专题28.2.1 相似三角形性质与判定 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习） 2026--2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦相似三角形性质与判定核心知识点，从概念（定义、相似比、传递性）到判定（预备定理、AA、SAS、SSS、直角三角形HL）再到性质（对应边成比例、对应角相等，周长比、面积比、对应线段比等于相似比），构建完整学习支架。 资料含思维导图总览知识结构，模块化梳理结合典型例题（如小孔成像）与分层练习，通过基本图形培养几何直观（数学眼光），逻辑推理训练发展推理意识（数学思维），助力教师授课与学生课后查漏补缺。

专题28.2.1 相似三角形性质与判定 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握相似三角形的定义、基本性质（对应角相等、对应边成比例）。 熟练运用相似三角形的周长比、面积比、对应线段比等于相似比。 理解并掌握相似三角形的三种判定方法（AA、SAS、SSS）及其应用。 能利用平行线分线段成比例定理判定三角形相似。 综合运用相似三角形的性质与判定解决几何证明与计算问题。 知识梳理 · 模块一·相似三角形判定 ☆知识点1： 相似三角形的概念 1. 定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三条对应边成比例，那么称这两个三角形相似。对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。 两个三角形相似也可以表述为“两个三角形是相似三角形”或“一个三角形与另一个三角形相似”。 2. 表示方法 两个三角形中，，且 ，这时 与 相似，记作 ，读作“ 相似于 ”。（如图所示） 提醒：对应性：在书写两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。 3.相似比 两个相似三角形的对应边的比值叫作它们的相似比，通常用 表示。 如图，如果 是 的中位线， 那么： ① 与 的相似比是 ， ② 与 的相似比是2。 即如果 与 相似， 与 的相似比是 ，那么 与 的相似比是 。 三角形是相似三角形的特例。 (2)两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关。 4. 三角形相似的传递性 定理：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。（如图所示） 符号表示：∵ ☆知识点2：:相似三角形的预备定理和判定定理 1. 相似三角形的预备定理 内容 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似 简述 平行截得两个三角形相似（“A”字或“8”字） 基本图形 符号表示 ∵ DE∥BC，∴ △ABC∽△ADE ☑ 典型例题 1 如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BA 延长线上的一点，CE 交 AD 于点 F，图中有哪几对相似三角形？ 解：三对。① ， ② ， ③ 。 总结：当题目中已知线段的平行关系，或已知图形为平行四边形时，考虑用预备定理证明两个三角形相似。 2. 相似三角形判定定理（1） 内容 两角对应相等的两个三角形相似（Λ.Λ） 基本图形 符号表示 在中，∵∠A=∠，∠B=∠B1，∴ 常见图形 （隐含条件：公共角、对顶角） 提醒：A.A 是为方便记忆，书写时不使用，后同。 ( )☑ 典型例题 2 如图，在 和 中，如果 ，那么 和 相似吗？请说明理由。 解： 与 相似。理由如下： 在 中， 在 和 中， 总结：当题目中已知三角形中某两个角的度数，可利用三角形的内角和为 计算出第三个角的度数，找到另一个三角形中与这个三角形相等的两组角，从而证明两个三角形相似。 3. 相似三角形判定定理（2） 内容 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（S.A.S） 基本图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∠A=∠A1，∴ 常见图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∠A=∠A1，∴ 提醒： (1) 利用此判定定理时必须注意：满足的条件是两边对应成比例及其夹角相等，而不是某边的对角相等。 (2)一般地，当题目中既有角之间的关系，又有线段之间的比例关系时易采用此判定定理。 ☑ 典型例题 3 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2。求证：△OAB与△ODC是相似三角形。 证明：∵ OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2， ∴ ，由此得 。 在△OAB与△ODC中，∵ ∴ △OAB∽△ODC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 4. 相似三角形判定定理（3） 内容 三边对应成比例的两个三角形相似（S.S.S） 基本图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∴ 提醒：此判定定理指出要说明两个三角形相似，只需要满足三条边对应成比例。一般地，当题目中告诉线段的长度较多，或有成比例线段的图形，但又找不到角相等时，常选择此判定定理。 ☑ 典型例题 4已知：在 中，AB = 1 cm，BC = 2 cm，CA = 1.5 cm，在 中，DE = 6 cm，EF = 4 cm，FD = 8 cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 解： ∴ 在 与 中，。 ∴ 。 总结：已知两个三角形三条边的边长，要证两个三角形相似，只需证明三边对应成比例即可。用有关的边长作“比”并进行计算时，可以数形结合，用最长边比最长边，最短边比最短边，求值后判断三组边是否对应成比例即可完成证明。 ☆知识点3： 直角三角形相似的判定定理 内容 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（H.L） 基本图形 符号表示 在Rt与Rt中，∠C=∠C1=90°，∵， ∴Rt∽Rt 常见图形 （斜高图） 说明： 要说明两个直角三角形相似，只需满足斜边和一条直角边对应成比例，即仅用直角三角形的斜边和直角边也可判定。一般地，当题目中出现直角三角形时，除了前面方法外，还应考虑本方法。 该判定定理仅适用于直角三角形，运用前需先判定两个三角形是直角三角形。 ☑ 典型例题 5如图，已知：在 中，，CD 是边 AB 上的高。 求证：。 解析：要证 ，即 ，可证 。其他两个等式同理可证。 证明：∵ ，CD 是 的边 AB 上的高，在 与 中， 同理，，可得 ，即 。 易证 ，可得 ，即 。 ☑ 典型例题 6 已知：如图，在四边形 ABCD 中，，AD = 4，BC = 9，AC = 6。 求证：。 证明：∵ ， ∴ 和 都是直角三角形。 ∴ Rt△DCA ∽ Rt△ABC（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。 总结：当题目中已知直角三角形时，除了前面所述判定定理外，还可考虑直角三角形相似的判定定理。题目中给出三角形边长时，可先判断斜边和直角边，再计算对应边是否成比例，从而证明相似。其中，由已知线段长度建立比例关系是难点，可借助图形分析。 ☆知识点4： 判定三角形相似的方法选择 要证明两个三角形相似的方法有： · 方法 1：平行得相似； · 方法 2：两角对应相等得相似； · 方法 3：两边对应成比例且夹角相等得相似； · 方法 4：三边对应成比例得相似； · 直角三角形：斜边和一直角边对应成比例得相似。 解题思路： 1. 若有平行线 用方法1 1. 若已有一对角对应相等： 　　——再证一对角对应相等 → 用方法2 　　——或找夹此角的对应边成比例 → 用方法3 1. 若可找到两组边成比例： 　　——再证夹角相等 → 用方法3 　　——或看第三组边的比 → 用方法4 1. 直角三角形： 　　——斜边和一直角边对应成比例得相似 　　——一对锐角相等 → 用方法2 　　——两条直角边对应成比例 → 用方法3 提醒： 1. 定义法（三个角对应相等，三边对应成比例）一般不常用。 1. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（斜高图，常用但需证明）。 ☆知识点5： 相似三角形与全等三角形之间的联系与区别 两个全等三角形 两个相似三角形 相同点 形状相同，对应角相等 形状相同，对应角相等 不同点 大小相等，对应边相等 大小不等，对应边成比例 联系 全等是特殊的相似 当比例系数是1时，两个相似三角形全等 判定方法 边边边(S.S.S)、边角边(S.A.S)、角边角(A.S.A)、角角边(A.A.S)、斜边直角边(H.L) 边边边(S.S.S)、边角边(S.A.S)、角角(A.A)、斜边直角边(H.L) 核心考点 ·典型考点精讲 1．（2026春•浦东新区校级月考）△ABC中，若BC＝54，AB＝63，CA＝45，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（　　） A．63 B．54 C．45 D．162 【分析】先确定原三角形的最短边，得到相似比，再计算目标三角形的周长． 【解答】解：∵CA＝45＜BC＝54＜AB＝63， ∴原三角形最短边为CA＝45，原△ABC的周长为45+54+63＝162． 设所求相似三角形的周长为C， ∵两个三角形相似，相似三角形周长比等于相似比， ∴， 解得C＝54． 故选：B． 【点评】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的相似比相等解答． 2．（2026春•青浦区校级期中）已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 【分析】利用相似三角形周长的比等于相似比计算即可求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：3， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝2：3， ∵△ABC的周长为8，设△DEF的周长为x， ∴8：x＝2：3， 即2x＝8×3， 解得x＝12． 故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键． 3．（2025秋•宝山区期末）我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屈内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是（　　） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 【分析】设像CD的长度变为原来的1.5倍时小孔O到人AB的距离为x米，证明△OAB∽△ODC，利用相似比可计算出x＝4，所以人向暗室前进2米． 【解答】解：设像CD的长度变为原来的1.5倍时小孔O到人AB的距离为x米， ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴， 解得x＝4， 即人向暗室前进2米． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． 4．（2025秋•静安区期末）已知一个三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一个三角形最短边的长为6cm，那么另一个三角形的周长为（　　） A．12cm B．24cm C．36cm D．48cm 【分析】根据相似三角形对边的比相等求出与它相似的三角形的另外两边长，再根据三角形周长公式计算得到答案． 【解答】解：∵一个三角形三边之比为3：4：5， ∴与它相似的三角形三边之比为3：4：5， ∵与它相似的三角形最短边的长为6cm， ∴与它相似的三角形的另外两边长分别为8cm，10cm， ∴与它相似的三角形的周长为：6+8+10＝24（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟记相似三角形对边的比相等是解题的关键． 5．（2025秋•虹口区校级月考）如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：3，那么下列等式一定成立的是（　　） A．BC：DE＝1：3 B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：3 C．∠A的度数：∠D的度数＝1：3 D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3 【分析】根据相似三角形对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、BC与EF是对应边，所以，BC：DE＝1：3不一定成立，故本选项错误； B、△ABC的面积：△DEF的面积＝1：9，故本选项错误； C、∠A的度数：∠D的度数＝1：1，故本选项错误； D、△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3正确，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 6．（2025秋•上海校级月考）已知△A1B1C1∽△A2B2C2∽△A3B3C3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1，△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为3：1，那么△A3B3C3与△A2B2C2的相似比为（　　） A．1：6 B．2：3 C．3：2 D．6：1 【分析】根据△A1B1C1∽△A2B2C2∽△A3B3C3，且△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1，△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为3：1，故设A3B3＝x，则A1B1＝3x，，所以，即可作答． 【解答】解：∵△A1B1C1∽△A2B2C2∽△A3B3C3，△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为3：1， ∴设A3B3＝x， ∴A1B1＝3x， ∵△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1， ∴， ∴， ∴△A3B3C3与△A2B2C2的相似比为2：3， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解题的关键． 7．（2025秋•闵行区校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，如果△OBC∽△CBD，那么BD：BC的比值为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形得OBBD，又△OBC∽△CBD有，故BD2＝2BC2，BDBC，即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OBBD， ∵△OBC∽△CBD， ∴， ∴BC2＝OB•BDBD2， ∴BD2＝2BC2， ∴BDBC， ∴BD：BC； 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形性质和平行四边形性质，解题的关键是求出BDBC． 8．（2025•奉贤区三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似．那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图1，在△ABC中，DB＝2，BC＝4，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，那么CD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由相似三角形的性质推出BC：BA＝BD：BC＝CD：AC，求出AB＝8，得到AD＝6，因此AC＝AD＝6，即可求出CD的长． 【解答】解：∵△BCD∽△BAC， ∴BC：BA＝BD：BC＝CD：AC， ∴4：AB＝2：4， ∴AB＝8， ∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6， ∵AC＝AD＝6， ∴2：4＝CD：6， ∴CD＝3． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 9．（2025秋•黄浦区期末）已知△ABC与△DEF相似，相似比为，如果△DEF的面积是36，那么△ABC的面积是　81　 ． 【分析】由△ABC∽△DEF，且相似比为，求得，而S△DEF＝36，则S△ABCS△DEF＝81，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为， ∴， ∵S△DEF＝36， ∴S△ABCS△DEF＝81， 故答案为：81． 【点评】此题重点考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，正确理解和应用相似三角形的性质是解题的关键． 10．（2025秋•松江区期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，点P、Q分别在边AB、BC上，如果△ACQ与△BPQ相似，且△APQ是等腰三角形，那么的值是　．　 ． 【分析】根据题意可得只存在∠BQP＝90°和∠BPQ＝90°这两种情况，当∠BQP＝90°时，可证明△ACQ∽△BQP，∠APQ一定是钝角，故AP＝PQ，导角可得∠PQA＝30°，再解直角三角形即可；当∠BPQ＝90°时，同理可得AP＝PQ，利用勾股定理即可得到答案． 【解答】解：∵△ACQ与△BPQ相似，且∠ACB＝90°＞∠B， ∴只存在∠BQP＝90°和∠BPQ＝90°这两种情况， 如图所示，当∠BQP＝90°时，则∠BQP＝90°＝∠C， ∴AC∥PQ， ∴∠QPB＝∠BAC＞∠CAQ， ∴此时只能是△ACQ∽△BQP， ∴∠AQC＝∠BPQ； ∵∠QPB是锐角， ∴∠APQ一定是钝角， ∵△APQ是等腰三角形， ∴AP＝PQ， ∴∠PAQ＝∠PQA， ∴∠AQC＝∠BPQ＝∠PAQ+∠PQA＝2∠PQA， ∴∠PQC＝∠AQC+∠PQA＝3∠PQA＝90°， ∴∠PQA＝30°， 如图所示，过点P作PH⊥AQ于点H，则， ∴， ∴， 如图所示，当∠BPQ＝90°时，则∠APQ＝90°， ∵△APQ是等腰三角形， ∴AP＝PQ， ∴， ∴， 综上所述，的值为或， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 11．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝5，AD＝4，CD＝0.8，∠A＝∠D＝120°，在边AD上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为　2或　 ． 【分析】由∠A＝∠D，可得出存在△ABP∽△DPC和△ABP∽△DCP两种情况，设AP＝m，则DP＝4﹣m，当△ABP∽△DPC时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即AP的长）；当△ABP∽△DCP时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即AP的长）． 【解答】解：∵∠A＝∠D＝120°， ∴存在△ABP∽△DPC和△ABP∽△DCP两种情况． 设AP＝m，则DP＝AD﹣AP＝4﹣m， 当△ABP∽△DPC时，， 即， 解得：m1＝m2＝2， 经检验，m1＝m2＝2是所列方程的解，且符合题意， ∴此时AP＝2； 当△ABP∽△DCP时，， 即， 解得：m， 经检验，m是所列方程的解，且符合题意， ∴此时AP． 综上所述，AP的长为2或． 故答案为：2或． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，分△ABP∽△DPC和△ABP∽△DCP两种情况，求出AP的长是解题的关键． 12．（2025秋•浦东新区校级月考）两个相似三角形对应中线之比是2：5，它们的面积差是63cm2，则较大三角形的面积是 　75　 cm2． 【分析】相似三角形对应中线之比等于相似比，因此相似比为2：5，相似三角形面积比等于相似比的平方，故面积比为22：52＝4：25，设较小三角形面积为4k，较大三角形面积为25k，根据面积差25k﹣4k＝63，列方程，解方程得k＝3，代入25k计算得较大三角形面积为75cm2． 【解答】解：∵两个相似三角形对应中线之比是2：5， ∴面积比为4：25， 设较小三角形的面积为4kcm2，则较大三角形的面积为25kcm2， ∵它们的面积差是63cm2， ∴25k﹣4k＝63， 21k＝63， k＝3， ∴25k＝25×3＝75． ∴较大三角形的面积是75cm2． 故答案为：75． 【点评】本题考查相似三角形的性质，属于中档题． 13．（2025秋•路南区期末）如图，△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝40°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长． 【分析】（1）根据相似三角形的性质以及角平分线的定义得出角B与角BCD的度数，再根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据相似三角形的性质得出等式求出AC的长即可． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD， ∴∠B＝∠ACD＝40°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝80°； （2）∵△ABC∽△ACD， ∴， ∴， ∴， ∴AC（负值舍去）． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 14．（2025秋•宜昌期末）△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长； （2）△A′B′C′的周长； （3）△ABC的面积． 【分析】（1）根据相似三角形对应边的中线比等于相似比解答即可； （2）根据相似三角形周长比等于相似比解答即可； （3）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm， ∴， ∴C′D′＝4cm×2＝8cm， ∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm； （2）∵△ABC∽△A′B′C′，，△ABC的周长为20cm， ∴ ∴C△A′B′C′＝20cm×2＝40cm， ∴△A′B′C′的周长为40cm； （3）∵△ABC∽△A′B′C′，，△A′B′C′的面积是64cm2， ∴， ∴S△ABC＝64cm2÷4＝16cm2， ∴△ABC的面积是16cm2． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．熟练掌握以上知识点是关键． 知识梳理 · 模块二·相似三角形性质 ☆ 知识点1. 相似三角形的性质 性质1： 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2： 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 性质3： 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 · 相似比：两个相似三角形对应边的比。 · 面积比与相似比的关系：，其中 为相似比。 ☑ 典型例题 1 题目： 已知△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 解析： 相似三角形周长比等于相似比，设△DEF周长为 ，则 ，解得 。 答案： A ☆ 知识点2. 相似三角形的面积比 定理： 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 · 即：若 ，相似比为 ，则 。 · 应用：已知相似比求面积，或已知面积比求相似比。 ☑ 典型例题 2 题目： 如果△ABC∽△DEF，相似比为2:1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 解析： 面积比等于相似比的平方，即 ，所以 。 答案： D ☆ 知识点3. 相似三角形判定与性质综合 在几何证明和计算中，常先利用判定定理证明三角形相似，再利用性质定理（对应边成比例、周长比、面积比）求解。 · 常用模型：A字型、X字型、子母型等。 · 注意等量代换和比例中项的运用。 ☑ 典型例题 3 题目： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（ ） 解析： 由射影定理或相似三角形，可证△ADC∽△CDB，周长比等于相似比，即 ，得 ，再由射影定理或勾股定理求 。 ☆ 知识点4. 相似三角形的应用 利用相似三角形解决实际问题，如测量高度、距离、杠杆原理、小孔成像等。 · 关键：构造相似三角形，建立比例关系。 · 注意：实际测量中常需要将实际问题抽象成数学模型。 ☑ 典型例题 4 题目： 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为6cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（示意图） 解析： 设像 CD 的高度为 。 由题意及小孔成像原理可知， 根据相似三角形对应边成比例，得： 即： 解得 = 1 。 故像 CD 的高度为 1 cm。 故选 D。 核心考点 ·典型考点精讲 15．（2025秋•宝山区校级期末）关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想．下列说法中正确的是（　　） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②两高及一底边对应成比例的两个等腰三角形相似． A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②均正确 D．①②均错误 【分析】根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：①两个三角形都是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形时，腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是假命题； ②底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题； 故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 16．（2026春•青浦区校级期中）下列条件中，不能判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　） A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B' B． C．，且∠B＝∠B′ D．，且∠C＝∠C′ 【分析】由∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△A′B′C′，可判断A不符合题意；由，可根据“三边成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△A′B′C′，可判断B不符合题意；由，且∠B＝∠B′，可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△A′B′C′，可判断C不符合题意；由于，且∠C＝∠C′这两个条件不符合相似三角形的判定定理，因而不能由此判定△ABC∽△A′B′C′，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'， ∴△ABC∽△A′B′C′， 故A不符合题意； ∵在△ABC和△A′B′C′中，， ∴△ABC∽△A′B′C′， 故B不符合题意； ∵在△ABC和△A′B′C′中，，且∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， 故C不符合题意； ∵，且∠C＝∠C′这两个条件不符合相似三角形的判定定理， ∴由，且∠C＝∠C′不能判定△ABC∽△A′B′C′， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 17．（2026•宝山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边的中点，沿着过点D的某条直线将△ABC剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（　　）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：过D作BC的平行线交AC于E，得到△ADE∽△ABC； 过D作AC的平行线交BC于F，得到△BDF∽△BAC； 过D作AB的垂线交AC于G，得到△ADG∽△ACB， ∴有3种不同的剪法． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形判定，关键是要分三种情况讨论． 18．（2024秋•嘉定区校级月考）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中正确的个数是（　　） ①△ACM∽△ABD； ②△ACE∽△ABC； ③△AEM∽△CDM； ④△AME∽△ACD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可． 【解答】解：∵∠ACE＝∠B，∠BAC＝∠CAE， ∴△ACE∽△ABC，故②符合题意； ∴∠AEC＝∠ACB， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAM， ∴△ACM∽△ABD，△AEM∽△ACD；故①符合题意，④不符合题意； △AEM与△CDM只有一组角相等，无法证明相似， ∴故③不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和角平分线的含义是解题的关键． 19．（2026春•闵行区校级单元）如图，方格纸中有△ABC与△DEF，其中△ABC的一边与△DEF的一边和方格线重合．下列判断正确的是（　　） A．一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B．一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C．不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D．不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 【分析】根据三边成比例两三角形相似证明即可． 【解答】解：∵AB＝2，BC＝2，AC＝2，EF＝1，DE，DF， ∴， ∴△ABC∽△DEF． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 20．（2025秋•崇明区期末）在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，根据下列条件，一定能判断△ABC和△DEF相似的是（　　） A． B． C．∠B＝∠D D．∠C＝∠E 【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、两三角形的两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定△ABC和△DEF相似，故A不符合题意； B、由AB＝AC，DE＝DF，AB：DE＝AC：EF，推出DF＝EF，判定△DEF是等边三角形，但△ABC不一定是等边三角形，因此两个三角形不一定相似，故B不符合题意； C、AB：DE＝AC：DF，AB和AC的夹角是∠A，DE和DF夹角是∠D，应该是∠A＝∠D而不是∠B＝∠D，才能判定△ABC和△DEF相似，故C不符合题意； D、由两个等腰三角形的底角相等得到∠A＝∠D，而AB：DE＝AC：DF，判定△ABC和△DEF相似，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 21．（2025秋•金山区校级月考）△ABC中，D、E分别在AB、AC上，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（　　） A． B． C． D．∠B＝∠ACD 【分析】画出图形，由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 【解答】解：如图， A、∵，∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC，符合题意； B、∵，∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ACB， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，不能判断DE∥BC，不符合题意； C、添加条件，不能得出△ADE∽△ABC，即不能判断DE∥BC，不符合题意； D、添加条件∠B＝∠ACD，不能判断DE∥BC，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了三角形相似的判定，解题关键是熟记相似三角形的判定方法，准确进行推理证明． 22．（2026春•浦东新区校级月考）如图所示，有△ABC和△ADE，小嘉同学欲添加两个条件使得△ABC∽△ADE，现有三个条件可供他选择：①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③．则正确的组合可以是　①②或①③　 （填序号）（请写出所有组合方式）． 【分析】由∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BAC．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ABC∽△ADE． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC． 当∠B＝∠D或时，△ABC∽△ADE．即①②或①③符合题意， 故答案为：①②或①③． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 23．（2025秋•闵行区校级月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，点P1、P2、P3、P4、P5、A、C是△ABC边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似，符合题意的三角形共有 　6　 个． 【分析】设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和△ABC对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【解答】解：设网格的边长为1． 则AC＝2，AB＝4，BC2． 连接P2P5， AP5，AP2，P2P5． ∵， ∴△ACB∽△AP5P2． 同理可找到△P2P4P5，△CP4P5，△ACP1，△AP2P4，△AP4P5和△ACB相似，共6个． 故答案为：6． 【点评】本题考查了相似三角形的判断，关键是知道相似三角形的判定定理，三边对应成比例是相似三角形． 24．（2025秋•浦东新区期中）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”． 例如：如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．可证得△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．如图2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数为　21°或42°　 ． 【分析】根据分两种情况讨论等腰三角形，利用等腰三角形的性质得出角的度数，进而利用相似三角形的对应角相等解答即可． 【解答】解：①当AB＝BD时，得∠ADB67°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝113°， ∵△ADC∽△BAC， ∴∠BAC＝∠ADC＝113°， 在△ABC中，由内角和定理得∠C＝180°﹣113﹣46°＝21°， 当AD＝BD时， ∴∠ADC＝46°×2＝92°， ∵△ADC∽△BAC， ∴∠BAC＝∠ADC＝92°， 在△ABC中，由内角和定理得∠C＝180°﹣92°﹣46°＝42°， 故∠C的度数为21°或42°， 故答案为：21°或42°． 【点评】此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，遇到等腰三角形多数会进行分类讨论，注意别漏解． 25．（2025秋•嘉定区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，点P（与点B不重合）是边AB上的一点，那么当AC与AP、AB满足AC2＝AP•AB 时，△ABC与△ACP相似． 【分析】由，∠A＝∠A，可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ACP，将变形为AC2＝AP•AB，则当AC2＝AP•AB时，△ABC与△ACP相似，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACP， 由得AC2＝AP•AB， ∴当AC2＝AP•AB时，△ABC与△ACP相似， 故答案为：AC2＝AP•AB． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 26．（2025秋•浦东新区校级月考）如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA． 【分析】先根据BD＝1，DC＝3，求出BC的长，再根据∠B＝∠B，即可得出结论． 【解答】证明：∵BD＝1，DC＝3， ∴BC＝BD+CD＝1+3＝4， ∵， ∴， ∵∠B为公共角， ∴△ABD∽△CBA． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 27．（2025•杨浦区校级开学）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D在BC边上，且∠CAD＝∠B． （1）根据条件画出图形，并求AD的长； （2）取AD、AB的中点E、F，连接CE、CF、EF．求证：△CEF∽△ADB． 【分析】（1）先根据题意画出图形，再证明△ACB∽△DCA相似，求出DC的长度，然后利用勾股定理即可求出AD； （2）根据直角三角形斜边上的中线和三角形的中位线的性质推出三边对应成比例即可证出△CEF∽△ADB． 【解答】解：（1）画图如下： ∵∠ACB＝∠DCA＝90°，∠CAD＝∠B， ∴△ACB∽△DCA， ∴， ∵AC＝2，BC＝4， ∴， ∴DC＝1， 在Rt△ACD中，DC2+AC2＝AD2， ∴； （2）证明：∵E，F分别是AD，AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴，即， ∵F为AB中点，∠ACB＝90°， ∴，即， 在Rt△ACD中，E是AD的中点， ∴，即， ∴， ∴△CEF∽△ADB． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．（2024秋•黄浦区期中）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC． （1）求证：； （2）如果，求证：△ABE∽△ACB． 【分析】（1）根据平行线的性质得出，∠BED＝∠CBE，则，根据角平分线定义及平行线的性质得到∠CBE＝∠BEC，则BC＝CE，根据相似三角形的判定与性质得出，根据比例的性质及等量代换即可得解； （2）结合（1）及题意推出，结合∠BED＝∠BEC，推出△BED∽△CEB，根据相似三角形的性质得出∠DBE＝∠BCE，结合∠BAE＝∠CAB，即可判定△ABE∽△ACB． 【解答】证明：（1）∵DE∥BC， ∴，∠BED＝∠CBE， ∴11， ∴， ∵EB平分∠DEC， ∴∠BED＝∠BEC， ∴∠CBE＝∠BEC， ∴BC＝CE， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽ABC， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，BC＝CE，， ∴， ∴， 又∠BED＝∠BEC， ∴△BED∽△CEB， ∴∠DBE＝∠BCE， 即∠ABE＝∠ACB， 又∠BAE＝∠CAB， ∴△ABE∽△ACB． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 29．（2025秋•金山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD．求证：△ABE∽△DCE． 【分析】根据相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC＝∠BDC，由此可得出△ABE∽△DCE． 【解答】证明：∵AB2＝BE•BD， ∴AB：BE＝BD：AB， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴∠BAC＝∠BDC， ∵BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC， ∴△ABE∽△DCE． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定是解题关键． 30．（2026春•栖霞市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接DE，且DE∥AB，点F在DC上，且． （1）求证：； （2）若CF＝4，DF＝8，，求证：△DCE∽△ACD． 【分析】（1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由CF＝4，DF＝8可得，即，进而得到；从而得到，再结合∠C＝∠C即可证明结论． 【解答】证明：（1）∵DE∥AB， ∴， ∵， ∴； （2）∵点F在DC上，CF＝4，DF＝8， ∴， ∵AC＝CE+AE， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵∠C＝∠C， ∴△DCE∽△ACD． 【点评】本题主要考查了平行线等分线段、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键． 31．（2026春•青浦区校级期中）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AF＝CE，对角线BD分别交EC、AF于点M、N，联结AM、CN． （1）求证：四边形AMCN是菱形； （2）过点C作CP⊥CE交BD的延长线于点P，如果CM2＝MN•NB，求证：△NCD∽△NPC． 【分析】（1）连接AC，先证明Rt△ADF≌Rt△CBE，再证明△DFN≌△BEM，利用菱形的判定即可完成； （2）由菱形的性质及CM2＝MN•NB可证明△CMN∽△BNC，从而可得∠MCN＝∠NBC＝45°，再由垂直得∠PCN＝∠CDN，即可证明△NCD∽△NPC． 【解答】（1）证明：如图1，连接AC，且交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADF＝∠CBE＝90°，AD＝BC，∠FDN＝∠EBM＝45°，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， 在Rt△ADF与Rt△CBE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF＝BE，∠AFD＝∠CEB， 在△DFN与△BEM中， ， ∴△DFN≌△BEM（ASA）， ∴DN＝BM， ∵OD＝OB， ∴OD﹣DN＝OB﹣BM， ∴ON＝OM， ∵OC＝OD，AC⊥BD， ∴四边形AMCN是菱形； （2）证明：如图，由（1）知，四边形AMCN是菱形， ∴CM＝CN， ∴∠CMN＝∠CNM， ∵CM2＝MN•NB， ∴，即，即可整理为： ∵∠CMN＝∠CNM， ∴△CMN∽△BNC， ∴∠MCN＝∠NBC＝45°， ∵CP⊥CE， ∴∠PCN＝90°﹣∠MCN＝45°＝∠CDN， ∵∠CND＝∠PNC， ∴△NCD∽△NPC． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 32．（2026•紫金县校级二模）若△ABC∽△DEF，它们的面积比为9：4，则对应高的比为 　3：2　 ． 【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，面积比为9：4， ∴对应高的比为：3：2． 故答案为：3：2 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键． 33．（2026春•姑苏区期末）已知△ABC∽△DEF，对应中线的比是2：3．若△ABC的周长是8，则△DEF的周长是　12　 ． 【分析】由相似三角形的性质可知，相似三角形周长的比等于对应中线的比，因为△ABC∽△DEF，对应中线的比是2：3，所以，则△DEF的周长△ABC的周长＝12，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵相似三角形周长的比等于相似比，对应中线的比等于相似比， ∴相似三角形周长的比等于对应中线的比， ∵△ABC∽△DEF，对应中线的比是2：3， ∴， ∵△ABC的周长是8， ∴△DEF的周长△ABC的周长8＝12， 故答案为：12． 【点评】此题重点考查相似三角形的性质，推导出相似三角形周长的比等于对应中线的比是解题的关键． 34．（2026•芒市校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，则的比值为　　 ． 【分析】相似三角形周长的比等于相似比，由此即可得到答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为， ∴的比值为． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比． 35．（2024秋•奉贤区校级月考）在直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，则点D的坐标为 　或或或　 ． 【分析】分OC与OA为对应边和OC与OB为对应边，两种情况进行讨论即可解答． 【解答】解：∵△AOB是直角三角形，要使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似， ∴以点D，C，O为顶点的三角形也是直角三角形， ∵点D在x轴上， ∴∠COD＝90°， ∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1）， ∴OA＝3，OB＝4，OC＝1， 如图1，当OC与OA为对应边， 则△AOB∽△COD， 则， ∴， ∴或； 如图2，当OC与OB为对应边， 则△AOB∽△DOC， 则， ∴， ∴，； 综上，点D的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【点评】本题主要考查了坐标与图形及三角形的相似，分情况进行讨论是解决本题的关键． 36．（2025秋•浦东新区期中）已知△A1B1C1∽△ABC，相似比为3：2；△ABC∽△A2B2C2，相似比为4：3，那么△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为　2：1　 ． 【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比． 【解答】解：∵△A1B1C1∽△ABC，相似比为3：2；△ABC∽△A2B2C2，相似比为4：3， ∴A1B1：AB＝3：2，AB：A2B2＝4：3， 设AB＝4x，则A1B1＝6x，A2B2＝3x， ∴A1B1：A2B2＝6：3＝2：1， ∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1． 故答案为：2：1． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解题的关键． 37．（2025秋•浦东新区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点E在边BC上，若以点A、B、E为顶点的三角形与△ECD相似，则BE＝ 　2或8或5　 ． 【分析】首先设BE＝x，由四边形ABCD是矩形，即可得∠B＝∠C＝90°，CE＝10﹣x，然后分别从若△ABE∽△ECD与若△ABE∽△DCE去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长． 【解答】解：设BE＝x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝10，∠B＝∠C＝90°， ∴CE＝BC﹣BE＝10﹣x， 若△ABE∽△ECD，则， 即， ∴x2﹣10x+16＝0， 解得：x＝2或x＝8， 若△ABE∽△DCE，则， 即10﹣x＝x， 解得：x＝5， ∴BE的长为2或8或5． 故答案为：2或8或5． 【点评】此题考查了相似三角形的性质与矩形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用． 38．（2025秋•上海校级月考）P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多几条？　3条　 ． 【分析】根据三角形相似的判定，结合定义解答即可． 【解答】解：过点P作PF∥AB交BC于点F，则△PCF∽△ACB，符合题意； 过点P作PE∥BC交AB于点E，则△APE∽△ACB，符合题意； 过点P作PG⊥AB于点G，∠A＝∠A，∠AGP＝∠ACB，则△AGP∽△ACB，符合题意； 故答案为：3条． 【点评】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 💡 复习建议 熟记性质与判定：相似三角形的性质（周长比、面积比、对应线段比）和判定定理（AA、SAS、SSS）是基础，需熟练运用。 强化对应关系：在相似三角形中，对应顶点、对应边、对应角要准确无误，避免混淆。 善用平行线：平行线分线段成比例是构造相似三角形的重要工具，注意基本图形（A型、X型）。 综合训练：将相似与勾股定理、面积法、方程思想结合，提升综合解题能力。 错题整理：重点整理判定条件遗漏、对应边成比例写反等典型错误。 【作业1】（2025秋•崇明区期末）如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应中线的比等于相似比，据此解答即可． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4， ∴两个三角形的相似比为1：2． 又∵相似三角形对应中线的比等于相似比， ∴这两个三角形的对应中线的比为1：2． 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是相似三角形性质的熟练掌握． 【作业2】（2025秋•闵行区校级月考）如果两个相似三角形的周长比为1：3，那么它们的对应中线的比为（　　） A． B．1：3 C．1：9 D．1：81 【分析】据相似三角形的周长的比等于它们的相似比1：3，然后再利用对应中线的比等于相似比求解即可． 【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：3， ∴它们的相似比为1：3． ∴它们的对应中线的比为1：3， 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长的比等于相似比是解答此题的关键． 【作业3】（2025春•闵行区校级月考）已知两个相似三角形的对应边的比为5：1，则它们的周长之比为（　　） A．1：5 B．5：1 C．25：1 D．1：25 【分析】根据三角形的性质，周长之比等于相似比解答即可． 【解答】解：两个相似三角形的对应边的比为5：1， 故它们的周长之比为5：1， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【作业4】（2025秋•奉贤区期中）如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A．0＜CP≤1 B．0＜CP≤2 C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜8 【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围． 【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E，则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA， 此时0＜PC＜8； 如图所示，过P作∠BPF＝∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC， 此时0≤PC＜8； 如图所示，过P作∠CPG＝∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB， 当点G与点A重合时，CA2＝CP×CB，即42＝CP×8， ∴CP＝2， ∴此时，0＜CP≤2； 综上所述，CP长的取值范围是0＜CP≤2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． 【作业5】（2024秋•青浦区期中）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【作业6】（2024秋•闵行区期中）如图，在正方形ABCD中，点E，M是边AD，CD上的点，BE，BM与AC交于点F，G．如果∠EBM＝45°，那么下列结论中，错误的是（　　） A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABG∽△CFB D．△ABF∽△CBG 【分析】推出∠EAF＝∠BCF＝45°，可判断选项A；由∠MCG＝∠FBG＝45°，可判断选项B；证明∠CMG＝∠ABG，可判断选项C；由于∠ABF≠∠CBG，可判断选项D． 【解答】解：在正方形ABCD中，点E，M是边AD，CD上的点，∠EBM＝45°， ∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA＝∠ACB＝∠DAC＝∠CAB＝∠EBM＝45°， 即∠EAF＝∠BCF＝45°， ∵∠AFE＝∠CFB， ∴△AEF∽△CBF， 故A正确，该选项不合题意； ∵∠MCG＝∠FBG＝45°，∠MGC＝∠BGF， ∴△CMG∽△BFG， 故B正确，该选项不合题意； ∴∠CMG＝∠CFB， ∵AB∥CD， ∴∠CMG＝∠ABG， ∴∠CFB＝∠ABG， 又∵∠CAB＝∠BCF＝45°， ∴△ABG∽△CFB， 故C正确，该选项不合题意； ∵∠CAB＝∠ACB＝∠FBG＝45°， ∴∠ABF+∠CBG＝45°， ∴∠ABF≠∠CBG， ∴△ABF与△CBG不相似， 故D错误，该选项合题意， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 【作业7】（2025秋•青浦区期末）已知BD是四边形ABCD的对角线，∠BDC＝∠A，下列补充的条件中，不能判定△ABD和△BCD相似的是（　　） A．∠ABD＝∠CBD B．∠ADB＝∠C C．AB•DC＝AD•DB D．BD2＝AD•CD 【分析】根据两边对应成比例，但是相等的角不是夹角则不能证相似，据此逐一判断即可得解． 【解答】解：如图， 选项A：由∠BDC＝∠A，∠ABD＝∠CBD可得△ABD∽△DBC， 故A选项可证相似不符合，题意； 选项B：由∠BDC＝∠A，∠ADB＝∠C可得△ABD∽△DBC， 故B选项可证相似，不符合题意； 选项C：∵AB•DC＝AD•DB， ∴， ∵∠BDC＝∠A， ∴△ABD∽△DBC， 故C选项可证相似，不符合题意； 选项D：∵BD2＝AD•CD， ∴， 要证△ABD和△BCD相似，则需满足夹角相等，即∠ADB＝∠BDC， 与题干等角矛盾， 故D选项无法证出相似，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业8】（2026•浦东新区校级模拟）一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形　一定　 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）． 【分析】由一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，可得对应边成比例，即可求得答案． 【解答】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4， ∴， ∴这两个直角三角形一定相似． 故答案为：一定． 【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键． 【作业9】（2025秋•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC上，当AE＝　或　 cm时，使得△ADE与△ABC相似． 【分析】分两种情形利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：有两种情形： 如图，当DE∥BC时，△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴AE（cm）， 当∠ADE′＝∠C时， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE′∽△ACB， ∴， ∴， ∴AE′（cm）， 故答案为：或． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【作业10】（2025秋•宝山区校级月考）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，∠A′＝45°，A′B′＝16cm，那么A′C′＝　20cm或　 时，△ABC与△A′B′C′相似． 【分析】分△ABC∽△A′B′C′和△ABC∽△A′C′B′两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【解答】解：当△ABC∽△A′B′C′时，， ∴， ∴A′C′＝20cm， 当△ABC∽△A′C′B′时，， ∴， 即， 故答案为：20cm或． 【点评】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【作业11】（2024秋•虹口区校级月考）在△ABC中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过 　2秒或秒　 秒之后，△PBQ与△ABC相似． 【分析】依题意得AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝（8﹣t）cm，再分两种情况讨论如下：①当时，则△PBA∽△CBA，再由得t＝2；②当时，则△PBQ∽△ABC，再由得t，综上所述即可得出答案． 【解答】解：依题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm， 在△ABC中，AB＝8cm，BC＝12cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm， ∵∠B是△PBQ与△ABC的公用角， ∴当△PBQ与△ABC相似时，有以下两种情况， ①当时，则△PBA∽△CBA，如图1所示： ∴， 解得：t＝2， ∴经过2秒之后，△PBQ与△ABC相似； ②当时，则△PBQ∽△ABC，如图2所示： ∴， 解得：t， ∴经过秒之后，△PBQ与△ABC相似， 综上所述：经过2秒或秒之后，△PBQ与△ABC相似． 故答案为：2秒或秒． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 【作业12】（2024秋•虹口区校级月考）已知在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，A（﹣3，0），C（1，0），B（1，3）．在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB 【分析】依题意得OA＝3，OC＝1，BC＝3，AC＝4，由勾股定理得AB＝5，根据点D在x轴上，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等）得点D在点C的右侧，过点B作BD⊥AB交x轴于点D，则点D为所求出，由相似三角形性质得，设CD＝a，则AD＝4+a，OD＝1+a，进而得，由此解出a得OD，据此即可得出点D的坐标． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，A（﹣3，0），C（1，0），B（1，3）， ∴OA＝3，OC＝1，BC＝3， ∴AC＝OA+OC＝4， 由勾股定理得：AB5， ∵点D在x轴上，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等）， ∴点D在点C的右侧， 过点B作BD⊥AB交x轴于点D，则点D为所求出，如图所示： 理由如下： ∵∠ABD＝∠ACB＝90°，∠DAB＝∠BAC， ∴△ADB∽△ABC， ∴， 设CD＝a，则AD＝AC+CD＝4+a，OD＝OC+CD＝1+a， ∴， 解得：a， ∴OD＝1+a， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【作业13】（2025秋•浦东新区校级月考）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD． 【分析】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A＝∠E，再有垂直得到90°的角，∠ADH＝∠ACB＝90°，从而证明：△AHD∽△EBD． 【解答】证明：∵HD⊥AB于D， ∴∠ADH＝90°， ∴∠A+∠AHD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠E+∠AHD＝90°， ∴∠A＝∠E， ∵∠ADH＝∠ACB＝90°， ∴△AHD∽△EBD． 【点评】本题考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【作业14】（2024秋•嘉定区期中）如图，点D、E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD•AB＝AE•AC，DF∥BE．求证：△ADF∽△ACD． 【分析】通过证明△ACD∽△ABE，可得∠B＝∠C，可得∠ADF＝∠C，即可求解． 【解答】证明：∵AD•AB＝AE•AC， ∴， 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABE， ∴∠B＝∠C， ∵DF∥BE， ∴∠ADF＝∠B， ∴∠ADF＝∠C， 又∵∠A＝∠A， ∴△ADF∽△ACD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【作业15】（2024秋•崇明区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F （1）求证：△CEF是等腰三角形； （2）若AC＝3，AB＝5． ①求CE的长； ②点P是AF延长线上一点，若△CEF与△BPF相似，请直接写出FP的长． 【分析】（1）利用直角三角形性质和角平分线的条件证明∠CFA＝∠CEF，即可得出△CEF是等腰三角形； （2）①证明△CAE∽△BAF，利用相似三角形对应边成比例可求得CE的长； ②作CH⊥AF于H，证明△FCH∽△FAC，可求得FH，即可得出EF的长，再分△CFE∽△BFP和△CFE∽△PFB，分别求解即可得出FP的长． 【解答】解：（1）∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D， ∴∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠BAF， ∴∠CFA＝∠CEF， ∴CF＝CE， ∴△CEF是等腰三角形； （2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D， ∴∠ACE＝90°﹣∠BCD＝∠B， ∵∠CAF＝∠BAF， ∴△CAE∽△BAF， ∴， 设CE＝CF＝x， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝4， ∴，解得x＝1.5 ∴CE＝1.5； ②如图1，作CH⊥AF于H， ∵∠FHC＝∠ACF＝90°，∠HFC＝∠CFA， ∴△FCH∽△FAC， ∴， ∴FH， ∴EF＝2FH， 当△CFE∽△BFP时，有， ∴FP； 如图2，当△CFE∽△PFB时，有， 即，即FP． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定分类讨论思想．解题的关键是构造对应线段的两个三角形相似． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.2.1 相似三角形性质与判定 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握相似三角形的定义、基本性质（对应角相等、对应边成比例）。 熟练运用相似三角形的周长比、面积比、对应线段比等于相似比。 理解并掌握相似三角形的三种判定方法（AA、SAS、SSS）及其应用。 能利用平行线分线段成比例定理判定三角形相似。 综合运用相似三角形的性质与判定解决几何证明与计算问题。 知识梳理 · 模块一·相似三角形判定 ☆知识点1： 相似三角形的概念 1. 定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三条对应边成比例，那么称这两个三角形相似。对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。 两个三角形相似也可以表述为“两个三角形是相似三角形”或“一个三角形与另一个三角形相似”。 2. 表示方法 两个三角形中，，且 ，这时 与 相似，记作 ，读作“ 相似于 ”。（如图所示） 提醒：对应性：在书写两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。 3.相似比 两个相似三角形的对应边的比值叫作它们的相似比，通常用 表示。 如图，如果 是 的中位线， 那么： ① 与 的相似比是 ， ② 与 的相似比是2。 即如果 与 相似， 与 的相似比是 ，那么 与 的相似比是 。 三角形是相似三角形的特例。 (2)两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关。 4. 三角形相似的传递性 定理：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。（如图所示） 符号表示：∵ ☆知识点2：:相似三角形的预备定理和判定定理 1. 相似三角形的预备定理 内容 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似 简述 平行截得两个三角形相似（“A”字或“8”字） 基本图形 符号表示 ∵ DE∥BC，∴ △ABC∽△ADE ☑ 典型例题 1 如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BA 延长线上的一点，CE 交 AD 于点 F，图中有哪几对相似三角形？ 解：三对。① ， ② ， ③ 。 总结：当题目中已知线段的平行关系，或已知图形为平行四边形时，考虑用预备定理证明两个三角形相似。 2. 相似三角形判定定理（1） 内容 两角对应相等的两个三角形相似（Λ.Λ） 基本图形 符号表示 在中，∵∠A=∠，∠B=∠B1，∴ 常见图形 （隐含条件：公共角、对顶角） 提醒：A.A 是为方便记忆，书写时不使用，后同。 ( )☑ 典型例题 2 如图，在 和 中，如果 ，那么 和 相似吗？请说明理由。 解： 与 相似。理由如下： 在 中， 在 和 中， 总结：当题目中已知三角形中某两个角的度数，可利用三角形的内角和为 计算出第三个角的度数，找到另一个三角形中与这个三角形相等的两组角，从而证明两个三角形相似。 3. 相似三角形判定定理（2） 内容 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（S.A.S） 基本图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∠A=∠A1，∴ 常见图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∠A=∠A1，∴ 提醒： (1) 利用此判定定理时必须注意：满足的条件是两边对应成比例及其夹角相等，而不是某边的对角相等。 (2)一般地，当题目中既有角之间的关系，又有线段之间的比例关系时易采用此判定定理。 ☑ 典型例题 3 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2。求证：△OAB与△ODC是相似三角形。 证明：∵ OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2， ∴ ，由此得 。 在△OAB与△ODC中，∵ ∴ △OAB∽△ODC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 4. 相似三角形判定定理（3） 内容 三边对应成比例的两个三角形相似（S.S.S） 基本图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∴ 提醒：此判定定理指出要说明两个三角形相似，只需要满足三条边对应成比例。一般地，当题目中告诉线段的长度较多，或有成比例线段的图形，但又找不到角相等时，常选择此判定定理。 ☑ 典型例题 4已知：在 中，AB = 1 cm，BC = 2 cm，CA = 1.5 cm，在 中，DE = 6 cm，EF = 4 cm，FD = 8 cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 解： ∴ 在 与 中，。 ∴ 。 总结：已知两个三角形三条边的边长，要证两个三角形相似，只需证明三边对应成比例即可。用有关的边长作“比”并进行计算时，可以数形结合，用最长边比最长边，最短边比最短边，求值后判断三组边是否对应成比例即可完成证明。 ☆知识点3： 直角三角形相似的判定定理 内容 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（H.L） 基本图形 符号表示 在Rt与Rt中，∠C=∠C1=90°，∵， ∴Rt∽Rt 常见图形 （斜高图） 说明： 要说明两个直角三角形相似，只需满足斜边和一条直角边对应成比例，即仅用直角三角形的斜边和直角边也可判定。一般地，当题目中出现直角三角形时，除了前面方法外，还应考虑本方法。 该判定定理仅适用于直角三角形，运用前需先判定两个三角形是直角三角形。 ☑ 典型例题 5如图，已知：在 中，，CD 是边 AB 上的高。 求证：。 解析：要证 ，即 ，可证 。其他两个等式同理可证。 证明：∵ ，CD 是 的边 AB 上的高，在 与 中， 同理，，可得 ，即 。 易证 ，可得 ，即 。 ☑ 典型例题 6 已知：如图，在四边形 ABCD 中，，AD = 4，BC = 9，AC = 6。 求证：。 证明：∵ ， ∴ 和 都是直角三角形。 ∴ Rt△DCA ∽ Rt△ABC（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。 总结：当题目中已知直角三角形时，除了前面所述判定定理外，还可考虑直角三角形相似的判定定理。题目中给出三角形边长时，可先判断斜边和直角边，再计算对应边是否成比例，从而证明相似。其中，由已知线段长度建立比例关系是难点，可借助图形分析。 ☆知识点4： 判定三角形相似的方法选择 要证明两个三角形相似的方法有： · 方法 1：平行得相似； · 方法 2：两角对应相等得相似； · 方法 3：两边对应成比例且夹角相等得相似； · 方法 4：三边对应成比例得相似； · 直角三角形：斜边和一直角边对应成比例得相似。 解题思路： 1. 若有平行线 用方法1 1. 若已有一对角对应相等： 　　——再证一对角对应相等 → 用方法2 　　——或找夹此角的对应边成比例 → 用方法3 1. 若可找到两组边成比例： 　　——再证夹角相等 → 用方法3 　　——或看第三组边的比 → 用方法4 1. 直角三角形： 　　——斜边和一直角边对应成比例得相似 　　——一对锐角相等 → 用方法2 　　——两条直角边对应成比例 → 用方法3 提醒： 1. 定义法（三个角对应相等，三边对应成比例）一般不常用。 1. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（斜高图，常用但需证明）。 ☆知识点5： 相似三角形与全等三角形之间的联系与区别 两个全等三角形 两个相似三角形 相同点 形状相同，对应角相等 形状相同，对应角相等 不同点 大小相等，对应边相等 大小不等，对应边成比例 联系 全等是特殊的相似 当比例系数是1时，两个相似三角形全等 判定方法 边边边(S.S.S)、边角边(S.A.S)、角边角(A.S.A)、角角边(A.A.S)、斜边直角边(H.L) 边边边(S.S.S)、边角边(S.A.S)、角角(A.A)、斜边直角边(H.L) 核心考点 ·典型考点精讲 1．（2026春•浦东新区校级月考）△ABC中，若BC＝54，AB＝63，CA＝45，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（　　） A．63 B．54 C．45 D．162 2．（2026春•青浦区校级期中）已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 3．（2025秋•宝山区期末）我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屈内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是（　　） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 4．（2025秋•静安区期末）已知一个三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一个三角形最短边的长为6cm，那么另一个三角形的周长为（　　） A．12cm B．24cm C．36cm D．48cm 5．（2025秋•虹口区校级月考）如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：3，那么下列等式一定成立的是（　　） A．BC：DE＝1：3 B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：3 C．∠A的度数：∠D的度数＝1：3 D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3 6．（2025秋•上海校级月考）已知△A1B1C1∽△A2B2C2∽△A3B3C3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1，△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为3：1，那么△A3B3C3与△A2B2C2的相似比为（　　） A．1：6 B．2：3 C．3：2 D．6：1 7．（2025秋•闵行区校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，如果△OBC∽△CBD，那么BD：BC的比值为（　　） A． B． C．2 D． 8．（2025•奉贤区三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似．那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图1，在△ABC中，DB＝2，BC＝4，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，那么CD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025秋•黄浦区期末）已知△ABC与△DEF相似，相似比为，如果△DEF的面积是36，那么△ABC的面积是　 　 ． 10．（2025秋•松江区期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，点P、Q分别在边AB、BC上，如果△ACQ与△BPQ相似，且△APQ是等腰三角形，那么的值是　 　 ． 11．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝5，AD＝4，CD＝0.8，∠A＝∠D＝120°，在边AD上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为　 　 ． 12．（2025秋•浦东新区校级月考）两个相似三角形对应中线之比是2：5，它们的面积差是63cm2，则较大三角形的面积是 　 　 cm2． 13．（2025秋•路南区期末）如图，△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝40°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长． 14．（2025秋•宜昌期末）△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长； （2）△A′B′C′的周长； （3）△ABC的面积． 知识梳理 · 模块二·相似三角形性质 ☆ 知识点1. 相似三角形的性质 性质1： 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2： 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 性质3： 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 · 相似比：两个相似三角形对应边的比。 · 面积比与相似比的关系：，其中 为相似比。 ☑ 典型例题 1 题目： 已知△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 解析： 相似三角形周长比等于相似比，设△DEF周长为 ，则 ，解得 。 答案： A ☆ 知识点2. 相似三角形的面积比 定理： 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 · 即：若 ，相似比为 ，则 。 · 应用：已知相似比求面积，或已知面积比求相似比。 ☑ 典型例题 2 题目： 如果△ABC∽△DEF，相似比为2:1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 解析： 面积比等于相似比的平方，即 ，所以 。 答案： D ☆ 知识点3. 相似三角形判定与性质综合 在几何证明和计算中，常先利用判定定理证明三角形相似，再利用性质定理（对应边成比例、周长比、面积比）求解。 · 常用模型：A字型、X字型、子母型等。 · 注意等量代换和比例中项的运用。 ☑ 典型例题 3 题目： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（ ） 解析： 由射影定理或相似三角形，可证△ADC∽△CDB，周长比等于相似比，即 ，得 ，再由射影定理或勾股定理求 。 ☆ 知识点4. 相似三角形的应用 利用相似三角形解决实际问题，如测量高度、距离、杠杆原理、小孔成像等。 · 关键：构造相似三角形，建立比例关系。 · 注意：实际测量中常需要将实际问题抽象成数学模型。 ☑ 典型例题 4 题目： 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为6cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（示意图） 解析： 设像 CD 的高度为 。 由题意及小孔成像原理可知， 根据相似三角形对应边成比例，得： 即： 解得 = 1 。 故像 CD 的高度为 1 cm。 故选 D。 核心考点 ·典型考点精讲 15．（2025秋•宝山区校级期末）关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想．下列说法中正确的是（　　） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②两高及一底边对应成比例的两个等腰三角形相似． A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②均正确 D．①②均错误 16．（2026春•青浦区校级期中）下列条件中，不能判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　） A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B' B． C．，且∠B＝∠B′ D．，且∠C＝∠C′ 17．（2026•宝山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边的中点，沿着过点D的某条直线将△ABC剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（　　）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 18．（2024秋•嘉定区校级月考）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中正确的个数是（　　） ①△ACM∽△ABD； ②△ACE∽△ABC； ③△AEM∽△CDM； ④△AME∽△ACD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2026春•闵行区校级单元）如图，方格纸中有△ABC与△DEF，其中△ABC的一边与△DEF的一边和方格线重合．下列判断正确的是（　　） A．一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B．一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C．不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D．不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 20．（2025秋•崇明区期末）在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，根据下列条件，一定能判断△ABC和△DEF相似的是（　　） A． B． C．∠B＝∠D D．∠C＝∠E 21．（2025秋•金山区校级月考）△ABC中，D、E分别在AB、AC上，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（　　） A． B． C． D．∠B＝∠ACD 22．（2026春•浦东新区校级月考）如图所示，有△ABC和△ADE，小嘉同学欲添加两个条件使得△ABC∽△ADE，现有三个条件可供他选择：①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③．则正确的组合可以是　 　 （填序号）（请写出所有组合方式）． 23．（2025秋•闵行区校级月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，点P1、P2、P3、P4、P5、A、C是△ABC边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似，符合题意的三角形共有 　 　 个． 24．（2025秋•浦东新区期中）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”． 例如：如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．可证得△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．如图2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数为　 　 ． 25．（2025秋•嘉定区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，点P（与点B不重合）是边AB上的一点，那么当AC与AP、AB满足　 　 时，△ABC与△ACP相似． 26．（2025秋•浦东新区校级月考）如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA． 27．（2025•杨浦区校级开学）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D在BC边上，且∠CAD＝∠B． （1）根据条件画出图形，并求AD的长； （2）取AD、AB的中点E、F，连接CE、CF、EF．求证：△CEF∽△ADB． 28．（2024秋•黄浦区期中）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC． （1）求证：； （2）如果，求证：△ABE∽△ACB． 29．（2025秋•金山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD．求证：△ABE∽△DCE． 30．（2026春•栖霞市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接DE，且DE∥AB，点F在DC上，且． （1）求证：； （2）若CF＝4，DF＝8，，求证：△DCE∽△ACD． 31．（2026春•青浦区校级期中）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AF＝CE，对角线BD分别交EC、AF于点M、N，联结AM、CN． （1）求证：四边形AMCN是菱形； （2）过点C作CP⊥CE交BD的延长线于点P，如果CM2＝MN•NB，求证：△NCD∽△NPC． 随堂检测 · 精选练习 32．（2026•紫金县校级二模）若△ABC∽△DEF，它们的面积比为9：4，则对应高的比为 　 　 ． 33．（2026春•姑苏区期末）已知△ABC∽△DEF，对应中线的比是2：3．若△ABC的周长是8，则△DEF的周长是　 　 ． 34．（2026•芒市校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，则的比值为　 　 ． 35．（2024秋•奉贤区校级月考）在直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，则点D的坐标为 　 　 ． 36．（2025秋•浦东新区期中）已知△A1B1C1∽△ABC，相似比为3：2；△ABC∽△A2B2C2，相似比为4：3，那么△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为　 　 ． 37．（2025秋•浦东新区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点E在边BC上，若以点A、B、E为顶点的三角形与△ECD相似，则BE＝ 　 　 ． 38．（2025秋•上海校级月考）P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多几条？　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 💡 复习建议 熟记性质与判定：相似三角形的性质（周长比、面积比、对应线段比）和判定定理（AA、SAS、SSS）是基础，需熟练运用。 强化对应关系：在相似三角形中，对应顶点、对应边、对应角要准确无误，避免混淆。 善用平行线：平行线分线段成比例是构造相似三角形的重要工具，注意基本图形（A型、X型）。 综合训练：将相似与勾股定理、面积法、方程思想结合，提升综合解题能力。 错题整理：重点整理判定条件遗漏、对应边成比例写反等典型错误。 【作业1】（2025秋•崇明区期末）如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【作业2】（2025秋•闵行区校级月考）如果两个相似三角形的周长比为1：3，那么它们的对应中线的比为（　　） A． B．1：3 C．1：9 D．1：81 【作业3】（2025春•闵行区校级月考）已知两个相似三角形的对应边的比为5：1，则它们的周长之比为（　　） A．1：5 B．5：1 C．25：1 D．1：25 【作业4】（2025秋•奉贤区期中）如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A．0＜CP≤1 B．0＜CP≤2 C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜8 【作业5】（2024秋•青浦区期中）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【作业6】（2024秋•闵行区期中）如图，在正方形ABCD中，点E，M是边AD，CD上的点，BE，BM与AC交于点F，G．如果∠EBM＝45°，那么下列结论中，错误的是（　　） A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABG∽△CFB D．△ABF∽△CBG 【作业7】（2025秋•青浦区期末）已知BD是四边形ABCD的对角线，∠BDC＝∠A，下列补充的条件中，不能判定△ABD和△BCD相似的是（　　） A．∠ABD＝∠CBD B．∠ADB＝∠C C．AB•DC＝AD•DB D．BD2＝AD•CD 【作业8】（2026•浦东新区校级模拟）一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形　 　 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）． 【作业9】（2025秋•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC上，当AE＝　 　 cm时，使得△ADE与△ABC相似． 【作业10】（2025秋•宝山区校级月考）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，∠A′＝45°，A′B′＝16cm，那么A′C′＝　 　 时，△ABC与△A′B′C′相似． 【作业11】（2024秋•虹口区校级月考）在△ABC中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过 　 　 秒之后，△PBQ与△ABC相似． 【作业12】（2024秋•虹口区校级月考）已知在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，A（﹣3，0），C（1，0），B（1，3）．在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），则点D的坐标为 　 & 【作业13】（2025秋•浦东新区校级月考）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD． 【作业14】（2024秋•嘉定区期中）如图，点D、E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD•AB＝AE•AC，DF∥BE．求证：△ADF∽△ACD． 【作业15】（2024秋•崇明区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 （1）求证：△CEF是等腰三角形； （2）若AC＝3，AB＝5． ①求CE的长； ②点P是AF延长线上一点，若△CEF与△BPF相似，请直接写出FP的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $