各选项． 【详解】解：0，2均为整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 开方开不尽，为无理数． 【变式2】（2026·江西赣州·模拟预测）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无限不循环小数是无理数，为判断提供依据．逐一分析每个选项对应的数的类型：因为整数和分数统称为有理数，所以先判断选项是否属于整数或分数范畴．针对含开方运算的选项，判断被开方数是否为完全平方数，如果被开方数不是完全平方数，那么开方结果是无限不循环小数，属于无理数． 【详解】解：我们把无限不循环小数叫做无理数，而整数和分数都属于有理数： 选项A的0是整数，属于有理数； 选项B的是负整数，属于有理数； 选项C的是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 选项D的是分数，属于有理数． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）实数，，，π，，中，无理数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：，为有理数； 是分数，6是整数，是有限小数，它们均为有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开方开不尽的数，为无理数，是无理数． 综上，无理数共有2个． 题型02 无理数的大小估算 【典例2】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·天津津南·期末）估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 【变式2】（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 【变式3】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 【答案】C 【分析】找到与11相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而推导的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型03 无理数整数部分的有关计算 【典例3】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 【答案】D 【分析】找到与26相邻的两个完全平方数，确定的范围，进而得到连续整数和的值，计算即可． 【详解】解：， ，即 ， ，且，是连续整数， ，， ． 【变式1】（25-26七年级下·河北保定·期末）若，且n是正整数，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】估算出即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且是正整数， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·山东济宁·期末）的整数部分为_________． 【答案】 【分析】通过比较被开方数与相邻整数的立方大小，确定的取值范围，即可得到其整数部分． 【详解】解：，， 又， ， 即， 的整数部分为． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）的整数部分为________． 【答案】6 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， 因此的整数部分为6． 题型04 实数概念理解 【典例4】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的分类与概念，有理数与无理数的概念逐一分析即可． 【详解】解：带根号的数不一定是无理数；故①不符合题意； 无理数是无限不循环的小数，故②不符合题意； 无理数是无限小数，故③符合题意； 所有实数不都是分数，无理数就不是分数，故④不符合题意； 故选A 题型05 实数的分类 【典例5】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）一组实数：，，，，，0，，， 将它们分类，填在相应的大括号内： 有理数：{____________________________________________…}； 无理数：{____________________________________________…}． 【答案】 有理数：； 无理数． 【分析】根据定义，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，逐个判断即可． 【详解】解：略． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】有理数包括整数和分数(有限小数、无限循环小数)；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含的数等；正实数是大于0的实数；负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数． （1）筛选出所有整数和分数，即可得到有理数集合； （2）筛选出所有无限不循环的数，即可得到无理数集合； （3）筛选出所有大于0的实数，即可得到正实数集合； （4）筛选出所有小于0的实数，即可得到负实数集合． 【详解】（1）解：∵有理数是整数和分数的统称，是整数，是整数，是分数，它们都符合有理数的定义， ∴有理数集合． （2）解：∵无理数是无限不循环小数，是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数的相反数，也属于无限不循环小数， ∴无理数集合． （3）解：∵正实数是大于0的实数，，， ∴正实数集合． （4）解：∵负实数是小于0的实数，，， ∴负实数集合． 【变式2】（24-25七年级上·云南昆明·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，，，π，0，，，，10，． 整数集合{               …}； 正分数集合{            …}； 非正数集合{            …}； 非负整数集合{            …}． 【答案】，0，10；，，，；，，0，；0，10 【分析】本题考查了有理数，无理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、无理数、非正数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．正分数首先是分数，即是有理数，再是正数． 根据整数、正分数以及非正数、非负整数的定义进行解答即可． 【详解】解：整数集合{，0，10}； 正分数集合{，，，}； 非正数集合{，，0，}； 非负整数集合{ 0，10}． 故答案为：，0，10；，，，；，，0，；0，10． 【变式3】（25-26八年级上·河南开封·期中）把下列各数填在相应的集合中． 正整数集合{           ……} 非负数集合{           ……} 整数集合{           ……} 无理数集合{           ……} 【答案】；，，，171，0，，π；，，171，0；，π 【分析】本题考查实数的分类，需明确以下概念：正整数指大于0的整数，如1，2，3，．．．．非负数指大于或等于0的数，包括正数和0．整数指不含小数部分的数，包括正整数、负整数和0．无理数指不能表示为分数的实数，通常是无限不循环小数，如、π．根据实数的分类解答即可． 【详解】解：正整数集合{，……} 非负数集合{，，，171，0，，π，……} 整数集合{，，171，0……} 无理数集合{，π……} 题型06 实数的性质 【典例6】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）绝对值等于的实数是______，的相反数是______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值意义、相反数定义，根据绝对值意义及相反数定义：只有符号不同的两个数直接求解即可得到答案，熟记绝对值意义、相反数定义是解决问题的关键． 【详解】解：绝对值等于的实数是；的相反数是； 故答案为：；． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）的倒数是_______，绝对值为的实数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数，绝对值的意义，根据乘积为1的两个数互为倒数以及绝对值的意义求解即可， 【详解】解：的倒数是，绝对值为的实数是∶， 故答案为：， 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）的相反数是_______；的绝对值是_______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 【变式3】（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）的绝对值是______，的相反数是______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的绝对值是； 的相反数是 故答案为：；． 题型07 实数与数轴 【典例7】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为________． 【答案】/ 【详解】解：∵面积为7的正方形的顶点A在数轴上，， ∴， ∵点A表示的数为1， ∴数轴上点E所表示的数为． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 【答案】4 【分析】先估算和的取值范围，找出二者之间包含的整数，再统计整数的个数． 【详解】解：， ， ， 找出与之间的整数：， 整数一共有个． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是点________． 【答案】D 【分析】估算出，可得在2和3的对应点之间，即可求解． 【详解】解：， ，即在2和3的对应点之间， 实数在数轴上的对应点可能是D点． 【变式3】（25-26七年级下·广西北海·期中）我们把直径为1的圆从原点沿数轴向右滚动一周（如图所示），圆上的一点到达，表示的数是_____． 【答案】π 【分析】根据圆的周长公式计算出圆滚动一周的距离，再根据数轴上点的平移规律（向右移动加）即可求解． 【详解】解： 圆的直径为 ， 圆的周长为， 圆从原点沿数轴向右滚动一周，起点表示的数为， 点表示的数为． 题型08 实数的大小比较 【典例8】（26-27九年级上·北京·开学考试）比较大小：______． 【答案】 【分析】先比较两个数的绝对值，将整数化为二次根式形式，再根据负数比较大小的规则判断，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·西藏昌都·期末）比较大小：________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】比较两个正数的大小，可将两数平方后比较平方结果的大小，平方大的原数越大． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 两个正数，平方大的原数越大， ∴ ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先化简两个数，再根据实数大小比较规则判断大小即可． 【详解】解：，， ∵正数大于一切负数， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·海南·期末）在实数，，，，中，最小的是________． 【答案】 【分析】先根据正负性判断，负数小于0和正数，再比较两个负数的大小，利用“绝对值大的负数反而小”得到结果. 【详解】解：对给出的数按正负分类：负数为，；非负数为，，； ∵负数小于所有非负数， ∴最小的数一定在和中； ∵，，， ∴根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得， 因此最小的数是. 一、单选题 1.（25-26七年级下·云南德宏·期末）下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义判断各选项． 【详解】解：对于选项A：，是整数，不是无理数，故A错误； 对于选项B：是无限不循环小数，属于无理数，故B正确； 对于选项C：是分数，不属于无理数，故C错误； 对于选项D：是整数，不属于无理数，故D错误． 2．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相反数的定义，改变原数的符号即可求解． 【详解】解：的相反数为． 3．（25-26七年级下·北京·期中）下列说法正确的有（    ） ①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：无限的不循环小数是无理数， 的结论不正确； 无理数是无限的不循环小数，都是无限小数， 的结论正确； 带根号且开不尽放 方的数都是无理数， 的结论不正确； ， 两个无理数的和不一定是无理数， 的结论不正确； 数轴上的点与实数一一对应， 的结论正确； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列各数中，最小的数是（     ） A．－1 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】先根据正负数的大小关系缩小候选范围，再比较两个负数的绝对值确定最小数． 【详解】解：∵，，， ∴最小的数为或． ∵，，且， ∴，即最小的数为． 二、填空题 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）比较大小：________（填“”、“”或“”号） 【答案】 【分析】本题比较正数和无理数的大小，可利用平方比较法，两个正数中，平方更大的数本身更大，计算两个数的平方后比较平方的大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∵∴ 6．（25-26七年级下·广西崇左·期末）已知为整数，且，则______________． 【答案】5 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式求出整数的值． 【详解】解：， ， 即， 为整数，且， ． 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）a为的整数部分，则__________． 【答案】2 【分析】先估算的大小，确定介于哪两个连续整数之间，即可得到的整数部分，即的值． 【详解】解：，，且， ，即， 的整数部分为，即． 8．（2025·河北·一模）点A在数轴上的位置如图所示，设点A对应的数为x，若，写出一个符合条件的y的整数值：_____． 【答案】 【详解】解：设点A对应的数为x，由点A在数轴上的位置可得， 所以若， 则符合条件的y的整数值为，0,1三个﹒ 故答案为：，0,1（写一个即可） 三、解答题 9．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）把下列各数填到相应的集合中． 1，，，，0，，，，，，（每两个1之间依次多1个0） 整数集合{          …} 正有理数集合{          …} 非负整数集合{          …} 【答案】整数集合：{1，，0，，}；正有理数集合：{1，，，，}；非负整数集合：{1，，0} 【分析】本题考查了实数的分类，掌握实数的有关定义是解题的关键；根据正有理数、非负整数、整数的定义即可求解． 【详解】解：． 整数集合：{1，，0，，…}； 正有理数集合：{1，，，，…}； 非负整数集合：{1，，0…} 10．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】(1)3，3 (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）将直径为2的半圆（半圆的弧长为圆周长的一半）按如图所示的方式放置在数轴上，使直径的一端点P与原点O重合，直径与数轴垂直．让半圆沿数轴的正方向无滑动滚动至点P第一次落在数轴上，这时点P转到数轴上点的位置．那么，点对应的实数是多少？它是有理数还是无理数？ 【答案】，无理数 【分析】本题主要考查了实数与数轴， 根据周长公式求出，再根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：根据题意可知为直径为2的圆的周长一半加上直径， 即， 所以点对应的数是，是无理数． 12．（25-26七年级上·浙江温州·期中）在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用“”连接． 0，，， ________________________． 【答案】， 各数表示在数轴上为， 【分析】本题主要考查了数轴，实数的大小比较，熟练掌握如何把实数表示在数轴上是解题的关键． 先把各数表示在数轴上，然后把各数按照从左到右的顺序排列，并用小于号连接起来即可． 【详解】解：根据数轴可知． 故答案为：． 一、单选题 1.（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称”，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是无理数，故此选项符合题意； C．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D．，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意． 2.（2026·浙江台州·模拟预测）大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过平方法比较平方数的大小，确定两个无理数的取值范围，再统计范围内的整数个数． 【详解】解：， 又， ， ， ，， 满足条件的整数有、、、0、1、2、3、4，共8个． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 4．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 5．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 二、填空题 6．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 7．（25-26七年级下·重庆永川·期中）已知的小数部分是，的小数部分是，则的值_____． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则，， 则． 8．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的相反数是__________，的绝对值等于__________，比较大小：__________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查相反数的定义、绝对值的性质以及实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；先判断的正负值，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求解；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】①解：的相反数是； 故答案为； ② 的绝对值是， 故答案为； ③， 即 ． 故答案为：． 9．（25-26七年级下·河南信阳·期末）如图，正方形的面积为6，顶点在数轴上，且点表示的数为1，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为_____． 【答案】 【详解】解：∵正方形的面积为6， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 10．（25-26七年级下·陕西·期末）比较大小：________．（填写“”或“”） 【答案】 【分析】利用作差法进行大小比较即可． 【详解】， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中． ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每两个2之间多一个1） (1)整数集合：{_________}； (2)负有理数集合：{_________}； (3)无理数集合：{_________}． 【答案】(1)②③⑤ (2)②⑥ (3)①④⑦ 【分析】本题考查实数的定义及分类． （1） 根据整数的定义分类即可； （2）根据负有理数的定义分类即可； （3）根据无理数的定义分类即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合：{②③⑤}； （2）解：负有理数集合：{②⑥}； （3）解：大于0，且是无理数， 无理数集合：{①④⑦}． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）请将下图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，再把下列各数用“>”连接起来． 1.5，． 【答案】点；点；点；点；点；点．． 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，根据无理数的估算，结合数轴，判断出各点表示的数，再根据数轴上的点右边的比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由图可知：点；点；点；点；点；点， ． 13．（25-26七年级下·河北沧州·期末）在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【答案】(1)2；3 (2)3； (3) 【分析】（1）利用夹逼法即可解答； （2）利用夹逼法求得的取值范围，即可得到的整数部分和小数部分； （3）利用夹逼法求得的整数部分和的小数部分，代入即可解答． 【详解】（1）解：， ，即， ，； （2）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是； （3）解：， ，即， 的整数部分， ，即， 的整数部分为，小数部分， ． 14．（25-26七年级下·山东临沂·期中）若，则2为p的整数部分，p减去其整数部分2的差即为它的小数部分． 例如：，则的整数部分为1，小数部分为． (1)已知的整数部分是a，小数部分是b，则a＝______；b＝______． (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的平方根． (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】（1）根据解答即可； （2）先由（1）确定m＝3，，再求出代数式的值，然后根据平方根的定义解答； （3）先确定的取值范围，即可得出，，进而求出，最后根据相反数的定义解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 所以的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 所以的平方根是； （3）解：∵ ， ∴． 又∵x是整数，且， ∴，， 则， ∴的相反数是． 15．（25-26七年级下·山东临沂·期中）图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)【问题发现】 图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为_____________，边_____________； (2)【问题探究】 将图②放置在如图③所示的数轴中，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点位于原点右侧），则点表示的数的值为_____________； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，试比较与1的大小，并说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）分割法求出正方形的面积，进而求出正方形的边长即可； （2）根据两点间的距离进行求解即可； （3）作差法比较大小即可. 【详解】（1）解：格点正方形的面积为， 故边； （2）解：由（1）和作图可知：，点表示的数为1， ∴点表示的数为； （3）解：，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 从有理数到实数 教学目标 1.理解概念：了解无理数和实数的概念，知道实数由有理数和无理数组成，能对实数进行分类。 2.掌握关系：理解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，并借助数轴比较大小。 3.初步运用：能用有理数估计一个无理数的大致范围，体会数形结合与数系扩充的思想。 教学重难点 教学重点 1. 实数的分类（有理数与无理数），能正确区分和判断。 2. 实数与数轴上的点一一对应的关系，以及利用数轴比较实数大小。 教学难点 1. 无理数“无限不循环”概念的抽象性，易与循环小数混淆，需通过实例辨析。 2. 在数轴上准确表示如√2等无理数，需要借助几何作图（如构造等腰直角三角形）来理解。 知识点01 无理数 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 【即学即练1-1】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 知识点02 实数概念及分类 实数：有理数和无理数统称为实数． 无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数. 【即学即练2-1】（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）将下列各数填入相应的集合中∶ ，0，1.121121112，3， 正数∶（                ） 整数∶（                ） 无理数∶（                ） 知识点03 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 【即学即练3-1】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【即学即练3-2】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 题型01 无理数的概念 【典例1】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）下列实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．π D． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）下列四个实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．   D．2 【变式2】（2026·江西赣州·模拟预测）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）实数，，，π，，中，无理数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 无理数的大小估算 【典例2】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·天津津南·期末）估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【变式2】（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【变式3】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 题型03 无理数整数部分的有关计算 【典例3】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 【变式1】（25-26七年级下·河北保定·期末）若，且n是正整数，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（25-26七年级下·山东济宁·期末）的整数部分为_________． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）的整数部分为________． 题型04 实数概念理解 【典例4】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05 实数的分类 【典例5】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）一组实数：，，，，，0，，， 将它们分类，填在相应的大括号内： 有理数：{____________________________________________…}； 无理数：{____________________________________________…}． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 【变式2】（24-25七年级上·云南昆明·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，，，π，0，，，，10，． 整数集合{               …}； 正分数集合{            …}； 非正数集合{            …}； 非负整数集合{            …}． 【变式3】（25-26八年级上·河南开封·期中）把下列各数填在相应的集合中． 正整数集合{           ……} 非负数集合{           ……} 整数集合{           ……} 无理数集合{           ……} 题型06 实数的性质 【典例6】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）绝对值等于的实数是______，的相反数是______． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）的倒数是_______，绝对值为的实数是_______． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）的相反数是_______；的绝对值是_______． 【变式3】（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）的绝对值是______，的相反数是______． 题型07 实数与数轴 【典例7】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为________． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是点________． 【变式3】（25-26七年级下·广西北海·期中）我们把直径为1的圆从原点沿数轴向右滚动一周（如图所示），圆上的一点到达，表示的数是_____． 题型08 实数的大小比较 【典例8】（26-27九年级上·北京·开学考试）比较大小：______． 【变式1】（25-26七年级下·西藏昌都·期末）比较大小：________（填“”“”或“”）． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【变式3】（25-26七年级下·海南·期末）在实数，，，，中，最小的是________． 一、单选题 1.（25-26七年级下·云南德宏·期末）下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京·期中）下列说法正确的有（    ） ①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应． A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列各数中，最小的数是（     ） A．－1 B．2 C．0 D． 二、填空题 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）比较大小：________（填“”、“”或“”号） 6．（25-26七年级下·广西崇左·期末）已知为整数，且，则______________． 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）a为的整数部分，则__________． 8．（2025·河北·一模）点A在数轴上的位置如图所示，设点A对应的数为x，若，写出一个符合条件的y的整数值：_____． 三、解答题 9．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）把下列各数填到相应的集合中． 1，，，，0，，，，，，（每两个1之间依次多1个0） 整数集合{          …} 正有理数集合{          …} 非负整数集合{          …} 10．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）将直径为2的半圆（半圆的弧长为圆周长的一半）按如图所示的方式放置在数轴上，使直径的一端点P与原点O重合，直径与数轴垂直．让半圆沿数轴的正方向无滑动滚动至点P第一次落在数轴上，这时点P转到数轴上点的位置．那么，点对应的实数是多少？它是有理数还是无理数？ 12．（25-26七年级上·浙江温州·期中）在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用“”连接． 0，，， ________________________． 一、单选题 1.（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2.（2026·浙江台州·模拟预测）大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 5．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）若为正整数，且满足，则的值为______． 7．（25-26七年级下·重庆永川·期中）已知的小数部分是，的小数部分是，则的值_____． 8．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的相反数是__________，的绝对值等于__________，比较大小：__________． 9．（25-26七年级下·河南信阳·期末）如图，正方形的面积为6，顶点在数轴上，且点表示的数为1，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为_____． 10．（25-26七年级下·陕西·期末）比较大小：________．（填写“”或“”） 三、解答题 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中． ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每两个2之间多一个1） (1)整数集合：{_________}； (2)负有理数集合：{_________}； (3)无理数集合：{_________}． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）请将下图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，再把下列各数用“>”连接起来． 1.5，． 13．（25-26七年级下·河北沧州·期末）在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 14．（25-26七年级下·山东临沂·期中）若，则2为p的整数部分，p减去其整数部分2的差即为它的小数部分． 例如：，则的整数部分为1，小数部分为． (1)已知的整数部分是a，小数部分是b，则a＝______；b＝______． (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的平方根． (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 15．（25-26七年级下·山东临沂·期中）图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)【问题发现】 图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为_____________，边_____________； (2)【问题探究】 将图②放置在如图③所示的数轴中，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点位于原点右侧），则点表示的数的值为_____________； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，试比较与1的大小，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $