第10讲 相似三角形的性质（精讲+典例+练习）【暑假预习】高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第10讲 相似三角形的判定与性质【精讲+典例+练习】 高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解相似三角形的性质，掌握对应边成比例、对应角相等。 · 掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系。 · 能灵活运用相似三角形的性质求线段长、周长、面积。 · 能综合运用相似三角形的判定与性质解决几何证明与计算问题。 · 体会相似三角形在测量、物理等实际问题中的应用。 ☆ 1. 相似三角形的性质 性质1： 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2： 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 性质3： 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 · 相似比：两个相似三角形对应边的比。 · 面积比与相似比的关系：，其中 为相似比。 ☑ 典型例题 1 题目： 已知△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 解析： 相似三角形周长比等于相似比，设△DEF周长为 ，则 ，解得 。 答案： A ☆ 2. 相似三角形的面积比 定理： 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 · 即：若 ，相似比为 ，则 。 · 应用：已知相似比求面积，或已知面积比求相似比。 ☑ 典型例题 2 题目： 如果△ABC∽△DEF，相似比为2:1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 解析： 面积比等于相似比的平方，即 ，所以 。 答案： D ☆ 3. 相似三角形判定与性质综合 在几何证明和计算中，常先利用判定定理证明三角形相似，再利用性质定理（对应边成比例、周长比、面积比）求解。 · 常用模型：A字型、X字型、子母型等。 · 注意等量代换和比例中项的运用。 ☑ 典型例题 3 题目： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（ ） 解析： 由射影定理或相似三角形，可证△ADC∽△CDB，周长比等于相似比，即 ，得 ，再由射影定理或勾股定理求 。 ☆ 4. 相似三角形的应用 利用相似三角形解决实际问题，如测量高度、距离、杠杆原理、小孔成像等。 · 关键：构造相似三角形，建立比例关系。 · 注意：实际测量中常需要将实际问题抽象成数学模型。 ☑ 典型例题 4 题目： 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为6cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（示意图） 解析： 设像 CD 的高度为 。 由题意及小孔成像原理可知， 根据相似三角形对应边成比例，得： 即： 解得 = 1 。 故像 CD 的高度为 1 cm。 故选 D。 ☆ 知识总结表 核心概念 性质/定理 注意事项 相似三角形性质 对应边成比例，对应角相等 对应关系要准确 周长比 周长比等于相似比 相似比 面积比 面积比等于相似比的平方 对应线段比 高、中线、角平分线比等于相似比 对应线段 应用 测量、小孔成像、杠杆原理 构造相似三角形 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】由相似三角形的性质求线段长（第1–6题） · 利用相似三角形对应边成比例建立方程。 · 注意对应边、对应角要找准。 · 常需分类讨论（如对应关系不明确时）。 1．（2025秋•浦东新区校级月考）已知△ABC的三边长分别是2，5，6，△DEF的三边长如以下四个选项所列，若要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边长分别是（　　） A．3，6，7 B．18，6，15 C．3，8，9 D．10，12，8 2．（2026春•青浦区校级期中）已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 3．（2024秋•浦东新区校级月考）△ABC的三边AB、AC、BC的长分别是6、7、8，边AB上有一点M，AM＝2，过点M的直线截△ABC其它边的交点是点N，如果截得的△AMN相似于△ABC，那么CN的长为　 　 ． 4．（2026春•南京月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，AD＝2cm，点E在AC上．若△ADE与△ABC相似，则AE＝　 　 cm． 5．（2026•新华区二模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点B向点C运动．当BD＝1时，则CE＝　 　 ；设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　 　 ． 6．（2025秋•黔江区期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上任意一点，连接AE，DE． （1）若△ABE∽△ECD，AE＝6，DE＝8，点F是AD的中点，连接EF，求EF的长； （2）若∠BAE＝∠CED，AB＝2，BC＝5，求BE的长． 【考点2】由相似三角形的性质求图形的面积（第7–13题） · 利用面积比等于相似比的平方。 · 结合等底或等高三角形面积关系。 7．（2026春•江北区校级期中）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是∠BAC与∠B′A′C′的角平分线，AD＝4，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（　　） A．4：3 B．7：3 C．16：9 D．4：7 8．（2026•广州校级模拟）如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 9．（2026•宝应县一模）如果△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△DEF的面积为2，那么△ABC的面积为（　　） A．6 B．18 C． D． 10．（2025秋•尉氏县月考）若△ABC∽△DEF，且，则S△DEF＝　 　 ． 11．（2026•安阳县一模）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在Rt△ABC中，，，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，则四边形ACBD的面积为　 　 ． 12．（2025秋•霍邱县期中）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的相似比为2：3． （1）已知AE＝4，求AC的长； （2）已知△ADE的面积是8，求四边形BCED的面积． 13．（2025秋•怀宁县期中）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，若△ADE与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED＝4：21，求AD的长． 【考点3】相似三角形判定与性质综合（第14–27题） · 先判定相似，再运用性质求值。 · 常见模型：A字型、X字型、子母型。 · 注意全等与相似的结合。 14．（2026•宝山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果，AD＝9，那么BC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 15．（2025秋•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是正方形，点F、G在边BC上，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 16．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E为OC的中点，过点E作EF∥AB，已知AC＝6，BD＝10，则EF的长为（　　） A． B． C． D．1 17．（2025秋•虹口区月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 18．（2026春•青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边上的中点，点G为△ABC的重心，那么CG＝　 　 ． 19．（2026•静安区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是　 　 ． 20．（2026春•青浦区校级月考）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，且BE：ED＝1：3，AB＝4cm，则BD＝　 　 cm． 21．（2026春•浦东新区校级月考）如图，若DE∥BC，且，则　 　 ． 22．（2026春•浦东新区期中）如图，四边形ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10：7．上底AB与下底CD的长度之比为　 　 ． 23．（2026•上海）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F． （1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点； （2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD•BG＝BH•BF． 24．（2026•长宁区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G在边BC上，联结AG交BD于点F，若AO2＝OF•OB． （1）求证：△AOF∽△DOC； （2）若AG⊥BC，求证：四边形ABCD是菱形． 25．（2026•长宁区二模）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F与点C不重合），且∠EAF＝45°． （1）求证：AF•BE＝AE•CF； （2）在图中延长AE与BC交于点H，如果，求证：BH＝DF． 26．（2026•金山区校级模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G． （1）求证：CE＝CF； （2）如果FG2＝AG•DG，求证：． 27．（2026•奉贤区三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，M为边AB的中点，点N在边AC上，MN∥BC，交AD于点E，联结DM、DN． （1）求证：四边形AMDN是矩形． （2）联结BE，交DM于点F．如果DF＝EF，求证：BD•BC＝2BF•BE． 【考点4】相似三角形应用（第28–36题） · 将实际问题抽象为相似三角形模型。 · 建立比例式，代入数据求解。 · 注意单位统一。 28．（2025秋•奉贤区期末）一个三角形框架模型的边长分别为20cm、30cm、40cm，工人师傅要利用两根30cm和50cm的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（　　） A．80cm B．67.5cm C．60cm D．52.5cm 29．（2026•南岗区校级二模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 30．（2025秋•闵行区期末）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的　 　 （填“几分之几”）． 31．（2025秋•金山区期末）为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆．大标牌的涂漆厚度与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为1：2，如果其中一块小标牌涂满漆用了半听环保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆　 　 听． 32．（2025秋•杨浦区期中）如图是一个圆形零件的剖面图，已知零件的外直径为25毫米，为求出它的壁的厚度x，需知内孔的直径AB，但由于不能直接量出AB，因此用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量．如果，且量得CD长为7毫米，那么零件的壁的厚度x是　 　 毫米． 33．（2025•浦东新区校级模拟）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米． （1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE； （2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 34．（2025秋•上海校级期中）请根据以下素材，完成探究任务． 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中相应的“E”，并依次编号①、②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动直至从观测点O看去，对应顶点P1、P2、O在一条直线上为止．这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同． 素材2 为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但书房空间过小，他想到一个方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表（AB）与平面镜（MN），由平面镜成像原理作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A、B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（AB）就可以计算出镜长MN 任务 （1）若b1＝1.6cm，b2＝1cm，①号“E”的测量距离l1＝40cm，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离l2． （2）小明的方法中如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米． 35．（2026春•静安区期中）电阻是表示导体对电流的阻碍作用大小的物理量，通常用符号R表示，电阻在国际单位制中的单位是欧姆，简称欧，符号是Ω，电阻值一般为非负数．如图，为一测量电路，Rx，Ry均为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表．若调节Rx的电阻大小，可使得电流表读数为0，此时的电阻R对整个电路没有影响，电路中的其他电阻满足，这个现象叫做电桥平衡．现已知R1＝4Ω，R2＝9Ω．诗诗发现Ry＝Rx时，出现了电桥平衡，贝贝将Ry调大了6Ω，若诗诗想通过调节Rx再次实现电桥平衡，则需要将Rx的电阻大小怎么调整？ 36．（2025•碑林区校级模拟）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 随堂检测 · 精选练习 练习1：相似三角形求线段 练习2：相似三角形求边长 练习3：相似三角形面积比 练习4：相似三角形与圆 练习5：相似三角形综合 练习6：相似三角形面积 练习7：相似三角形判定综合 练习8：相似三角形新定义 【练习1】（2026春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，D是AB上的一点，∠ACD＝∠B，AC＝4，AB＝8，则AD＝　 　 ． 【练习2】（2022秋•金山区校级期末）如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，如果，AB＝6，那么AE＝　 　 ． 【练习3】（2026春•崇明区期中）如图，AD与BC相交于点O，，，则　 　 ． 【练习4】（2026•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D，E分别在边AC、BC上，且的值为．以E为圆心，ED为半径作圆，如果⊙E与△ABC的三边有三个公共点，那么CD的值为　 　 ． 【练习5】（2026•虹口区三模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，点E是对角线BD上一点，联结AE、EC，AE＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）延长AE交边BC于点F，当BD•BE＝2BF•CD时，求证：AF⊥BC． 【练习6】（2026春•徐汇区校级月考）如图，已知点D、E分别是△ABC边AB、AC上的两点，DE∥BC，AD＝3，BD＝4，CD和BE相交于点O，且S△DOE＝3，求△BOC与△BCD的面积． 【练习7】（2025秋•普陀区期末）已知：如图，四边形ABCD中，点E在边BC上，DE交AC于点F，∠AED＝∠B，AE2＝AF•AC． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）如果，求证：DE•AC＝AE•BC． 【练习8】（2026•金山区二模）在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点M、N（BM＜BN且点M、N分别与点B、D不重合），使AN∥CM，甲、乙、丙分别提出方案（如图）． （1）选择其中一种正确的方案进行证明：AN∥CM； （2）根据你在（1）中选择的方案，延长AN交边CD于点P，若∠DPN＝∠DNC，求证：AB2＝BM•DM． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：小孔成像 作业2：平行四边形相似 作业3：平行线分线段成比例 作业4：相似三角形周长 作业5：网格中相似比 作业6：斜边上的高 作业7：相似三角形求边长 作业8：动点与平行四边形 作业9：矩形内接三角形 作业10：平行四边形与相似 作业11：三角形内角平分线 作业12：角平分线平行线 作业13：相似三角形求线段 作业14：相似三角形证明 作业15：菱形证明 作业16：平行四边形与相似 ❤ 复习建议 熟记性质： 对应边成比例、对应角相等，周长比、面积比与相似比的关系。 灵活转化： 注意相似比与面积比的相互转化，常用于求面积或边长。 模型识别： 熟练掌握A字型、X字型等基本图形，便于快速判定相似。 实际应用： 将实际问题抽象为相似三角形，建立比例方程求解。 综合提升： 结合全等、平行四边形、圆等知识，培养综合解题能力。 【作业1】（2025秋•宝山区期末）我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屈内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是（　　） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 【作业2】（2025秋•浦东新区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于F点，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【作业3】（2025秋•闵行区期末）如图，已知△ABC，直线l1与边AB、AC分别相交于点D、E，直线l2与边AB、AC分别相交于点F、G，l1∥l2∥BC，那么下列比例式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2025秋•静安区期末）已知一个三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一个三角形最短边的长为6cm，那么另一个三角形的周长为（　　） A．12cm B．24cm C．36cm D．48cm 【作业5】（2025秋•虹口区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格点上，联结AB、CD交于点E，那么的值是　 　 ． 【作业6】（2026春•徐汇区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，，AB＝5，那么CD的长是 　 　 ． 【作业7】（2025秋•宝山区校级期末）在△ABC中，点E和点F分别在边AB和AC上，若△ABC与△AEF相似，且满足AB＝12，AC＝9，AE＝4，EF＝5，则BC的长为　 　 ． 【作业8】（2026春•杨浦区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝12cm，AD＝18cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点B运动，　 　 s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 【作业9】（2026春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设EF为x，矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数关系式是　 　 ． 【作业10】（2026春•闵行区校级单元）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．若AB＝4，AD＝6，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，则AE的长为　 　 ． 【作业11】（2025秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，D、E分别是边AB、AC上的点，满足，若E为中点，且∠ADE＝50°，那么的值为　 　 ． 【作业12】（2025秋•普陀区期末）如图，△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N分别在边AB、AC上．过点O的线段MN∥BC．如果AB＝5，AC＝4，BC＝6，那么MN＝　 　 ． 【作业13】（2025秋•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC， （1）若AD＝3，DB＝2，DE＝6，求BC的长； （2）若S△ADE＝9，S△ABC＝25，求AD：AB的值． 【作业14】（2026•普陀区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，DC2＝CE•CB，∠CED＝∠ABD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）联结AC交BD于点O，联结OE．如果BE•AD＝BD•AB，求证：EO⊥BD． 【作业15】（2026•青浦区二模）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G，且DG2＝GE•GA． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AE＝3EG，求证：点E是边CD的中点． 【作业16】（2026•奉贤区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF交BD于点E、交BC于点F，且BE＝BF，∠BAF＝∠DAC． （1）如果AE＝CF，求证：∠ABC＝∠ACB； （2）联结OF．如果OF2＝EF•AF，求证：F是BC的中点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 相似三角形的判定与性质【精讲+典例+练习】 高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解相似三角形的性质，掌握对应边成比例、对应角相等。 · 掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系。 · 能灵活运用相似三角形的性质求线段长、周长、面积。 · 能综合运用相似三角形的判定与性质解决几何证明与计算问题。 · 体会相似三角形在测量、物理等实际问题中的应用。 ☆ 1. 相似三角形的性质 性质1： 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2： 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 性质3： 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 · 相似比：两个相似三角形对应边的比。 · 面积比与相似比的关系：，其中 为相似比。 ☑ 典型例题 1 题目： 已知△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 解析： 相似三角形周长比等于相似比，设△DEF周长为 ，则 ，解得 。 答案： A ☆ 2. 相似三角形的面积比 定理： 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 · 即：若 ，相似比为 ，则 。 · 应用：已知相似比求面积，或已知面积比求相似比。 ☑ 典型例题 2 题目： 如果△ABC∽△DEF，相似比为2:1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 解析： 面积比等于相似比的平方，即 ，所以 。 答案： D ☆ 3. 相似三角形判定与性质综合 在几何证明和计算中，常先利用判定定理证明三角形相似，再利用性质定理（对应边成比例、周长比、面积比）求解。 · 常用模型：A字型、X字型、子母型等。 · 注意等量代换和比例中项的运用。 ☑ 典型例题 3 题目： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（ ） 解析： 由射影定理或相似三角形，可证△ADC∽△CDB，周长比等于相似比，即 ，得 ，再由射影定理或勾股定理求 。 ☆ 4. 相似三角形的应用 利用相似三角形解决实际问题，如测量高度、距离、杠杆原理、小孔成像等。 · 关键：构造相似三角形，建立比例关系。 · 注意：实际测量中常需要将实际问题抽象成数学模型。 ☑ 典型例题 4 题目： 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为6cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（示意图） 解析： 设像 CD 的高度为 。 由题意及小孔成像原理可知， 根据相似三角形对应边成比例，得： 即： 解得 = 1 。 故像 CD 的高度为 1 cm。 故选 D。 ☆ 知识总结表 核心概念 性质/定理 注意事项 相似三角形性质 对应边成比例，对应角相等 对应关系要准确 周长比 周长比等于相似比 相似比 面积比 面积比等于相似比的平方 对应线段比 高、中线、角平分线比等于相似比 对应线段 应用 测量、小孔成像、杠杆原理 构造相似三角形 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】由相似三角形的性质求线段长（第1–6题） · 利用相似三角形对应边成比例建立方程。 · 注意对应边、对应角要找准。 · 常需分类讨论（如对应关系不明确时）。 1．（2025秋•浦东新区校级月考）已知△ABC的三边长分别是2，5，6，△DEF的三边长如以下四个选项所列，若要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边长分别是（　　） A．3，6，7 B．18，6，15 C．3，8，9 D．10，12，8 【答案】B 【分析】根据三角形ABC的三边长为2，5，6可得出，由相似三角形的三边对应成比例可得出答案． 【解答】解：∵△ABC的三边长分别为2，5，6，且， ∴要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边长分别为6，15，18． 故选：B． 【点评】本题考查了对相似三角形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的三边对应成比例是解题的关键． 2．（2026春•青浦区校级期中）已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长的比等于相似比计算即可求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：3， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝2：3， ∵△ABC的周长为8，设△DEF的周长为x， ∴8：x＝2：3， 即2x＝8×3， 解得x＝12． 故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键． 3．（2024秋•浦东新区校级月考）△ABC的三边AB、AC、BC的长分别是6、7、8，边AB上有一点M，AM＝2，过点M的直线截△ABC其它边的交点是点N，如果截得的△AMN相似于△ABC，那么CN的长为　或　 ． 【答案】或． 【分析】当点N在BC上时，△AMN不可能相似于△ABC，故只需分两种情况：①△AMN∽△ABC，②△AMN∽△ACB，进行讨论，再利用相似三角形的性质得出答案，主要利用了相似三角形的对应边成比例，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 【解答】解：当点N在BC上时，△AMN不可能相似于△ABC； 当点N在AC上时，分情况讨论如下： ①如图，△AMN∽△ABC， ∴， ∵AM＝2，AC＝7，AB＝6， ∴， 解得， ∴． ②如图，△AMN∽△ACB， ∴， ∵AM＝2，AC＝7，AB＝6， ∴， 解得， ∴， ∴CN为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，正确分情况讨论是解题关键． 4．（2026春•南京月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，AD＝2cm，点E在AC上．若△ADE与△ABC相似，则AE＝　或　 cm． 【答案】或． 【分析】分两种情况讨论①DE∥BC，②∠ADE＝∠C，先证明△ADE∽△ABC，再通过对应线段成比例，求出AE，综合两种情况，得到AE的值． 【解答】解：分两种情况讨论： ①DE∥BC，如图1， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AB＝6cm，AC＝8cm，AD＝2cm， ∴； ②∠ADE＝∠C，如图2， ∵∠DAE＝∠CAB，∠C＝∠ADE，AB＝6cm，AC＝8cm，AD＝2cm， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 综上所述，AE的值为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． 5．（2026•新华区二模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点B向点C运动．当BD＝1时，则CE＝　　 ；设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　4　 ． 【答案】，4． 【分析】证明△BAD∽△CAE，推出，可得结论；证明∠DCE＝90°，推出CPDE，求出DE的最小值，可得结论． 【解答】解：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，，℃ ∴△BAD∽△CAE， ∴， ∵BD＝1． ∴CE， ∵△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵DP＝PE， ∴CPDE， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小， ∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°， ∴BC10， 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD， ∴DEAD＝8， ∴CP的最小值为8＝4， 故答案为：，4． 【点评】本题考查相似三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 6．（2025秋•黔江区期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上任意一点，连接AE，DE． （1）若△ABE∽△ECD，AE＝6，DE＝8，点F是AD的中点，连接EF，求EF的长； （2）若∠BAE＝∠CED，AB＝2，BC＝5，求BE的长． 【答案】（1）5； （2）1或4． 【分析】（1）根据△ABE∽△ECD可推断出∠AED＝90°，使用勾股定理计算出AD，结合点F是AD的中点可得，； （2）设BE＝x，则EC＝BC﹣BE＝5﹣x，结合矩形的性质和∠BAE＝∠CED可证明△ABE∽△ECD，则，解方程求出x的值即可． 【解答】解：（1）∵△ABE∽△ECD， ∴∠BAE＝∠CED（相似三角形对应角相等）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝180°﹣∠B＝90°， ∴∠AEB+∠CED＝∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠CED＝180°﹣90°＝90°， 在直角△ADE中，， ∵点F是AD的中点， ∴； （2）设BE＝x，则EC＝BC﹣BE＝5﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝2， ∵∠BAE＝∠CED， ∴△ABE∽△ECD， ∴（相似三角形对应边成比例），即BE•EC＝AB•CD， ∴x（5﹣x）＝4， 解得，x1＝1，x2＝4， ∴BE＝1或4． 【点评】本题考查相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键． 【考点2】由相似三角形的性质求图形的面积（第7–13题） · 利用面积比等于相似比的平方。 · 结合等底或等高三角形面积关系。 7．（2026春•江北区校级期中）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是∠BAC与∠B′A′C′的角平分线，AD＝4，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（　　） A．4：3 B．7：3 C．16：9 D．4：7 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，然后再代入数据即可解答． 【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD＝4，A′D′＝3，AD和A′D′分别是∠BAC与∠B′A′C′的角平分线， ∴， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为 ． 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解题的关键． 8．（2026•广州校级模拟）如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1， ∴△ABC和△DEF的面积比为4：1，又△DEF的面积为4， ∴△ABC的面积为16． 故选：D． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 9．（2026•宝应县一模）如果△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△DEF的面积为2，那么△ABC的面积为（　　） A．6 B．18 C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1， ∴△ABC与△DEF的面积比为9：1， ∵△DEF的面积为2， ∴△ABC的面积为18， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 10．（2025秋•尉氏县月考）若△ABC∽△DEF，且，则S△DEF＝　27　 ． 【答案】27． 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且， ∴， ∴， 则S△DEF的值为27， 故答案为：27． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是相似三角形性质的熟练掌握． 11．（2026•安阳县一模）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在Rt△ABC中，，，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，则四边形ACBD的面积为　或　 ． 【答案】或． 【分析】如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F，构造矩形CEDF．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝4，BC＝2．再由垂等四边形ACBD的性质知．分两种情况：①当△ACB∽△BED时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果；②当△ACB∽△DEB时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∴∠DFC＝90°， ∵∠FCE＝∠DEC＝90°， ∴四边形CEDF为矩形， ∵， ∴AC＝2CB． ∵， ∴AC2+BC2＝AB2，即（2BC）2+CB2＝20， 解得：BC＝2（负值已舍去）， ∴AC＝4， ∵四边形ACBD为垂等四边形， ∴． ①当△ACB∽△BED时，， ∴， 设DE＝x，则BE＝2x， ∴CE＝2+2x． 在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2，即（2+2x）2+x2＝20， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB ； ②当△ACB∽△DEB时，， ∴， 设BE＝y，则DE＝2y， ∴CE＝2+y． 根据勾股定理得，（2+y）2+（2y）2＝20， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB， ∴综上所述，四边形ACBD的面积为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 12．（2025秋•霍邱县期中）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的相似比为2：3． （1）已知AE＝4，求AC的长； （2）已知△ADE的面积是8，求四边形BCED的面积． 【答案】（1）AC＝6； （2）10． 【分析】（1）根据△ADE∽△ABC，得到，然后求值即可； （2）根据三角形相似其面积比等于相似比的平方，据此，可以得到△ABC的面积，从而求出四边形BCED的面积． 【解答】解：（1）∵△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的相似比2：3， ∵， ∵AE＝4， ∴AC＝6； （2）∵△ADE∽ABC，且△ADE与△ABC的相似比2：3， ∴， ∵△ADE的面积是8， ∴△ABC的面积为18， 则四边形BCED的面积是：18﹣8＝10． 【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 13．（2025秋•怀宁县期中）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，若△ADE与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED＝4：21，求AD的长． 【答案】或2． 【分析】先根据题意得到S△ADE：S△ABC＝4：21，再分当△ADE∽△ABC时，当△ADE∽△ACB时，两种情况根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行讨论求解即可． 【解答】解：如图， ∵S△ABC＝S△ADE+S四边形BCED，S△ADE：S四边形BCED＝4：21， ∴S△ADE：S△ABC＝4：25， 当△ADE∽△ABC时，则， ∴AD：AB＝2：5， ∴AD：6＝2：5， 解得； 当△ADE∽△ACB时，则， ∴AD：AC＝2：5， ∴AD：5＝2：5， 解得AD＝2； 综上所述，AD的值为或2， 【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【考点3】相似三角形判定与性质综合（第14–27题） · 先判定相似，再运用性质求值。 · 常见模型：A字型、X字型、子母型。 · 注意全等与相似的结合。 14．（2026•宝山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果，AD＝9，那么BC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 【答案】C 【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB， ∴△ADC∽△CDB， ∴，， ∴，即， 解得，CD＝6， ∴， 解得，BD＝4， ∴BC2， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．（2025秋•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是正方形，点F、G在边BC上，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】C 【分析】由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，即可求解． 【解答】解：∵四边形DEGF是正方形， ∴DE∥BC，DF∥EG， ∵AN∥DF， ∴AN∥EG∥DF， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∵AN∥DF， ∴△BDF∽△BAN， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 16．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E为OC的中点，过点E作EF∥AB，已知AC＝6，BD＝10，则EF的长为（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出AB＝4，再证明△CEF∽△CAB，进而即可求解． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝10， ∴，． ∵AC⊥AB， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ∵点E为OC的中点， ∴， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴，即， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 17．（2025秋•虹口区月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【解答】解：A．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC， ∵CD∥AB， ∴， ∵AB＝CD， ∴，正确； B．∵AE∥BC， ∴， ∵AD＝BC， ∴，正确； C．∵AE∥BC， ∴， 即， ∵AB＝CD， ∴， ∴，错误． D．∵AE∥BC， ∴，正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 18．（2026春•青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边上的中点，点G为△ABC的重心，那么CG＝　　 ． 【答案】． 【分析】由勾股定理可得AB＝10，由直角三角形的性质可得，延长CD至点E，使得DE＝DC，连接BE，△ADC≌△BDE（SAS），则DE＝AC，∠E＝∠DCA，AC∥BE，连接AG并延长交BC于点H，延长AH交EB于点F，由三角形重心的性质可得BH＝CH，证明△AHC≌△FHB（AAS），得出BF＝AC，从而可得EF＝BE+BF＝2AC，再证明△ACG∽△FEG，由相似三角形的性质即可得出结果． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠ACB＝90°，AC＝8， ∴， ∵点D为斜边上的中点， ∴， 如图：延长CD至点E，使得DE＝DC，连接BE， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴∠E＝∠DCA，DE＝AC， ∴AC∥BE， 连接AG并延长交BC于点H，延长AH交EB于点F， ∵点G为△ABC的重心， ∴AH为△ABC的中线， ∴BH＝CH， ∵AC∥BE， ∴∠F＝∠CAH， ∵∠AHC＝∠FHB， ∴△AHC≌△FHB（AAS）， ∴BF＝AC， ∴EF＝BE+BF＝2AC， ∵AC∥BE， ∴△ACG∽△FEG， ∴， ∵EG＝ED+DG＝CD+DG＝CD+CD﹣CG＝2CD﹣CG， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 19．（2026•静安区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是　　 ． 【答案】． 【分析】根据矩形的性质结合勾股定理求出DE长，证明△EFC∽△AFB，则，据此求解即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝AE＝5，BC＝3， ∴∠D＝∠B＝∠ECF＝90°，AD＝BC＝3，AB＝DC＝5， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：， ∴EC＝DC﹣DE＝5﹣4＝1， ∵∠ECF＝∠B＝90°，∠EFC＝∠AFB， ∴△EFC∽△AFB， ∴，即， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 20．（2026春•青浦区校级月考）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，且BE：ED＝1：3，AB＝4cm，则BD＝　8　 cm． 【答案】8． 【分析】由矩形的性质得，进而可证AE垂直平分OB，可得OA＝AB＝4cm，即可得解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵BE：ED＝1：3， ∴， ∴， ∴BE＝OE， ∵AE⊥BD， ∴AE垂直平分OB， ∴OA＝AB＝4cm， ∴BD＝2OA＝8cm， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 21．（2026春•浦东新区校级月考）如图，若DE∥BC，且，则　　 ． 【答案】． 【分析】先证明△ADE∽△ABC，得到，再根据比例的性质，从而得出答案． 【解答】解：∵DE∥BC，且， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 22．（2026春•浦东新区期中）如图，四边形ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10：7．上底AB与下底CD的长度之比为　3：14　 ． 【答案】3：14． 【分析】连接AC，根据三角形中线的性质得出△ACE与△DCE面积相等，设出面积参数，分别表示出△ABC与△ACD的面积，利用等高三角形面积比等于底边比即可求解． 【解答】解：四边形ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，如图，连接AC， 由题意得，设S△DCE＝7x，S四边形ABCE＝10x， ∵点E是AD的中点， ∴S△ACE＝S△DCE＝7x， ∴S△ACD＝S△ACE+S△DCE＝14x， ∴S△ABC＝S四边形ABCE﹣S△ACE ＝10x﹣7x ＝3x， ∵四边形ABCD是梯形， ∴AB∥CD， ∴△ABC与△ACD的AB，DC边上的高相等， ∴AB：CD ＝S△ABC：S△ACD ＝3x：14x ＝3：14． 故答案为：3：14． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 23．（2026•上海）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F． （1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点； （2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD•BG＝BH•BF． 【答案】（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵CE∥AB， ∴△CEF∽△ABF， ∴， ∴CEABCD， ∴点E是CD的中点； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB， ∵∠EBC＝∠CAB， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC， ∵∠AFB＝∠EBC+∠ACB，∠BAH＝∠CAB+∠HAG， ∴∠BAH＝∠AFB， ∵BH平分∠ABE， ∴∠ABH＝∠FBG， ∴△ABH∽△FBG， ∴AB：BF＝BH：BG， ∴AB•BG＝BH•BF． ∵AB＝CD， ∴CD•BG＝BH•BF． 【分析】（1）先根据菱形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△CEF∽△ABF，接着利用相似三角形的性质得到CEAB，所以CECD，从而得到结论； （2）先根据菱形的性质得∠CAB＝∠HAG＝∠ACB，再利用∠EBC＝∠CAB得到∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC，接着证明∠BAH＝∠AFB，由于BH平分∠ABE，所以∠ABH＝∠FBG，于是可判断△ABH∽△FBG，然后根据相似三角形的性质得到AB•BG＝BH•BF．于是利用AB＝CD得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵CE∥AB， ∴△CEF∽△ABF， ∴， ∴CEABCD， ∴点E是CD的中点； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB， ∵∠EBC＝∠CAB， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC， ∵∠AFB＝∠EBC+∠ACB，∠BAH＝∠CAB+∠HAG， ∴∠BAH＝∠AFB， ∵BH平分∠ABE， ∴∠ABH＝∠FBG， ∴△ABH∽△FBG， ∴AB：BF＝BH：BG， ∴AB•BG＝BH•BF． ∵AB＝CD， ∴CD•BG＝BH•BF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质． 24．（2026•长宁区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G在边BC上，联结AG交BD于点F，若AO2＝OF•OB． （1）求证：△AOF∽△DOC； （2）若AG⊥BC，求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】（1）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， ∴AO＝OC，OB＝OD， ∵AO2＝OF•OB， ∴AO•OC＝OF•OD，即， 又∵∠AOF＝∠DOC， ∴△AOF∽△DOC； （2）∵△AOF∽△DOC，∴∠FAO＝∠CDO，∵AG⊥BC，∴∠BGF＝90°，∴∠GAC++∠ACG＝90°，∵∠BCA＝ACD，∴∠CDO+∠ACD＝90°，∴∠COD＝90°，即AC⊥BD，又∵四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得OB＝OD，AO＝OC，则AO•OC＝OF•OD，即，结合∠AOF＝∠DOC即可得出结论； （2）在由△AOF∽△DOC，得到∠OAF＝∠ODC，结合AG⊥BC，可证得∠COD＝90°，即AC⊥BD，再根据菱形的判定即可证明． 【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， ∴AO＝OC，OB＝OD， ∵AO2＝OF•OB， ∴AO•OC＝OF•OD，即，， 又∵∠AOF＝∠DOC， ∴△AOF∽△DOC； （2）证明：∵△AOF∽△DOC， ∴∠FAO＝∠CDO， ∵AG⊥BC， ∴∠BGF＝90°， ∴∠GAC++∠ACG＝90°， ∵∠BCA＝ACD， ∴∠CDO+∠ACD＝90°， ∴∠COD＝90°， 即AC⊥BD， 又∵四边形ABCD为平行四边形， 所以四边形ABCD是菱形． 【点评】本题考查平行四边形性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 25．（2026•长宁区二模）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F与点C不重合），且∠EAF＝45°． （1）求证：AF•BE＝AE•CF； （2）在图中延长AE与BC交于点H，如果，求证：BH＝DF． 【答案】（1）连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠ACF＝∠BAC＝45°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠CAE＝∠CAF+∠CAE＝45°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵∠ABE＝∠ACF， ∴△ABE∽△ACF， ∴AE：AF＝BE：CF， ∴AF•BE＝AE•CF； （2）过F作FM⊥AC于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MCF＝∠CAD＝45°，∠ADF＝∠BAD＝∠ABH＝90°，AB＝AD， ∴△MCF是等腰直角三角形， ∴CFFM， ∵CFDF， ∴FM＝DF， ∵FD⊥AD，FE⊥AC， ∴AF平分∠CAD， ∴∠DAF∠CAD＝22.5°， ∴∠BAH＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠DAF＝22.5°， ∴∠BAH＝∠DAF， ∵AB＝AD，∠ABH＝∠ADF， ∴△ABH≌△ADF， ∴BH＝DF． 【分析】（1）连接AC，由正方形的性质推出∠ABE＝∠ACF＝∠BAC＝45°，得到∠BAE＝∠CAF，判定△ABE∽△ACF，即可证明AF•BE＝AE•CF； （2）过点F作FM⊥AC于M，由正方形的性质推出∠MCF＝∠CAD＝45°，∠ADF＝∠BAD＝∠ABH＝90°，AB＝AD，判定△MCF是等腰直角三角形，得到 CFFM，因此FM＝DF，判定AF平分∠CAD，求出∠BAH＝∠DAF＝22.5°，判定△ABH≌△ADF，推出BH＝DF． 【解答】证明：（1）连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠ACF＝∠BAC＝45°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠CAE＝∠CAF+∠CAE＝45°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵∠ABE＝∠ACF， ∴△ABE∽△ACF， ∴AE：AF＝BE：CF， ∴AF•BE＝AE•CF； （2）过点F作FM⊥AC于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MCF＝∠CAD＝45°，∠ADF＝∠BAD＝∠ABH＝90°，AB＝AD， ∴△MCF是等腰直角三角形， ∴CFFM， ∵CFDF， ∴FM＝DF， ∵FD⊥AD，FE⊥AC， ∴AF平分∠CAD， ∴∠DAF∠CAD＝22.5°， ∴∠BAH＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠DAF＝22.5°， ∴∠BAH＝∠DAF， ∵AB＝AD，∠ABH＝∠ADF， ∴△ABH≌△ADF， ∴BH＝DF． 【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是判定△ABE∽△ACF，△ABH≌△ADF． 26．（2026•金山区校级模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G． （1）求证：CE＝CF； （2）如果FG2＝AG•DG，求证：． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据菱形的性质和AAS可以证明△ABE和△ADF全等，即可得到BE＝DF，然后即可证明结论成立； （2）根据FG2＝AG•DG和相似三角形的判定和性质，可以得到∠GFD＝∠GAF，再根据（1）中△ABE≌△ADF，可以得到BE＝DF，AE＝AF，再根据∠AFD＝90°，可以得到∠ADF＝∠AEG，然后根据这两个角的正切值，可以证明结论成立． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠ADF，AB＝AD，BC＝DC， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴BC﹣BE＝DC﹣DF， ∴CE＝CF； （2）∵FG2＝AG•DG， ∴， ∵∠DGF＝∠FGA， ∴△DGF∽△FGA， ∴∠GFD＝∠GAF， 由（1）知：△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵∠AFD＝90°， ∴∠GAF+∠ADF＝90°，∠AFE+∠GFD＝90°， ∴∠ADF＝∠AFE， ∴∠ADF＝∠AEF， ∵tan∠ADF，tan∠AEF， ∴， ∴， 即． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 27．（2026•奉贤区三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，M为边AB的中点，点N在边AC上，MN∥BC，交AD于点E，联结DM、DN． （1）求证：四边形AMDN是矩形． （2）联结BE，交DM于点F．如果DF＝EF，求证：BD•BC＝2BF•BE． 【答案】证明：（1）∵AD是边BC上的中线， ∴BD＝DC， ∵M为边AB的中点， ∴DM为△ABC的中位线， ∴DM∥AC，MDAC， ∵MN∥BC， ∴， ∴ANAC， ∴DM＝AN， ∵DM∥AN， ∴四边形AMDN为平行四边形， ∵∠MAN＝90°， ∴四边形AMDN是矩形； （2）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线， ∴AD＝BD， ∵M为边AB的中点， ∴DM平分∠ADB， ∴∠BDM＝∠ADM， ∵DF＝EF， ∴∠EDF＝∠FED， ∴∠BDM＝∠FED， ∵∠DBF＝∠EBD， ∴△BDF∽△BED， ∴BD：BE＝BF：BD， ∵BDBC， ∴BD：BE＝BF：BC， ∴BD•BC＝2BF•BE． 【分析】（1）先利用三角形中线的定义得到BD＝DC，再根据三角形中位线定理得到DM∥AC，MDAC，接着利用平行线分线段成比例定理，由MN∥BC得到，所以ANAC，然后证明四边形AMDN为平行四边形，最后利用∠MAN＝90°得到结论； （2）先根据斜边上的中线性质得到AD＝BD，则利用等腰三角形的性质得到DM平分∠ADB，所以∠BDM＝∠ADM，由DF＝EF得到∠EDF＝∠FED，所以∠BDM＝∠FED，接着证明△BDF∽△BED得到BD：BE＝BF：BD，然后利用BDBC和比例的性质可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AD是边BC上的中线， ∴BD＝DC， ∵M为边AB的中点， ∴DM为△ABC的中位线， ∴DM∥AC，MDAC， ∵MN∥BC， ∴， ∴ANAC， ∴DM＝AN， ∵DM∥AN， ∴四边形AMDN为平行四边形， ∵∠MAN＝90°， ∴四边形AMDN是矩形； （2）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线， ∴AD＝BD， ∵M为边AB的中点， ∴DM平分∠ADB， ∴∠BDM＝∠ADM， ∵DF＝EF， ∴∠EDF＝∠FED， ∴∠BDM＝∠FED， ∵∠DBF＝∠EBD， ∴△BDF∽△BED， ∴BD：BE＝BF：BD， ∵BDBC， ∴BD：BE＝BF：BC， ∴BD•BC＝2BF•BE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线性质和矩形的判定与性质． 【考点4】相似三角形应用（第28–36题） · 将实际问题抽象为相似三角形模型。 · 建立比例式，代入数据求解。 · 注意单位统一。 28．（2025秋•奉贤区期末）一个三角形框架模型的边长分别为20cm、30cm、40cm，工人师傅要利用两根30cm和50cm的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（　　） A．80cm B．67.5cm C．60cm D．52.5cm 【答案】B 【分析】分30cm与20cm对应、30cm与30cm对应、30cm与40cm对应三种情况，根据相似三角形的性质、三角形周长公式计算即可． 【解答】解：设另一根上截出作为另外两边的长为xcm，ycm， 当30cm与20cm对应时，， 解得：x＝45，y＝60，不符合题意； 当30cm与30cm对应时，x＝20，y＝40，不符合题意； 当30cm与40cm对应时，， 解得：x＝15，y＝22.5， 则这个三角形的周长为：30+15+22.5＝67.5（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 29．（2026•南岗区校级二模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 【答案】B 【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC的长度． 【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm， ∴， ∴AC＝60， ∴AC的长为60cm． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 30．（2025秋•闵行区期末）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的　　 （填“几分之几”）． 【答案】． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵点O为光源，CD为小狗手影，AB为小明的手， ∴AB∥CD， 作OE⊥AB交AB于点E，延长OE交CD于点F，则OF⊥CD， ∵AB∥CD， ∴∠OBA＝∠ODC，∠OAB＝∠OCD， ∴△OAB∽△OCD， ∴， ∵OF＝3+1＝4米，OE＝1米， ∴， 设AB＝x， ∴CD＝4x， ∵在光源不动的情况下，光源与手的距离增加1米， ∴OE′＝2米， ∵△OAB∽△OC′D′， ∴， ∴， ∴C′D′x， ∴， 答：小狗手影的高度变为原来的， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 31．（2025秋•金山区期末）为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆．大标牌的涂漆厚度与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为1：2，如果其中一块小标牌涂满漆用了半听环保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆　2　 听． 【答案】2． 【分析】根据题意，易得两个三角形相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【解答】解：∵形状相同的两个三角形绿化标牌， ∴两个三角形相似， ∵两块标牌对应边的长度比为1：2， ∴两块标牌的面积比为1：4， ∵小标牌涂满漆用了半听环保漆， ∴大标牌涂满漆需要环保漆0.5×4＝2听环保漆； 故答案为：2． 【点评】本题考查相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 32．（2025秋•杨浦区期中）如图是一个圆形零件的剖面图，已知零件的外直径为25毫米，为求出它的壁的厚度x，需知内孔的直径AB，但由于不能直接量出AB，因此用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量．如果，且量得CD长为7毫米，那么零件的壁的厚度x是　2　 毫米． 【答案】2． 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为25毫米，即可求得x的值． 【解答】解：，∠COD＝∠AOB， ∴△COD∽△AOB， ∴， ∵CD的长为7毫米， ∴AB的长为21毫米， ∵零件的外径为25毫米， ∴零件的厚度为：（毫米）， 故答案为：2． 【点评】本题考查相似三角形的应用，掌握其性质是解题的关键． 33．（2025•浦东新区校级模拟）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米． （1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE； （2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】（1）13.5米； （2）7米． 【分析】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC，再利用Rt△ABC和Rt△ADF相似求得DF的长，加上EF，即可求得树高DE； （2）利用Rt△A′B′C′和Rt△D′B′F相似求得B′F的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【解答】解：（1）∵∠DFA＝∠ACB＝90°，∠DAF＝∠CAB， ∴△DFA∽△BCA， ∴， 在Rt△ABC中， ∵AB＝0.5m，BC＝0.3m， 由勾股定理得AC0.4（m）， ∵AF＝16m， ∴， ∴DF＝12（m）， ∴DE＝DF+EF＝12+1.5＝13.5（m）， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）∵∠D′FB′＝∠A′C′B′＝90°，∠D′B′F＝∠A′B′C′， ∴△D′FB′∽△A′C′B′， ∴， ∴， ∴B′F＝9（m）， ∴16﹣9＝7（m）， 答：小丽向前移动了7米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得△DFA∽△BCA和△D′FB′∽△A′C′B′． 34．（2025秋•上海校级期中）请根据以下素材，完成探究任务． 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中相应的“E”，并依次编号①、②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动直至从观测点O看去，对应顶点P1、P2、O在一条直线上为止．这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同． 素材2 为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但书房空间过小，他想到一个方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表（AB）与平面镜（MN），由平面镜成像原理作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A、B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（AB）就可以计算出镜长MN 任务 （1）若b1＝1.6cm，b2＝1cm，①号“E”的测量距离l1＝40cm，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离l2． （2）小明的方法中如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】（1）25cm； （2）0.32m． 【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【解答】解：（1）∵P1D1∥P2D2，b1＝1.6cm，b2＝1cm，l1＝40cm， ∴△P1D1O∽△P2D2O． ∴，即． ∴， 解得：l2＝25， ∴②号“E”的测量距离l2为25cm； （2）如图，视力表的全长为0.8m，延长CM至A′，使A′M＝AM，延长CN至B′，使B′N＝BN，连接A′B′，作CF⊥A′B′于F，交MN于E， ∴A′B′＝AB＝0.8m，A′B′∥MN ∴CE⊥MN，△CMN∽△CA′B′． ∴． 由题意得：CE＝2m，EF＝3m， ∴CF＝CE+EF＝2+3＝5（m）． ∴， 解得：MN＝0.32， ∴镜长至少为0.32m． 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 35．（2026春•静安区期中）电阻是表示导体对电流的阻碍作用大小的物理量，通常用符号R表示，电阻在国际单位制中的单位是欧姆，简称欧，符号是Ω，电阻值一般为非负数．如图，为一测量电路，Rx，Ry均为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表．若调节Rx的电阻大小，可使得电流表读数为0，此时的电阻R对整个电路没有影响，电路中的其他电阻满足，这个现象叫做电桥平衡．现已知R1＝4Ω，R2＝9Ω．诗诗发现Ry＝Rx时，出现了电桥平衡，贝贝将Ry调大了6Ω，若诗诗想通过调节Rx再次实现电桥平衡，则需要将Rx的电阻大小怎么调整？ 【答案】需将Rx的电阻调小3Ω． 【分析】根据R1＝4Ω，R2＝9Ω结合Ry＝Rx，利用计算出初始时Rx，Ry的值，由贝贝将Ry调大了6Ω得新的Ry＝6+6＝12（Ω），代入计算出新的Rx，对比初始值，即可得Rx的电阻大小的调整． 【解答】解：将R1＝4Ω，R2＝9Ω代入， 得， 得Rx•Ry＝36， 当Ry＝Rx时，电桥平衡， 则Rx•Rx＝36， ∴初始时，Rx＝Ry＝6， 贝贝将Ry调大了6Ω，则新的Ry＝6+6＝12（Ω）， 设此时新的Rx＝xΩ， 则， 解得x＝3， ∴新的Rx＝3Ω， ∵6﹣3＝3Ω， ∴需将Rx的电阻调小3Ω． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 36．（2025•碑林区校级模拟）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 【答案】（1）3.2厘米；（2）厘米． 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可； （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm， ∵AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴． ∵AB∥A′B′， ∴△OAC∽△OA′D， ∴， ∴， ∴， ∴A′B′＝3.2． 答：像A′B′的长度3.2厘米． （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图， ∵A′E∥OD，MN∥A′B′， ∴四边形A′EOD为平行四边形， ∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D． 同理：四边形ACOP为平行四边形， ∴AP＝OC＝32cm， ∵AP∥CD，A′E∥OD， ∴AP∥A′E， ∴△APO∽△A′EO， ∴， ∴． ∵MN∥A′B′， ∴△POF∽△A′DF， ∴， ∴OFOD（厘米）． 答：凸透镜焦距OF的长为厘米． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1：相似三角形求线段 练习2：相似三角形求边长 练习3：相似三角形面积比 练习4：相似三角形与圆 练习5：相似三角形综合 练习6：相似三角形面积 练习7：相似三角形判定综合 练习8：相似三角形新定义 【练习1】（2026春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，D是AB上的一点，∠ACD＝∠B，AC＝4，AB＝8，则AD＝　2　 ． 【答案】2． 【分析】证出△ACD∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：在△ACD和△ABC中， ， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵AC＝4，AB＝8， ∴， 解得AD＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习2】（2022秋•金山区校级期末）如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，如果，AB＝6，那么AE＝　4　 ． 【答案】4． 【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠BAD＝∠ADE，求得∠EAD＝∠ADE，得到AE＝DE，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴DE＝4， ∴AE＝DE＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 【练习3】（2026春•崇明区期中）如图，AD与BC相交于点O，，，则　　 ． 【答案】． 【分析】根据相似三角形的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：∵，， ∴， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【练习4】（2026•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D，E分别在边AC、BC上，且的值为．以E为圆心，ED为半径作圆，如果⊙E与△ABC的三边有三个公共点，那么CD的值为　或4　 ． 【答案】或4． 【分析】利用勾股定理表示出圆的半径，通过相似三角形或三角函数关系表示出圆心到斜边的距离，最后根据距离与半径的关系列方程． 【解答】解：设CD＝3x，则CE＝4x． 在Rt△CDE中，，即⊙E的半径r＝5x． 在Rt△ABC中，． 过点E作EH⊥AB于点H． ∵∠B＝∠B，∠C＝∠EHB＝90°， ∴△EBH∽△ABC， ∴，即， 若⊙E与△ABC的三边有三个公共点，则⊙E与边AB相离（因为AC上有2个点，BC上有1个点，若AB上有交点则总数≥4）． ∴EH＞r， 60﹣20x＞65x， 85x＜60， ， ∴， 考虑到题目求特定值，取边界值（即圆与AB相切时）：， 另一种情况： 已知CD＝3x，CE＝4x，⊙E半径r＝5x，BC＝12， 则BE＝BC﹣CE＝12﹣4x． 当⊙E与△ABC的三边有三个公共点时，除了圆与AB相切的情况，还存在圆经过点B的情况： 此时BE＝r（B在圆上），即：12﹣4x＝5x9x＝12， ， 此时验证各边交点：AC上：E到AC的距离为CE＝4x，圆与AC有1个交点（在AC边上）； BC上：B在圆上，圆与BC有1个交点（B）；（除B外的另一个交点）； 总交点数为1+1+1＝3，符合题意． 此时． 故答案为：或4． 【点评】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、直线与圆的位置关系．重难点在于理解“圆与三角形三边有三个公共点”这一几何条件，并将其转化为代数方程求解． 【练习5】（2026•虹口区三模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，点E是对角线BD上一点，联结AE、EC，AE＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）延长AE交边BC于点F，当BD•BE＝2BF•CD时，求证：AF⊥BC． 【答案】证明：（1）连结AC交BD于O点，如图， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ADC+∠BAD＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵EA＝EC， ∴OE⊥AC， ∴BD与AC互相垂直平分， ∴四边形ABCD为菱形； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝CD，BD＝2BO， ∵BD•BE＝2BF•CD， ∴2BO•BE＝2BF•BC 即BO•BE＝BF•BC， ∴， ∵∠EBF＝∠CBO， ∴△BEF∽△BCO， ∴∠BFE＝∠BOC＝90°， ∴AF⊥BC． 【分析】（1）连结AC交BD于O点，如图，先证明AB∥CD，则可判断四边形ABCD为平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD，再根据等腰三角形的性质，由EA＝EC得到OE⊥AC，所以BD与AC互相垂直平分，然后根据菱形的判定方法得到结论； （2）先根据菱形的性质得到BC＝CD，BD＝2BO，则BO•BE＝BF•BC，所以，加上∠EBF＝∠CBO，则根据相似三角形的判定方法得到△BEF∽△BCO，所以∠BFE＝∠BOC＝90°，从而得到结论． 【解答】证明：（1）连结AC交BD于O点，如图， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ADC+∠BAD＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵EA＝EC， ∴OE⊥AC， ∴BD与AC互相垂直平分， ∴四边形ABCD为菱形； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝CD，BD＝2BO， ∵BD•BE＝2BF•CD， ∴2BO•BE＝2BF•BC 即BO•BE＝BF•BC， ∴， ∵∠EBF＝∠CBO， ∴△BEF∽△BCO， ∴∠BFE＝∠BOC＝90°， ∴AF⊥BC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质． 【练习6】（2026春•徐汇区校级月考）如图，已知点D、E分别是△ABC边AB、AC上的两点，DE∥BC，AD＝3，BD＝4，CD和BE相交于点O，且S△DOE＝3，求△BOC与△BCD的面积． 【答案】，． 【分析】先通过相似三角形的判定和性质得出，则，即可求出△BOC 的面积，进一步求出△DOB的面积，即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴△DOE∽△COB， ∴，， ∴； 在△CDB中， ∴ ∴； ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习7】（2025秋•普陀区期末）已知：如图，四边形ABCD中，点E在边BC上，DE交AC于点F，∠AED＝∠B，AE2＝AF•AC． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）如果，求证：DE•AC＝AE•BC． 【答案】（1）∵AE2＝AF•AC， ∴， ∵∠FAE＝∠EAC， ∴△FAE∽△EAC， ∴∠AED＝∠FCE， ∵∠AED＝∠B， ∴∠B＝∠FCE， ∵∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣∠AED﹣∠AEB，∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEB， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△ABE∽△ECF． （2）由（1）得∠AED＝∠FCE，△FAE∽△EAC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝∠B， ∵∠AED＝∠ACB，∠ADE＝∠B， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴DE•AC＝AE•BC． 【分析】（1）由AE2＝AF•AC，得，可证明△FAE∽△EAC，则∠AED＝∠FCE，因为∠AED＝∠B，所以∠B＝∠FCE，推导出∠BAE＝∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEB，即可证明△ABE∽△ECF． （2）由△FAE∽△EAC，得，由，变形得，则，所以AD＝AE，则∠ADE＝∠AED＝∠B，即可由∠AED＝∠ACB，∠ADE＝∠B，证明△ADE∽△ABC，得，则DE•AC＝AE•BC． 【解答】证明：（1）∵AE2＝AF•AC， ∴， ∵∠FAE＝∠EAC， ∴△FAE∽△EAC， ∴∠AED＝∠FCE， ∵∠AED＝∠B， ∴∠B＝∠FCE， ∵∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣∠AED﹣∠AEB，∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEB， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△ABE∽△ECF． （2）由（1）得∠AED＝∠FCE，△FAE∽△EAC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝∠B， ∵∠AED＝∠ACB，∠ADE＝∠B， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴DE•AC＝AE•BC． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明△FAE∽△EAC及△ADE∽△ABC是解题的关键． 【练习8】（2026•金山区二模）在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点M、N（BM＜BN且点M、N分别与点B、D不重合），使AN∥CM，甲、乙、丙分别提出方案（如图）． （1）选择其中一种正确的方案进行证明：AN∥CM； （2）根据你在（1）中选择的方案，延长AN交边CD于点P，若∠DPN＝∠DNC，求证：AB2＝BM•DM． 【答案】（1）选择甲方案，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，AD∥BC， ∴∠ADN＝∠CBM， 又∵BM＝DN， ∴△BCM≌△DAN（SAS）， ∴∠AND＝∠CMB， ∴180°﹣∠AND＝180°﹣∠CMB， ∴∠ANM＝∠CMN， ∴AN∥CM； 选择乙方案，证明如下： ∵AM⊥BD，CN⊥BD， ∴AM∥CN，∠AMB＝∠CND＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABM＝∠CDN， ∴△ABM≌△CDN（AAS）， ∴AM＝CN， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∴AN∥CM； （2）如图所示，在方案甲中， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABM＝∠CDN，∠BAN＝∠DPN， 又∵BM＝DN， ∴△ABM≌△CDN（SAS）， ∴∠AMB＝∠CND， ∵∠DPN＝∠DNC， ∴∠AMB＝∠NAB， 又∵∠ABM＝∠NBA， ∴△ABM∽△NBA， ∴， ∴AB2＝BM•BN， 又∵BM+MN＝DN+MN， ∴BN＝DM， ∴AB2＝BM•DM， 如图所示，在方案乙中，由（1）可得△ABM≌△CDN， ∴BM＝DN， ∴同理可证明AB2＝BM•DM． 【分析】（1）选择甲方案，证明△BCM≌△DAN，得到∠AND＝∠CMB，则可证明∠ANM＝∠CMN，得到AN∥CM；乙方案，证明如下：先证明AM∥CN，∠AMB＝∠CND＝90°，再证明△ABM≌△CDN，得到AM＝CN，则可证明四边形AMCN是平行四边形，得到AN∥CM； （2）在方案甲中，证明△ABM≌△CDN，得到∠AMB＝∠CND，证明△ABM∽△NBA，得到AB2＝BM•BN，再证明BN＝DM，证明AB2＝BM•DM在方案乙中，由（1）可得△ABM≌△CDN，则BM＝DN，同理可证明AB2＝BM•DM． 【解答】（1）解：选择甲方案，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，AD∥BC， ∴∠ADN＝∠CBM， 又∵BM＝DN， ∴△BCM≌△DAN（SAS）， ∴∠AND＝∠CMB， ∴180°﹣∠AND＝180°﹣∠CMB， ∴∠ANM＝∠CMN， ∴AN∥CM； 选择乙方案，证明如下： ∵AM⊥BD，CN⊥BD， ∴AM∥CN，∠AMB＝∠CND＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABM＝∠CDN， ∴△ABM≌△CDN（AAS）， ∴AM＝CN， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∴AN∥CM； （2）证明：如图所示，在方案甲中， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABM＝∠CDN，∠BAN＝∠DPN， 又∵BM＝DN， ∴△ABM≌△CDN（SAS）， ∴∠AMB＝∠CND， ∵∠DPN＝∠DNC， ∴∠AMB＝∠NAB， 又∵∠ABM＝∠NBA， ∴△ABM∽△NBA， ∴， ∴AB2＝BM•BN， 又∵BM+MN＝DN+MN， ∴BN＝DM， ∴AB2＝BM•DM， 如图所示，在方案乙中，由（1）可得△ABM≌△CDN， ∴BM＝DN， ∴同理可证明AB2＝BM•DM． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：小孔成像 作业2：平行四边形相似 作业3：平行线分线段成比例 作业4：相似三角形周长 作业5：网格中相似比 作业6：斜边上的高 作业7：相似三角形求边长 作业8：动点与平行四边形 作业9：矩形内接三角形 作业10：平行四边形与相似 作业11：三角形内角平分线 作业12：角平分线平行线 作业13：相似三角形求线段 作业14：相似三角形证明 作业15：菱形证明 作业16：平行四边形与相似 ❤ 复习建议 熟记性质： 对应边成比例、对应角相等，周长比、面积比与相似比的关系。 灵活转化： 注意相似比与面积比的相互转化，常用于求面积或边长。 模型识别： 熟练掌握A字型、X字型等基本图形，便于快速判定相似。 实际应用： 将实际问题抽象为相似三角形，建立比例方程求解。 综合提升： 结合全等、平行四边形、圆等知识，培养综合解题能力。 【作业1】（2025秋•宝山区期末）我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屈内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是（　　） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 【答案】B 【分析】设像CD的长度变为原来的1.5倍时小孔O到人AB的距离为x米，证明△OAB∽△ODC，利用相似比可计算出x＝4，所以人向暗室前进2米． 【解答】解：设像CD的长度变为原来的1.5倍时小孔O到人AB的距离为x米， ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴， 解得x＝4， 即人向暗室前进2米． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． 【作业2】（2025秋•浦东新区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于F点，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设BE＝2k，则BC＝3k，求出CE＝k，即可判断A选项；根据平行四边形的性质，证明△BEF∽△DAF，列出比例式即可判断B选项；根据题意设BE＝2k，则BC＝3k，求出CE＝k，即可判断C选项；根据题意证明△BEF∽△DAF，列出比例式即可判断D选项． 【解答】解：∵BE：BC＝2：3， ∴设BE＝2k，则BC＝3k， ∴EC＝BC﹣BE＝k， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝CB， ∵BE：BC＝2：3， ∴， ∵AD∥BC， ∴△BEF∽△DAF， ∴， ∴， 故B选项错误，符合题意； ∵BE：BC＝2：3， ∴设BE＝2k，则BC＝3k， ∴EC＝BC﹣BE＝k， ∵AD＝BC＝3k， ∴， 故C选项正确，不符合题意； ∵BE：BC＝2：3，AD＝BC， ∴， ∵BC∥AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键． 47．（2025秋•闵行区期末）如图，已知△ABC，直线l1与边AB、AC分别相交于点D、E，直线l2与边AB、AC分别相交于点F、G，l1∥l2∥BC，那么下列比例式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判断定理与性质定理、平行线分线段成比例定理判断求解即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥BC， ∴△ADE∽△AFG，△AFG∽△ABC，，， ∴，， 故A、C、D错误，不符合题意；B正确，符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． 【作业3】（2025秋•闵行区期末）如图，已知△cm，那么另一个三角形的周长为（　　） A．12cm B．24cm C．36cm D．48cm 【答案】B 【分析】根据相似三角形对边的比相等求出与它相似的三角形的另外两边长，再根据三角形周长公式计算得到答案． 【解答】解：∵一个三角形三边之比为3：4：5， ∴与它相似的三角形三边之比为3：4：5， ∵与它相似的三角形最短边的长为6cm， ∴与它相似的三角形的另外两边长分别为8cm，10cm， ∴与它相似的三角形的周长为：6+8+10＝24（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟记相似三角形对边的比相等是解题的关键． 【作业4】（2025秋•静安区期末）已知一个三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一个三角形最短边的长为6A、B、C、D都在格点上，联结AB、CD交于点E，那么的值是　　 ． 【答案】． 【分析】先证明△BCE∽△ADE，再列出比例式求解即可． 【解答】解：∵BC∥AD， ∴△BCE∽△ADE， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【作业5】（2025秋•虹口区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，，AB＝5，那么CD的长是 　　 ． 【答案】． 【分析】设AD＝3x，DC＝4x，则利用勾股定理得到AC＝5x，再证明△ACD∽△ABC，利用相似比得到，即，于是可求得x，所以CD＝4x． 【解答】解：∵， ∴设AD＝3x，DC＝4x， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，AC5x， ∵∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△ABC， ∴，即， 解得x， ∴CD＝4x． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 【作业7】（2025秋•宝山区校级期末）在△ABC中，点E和点F分别在边AB和AC上，若△ABC与△AEF相似，且满足AB＝12，AC＝9，AE＝4，EF＝5，则BC的长为　15或　 ． 【答案】15或． 【分析】本题需分两种情况讨论△ABC与△AEF的相似对应关系，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长计算BC的长度． 【解答】解：当△ABC∽△AEF时， ∴， ∵AB＝12，AE＝4，EF＝5， ∴， 解得BC＝15； 当△ABC∽△AFE时， ∴， ∵AC＝9，AE＝4，EF＝5， ∴， 解得， 综上，BC的长为15或， 故答案为：15或． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握是解题关键． 【作业8】（2026春•杨浦区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝12cm，AD＝18cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点B运动，　4或6　 s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 【答案】4或6． 【分析】设t秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形，AP＝tcm，DP＝（18﹣t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（12﹣2t）cm，根据平行四边形的性质，可得AP＝BQ或CQ＝PD，列方程并解方程即可求出t值． 【解答】解：设t秒时，直线QP将四边形截出一个平行四边形， 根据题意得：AP＝tcm，DP＝（18﹣t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（12﹣2t）cm， ∵直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形，AD∥BC， ∴AP＝BQ或CQ＝PD， ∴t＝12﹣2t 或2t＝18﹣t 解得t＝4或t＝6， 即4或6s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形， 故答案为：4或6． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业9】（2026春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设EF为x，矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数关系式是　　 ． 【答案】． 【分析】设边EF的长为x（0＜x＜3），则AN＝3﹣x，进而利用已知得出△AEH∽△ABC，进而得出EH的长，即可得出答案． 【解答】解：如图，四边形EFGH为矩形，BC＝5，AD＝3，设AD交EH于点N，边EF的长为x（0＜x＜3），则AN＝3﹣x， ∴EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴， ∴， 解得：， ∵矩形EFGH的面积为y， ∴y关于x的函数解析式是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，函数关系式，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 【作业10】（2026春•闵行区校级单元）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．若AB＝4，AD＝6，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，则AE的长为　　 ． 【答案】． 【分析】延长AD、EF交于点M，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，通过角度之间的等量代换，证出△AEF∽△MEA，△AEF∽△ECF，△DFM∽△CFE，设CE＝s，EF＝t， 利用上述三组相似三角形可得出线段之间的比例关系，建立方程进行求解即可． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点． 延长AD、EF交于点M，如下图所示： ∵∠FEC＝∠AMF，∠AEB＝∠AFE， ∠AEB＝180°﹣∠AEF﹣∠FEC，∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠EAF， ∴∠EAF＝∠FEC＝∠AMF， ∴∠EAF＝∠AME， 又∵∠AEF＝∠AEM， ∴△AEF∽△MEA， ∵∠EAF＝∠FEC，∠AFE＝∠EFC， ∴△AEF∽△ECF， ∵AM∥EC， ∴△DFM∽△CFE， ∵AB＝4，AD＝6，CF＝1， ∴DF＝AB﹣CF＝3， 设CE＝s，EF＝t， ∵△AEF∽△ECF， ∴， 即， ∴AE＝st，AF＝t2， 又∵△DFM∽△CFE， ∴， 即， ∴FM＝3t，DM＝3s， ∴AM＝AD+DM＝6+3s， EM＝EF+FM＝t+3t＝4t， ∵△AEF∽△MEA， ∴， 即， ∴， 解得或（舍去）或s＝﹣2（舍去）， 则， 故答案为：． 【点评】题目主要考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 【作业11】（2025秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，D、E分别是边AB、AC上的点，满足，若E为中点，且∠ADE＝50°，那么的值为　　 ． 【答案】． 【分析】由∠A＝60°，∠B＝70°，求得∠C＝50°，由∠ADE＝∠C＝50°，∠A＝∠A，证明△AED∽△ABC，得，由AD•AB＝AE•AC，由，E为AC的中点，得ADAB，AEAC，则AB2AC2，所以ABAC，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°， ∵D、E分别是边AB、AC上的点，且∠ADE＝50°， ∴∠ADE＝∠C， ∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∴AD•AB＝AE•AC， ∵，E为AC的中点， ∴ADAB，AEAC， ∴AB2AC2， ∴AB2AC2， ∴ABAC或ABAC（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【点评】此题重点考查三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AED∽△ABC是解题的关键． 【作业12】（2025秋•普陀区期末）如图，△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N分别在边AB、AC上．过点O的线段MN∥BC．如果AB＝5，AC＝4，BC＝6，那么MN＝　　 ． 【答案】． 【分析】由OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，得∠MBO＝∠CBO，∠NCO＝∠BCO，由MN∥BC，得∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO，推导出∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC，由OM＝BM，ON＝CN，所以MN＝BM+CN，而AB＝5，AC＝4，BC＝6，求得△AMN的周长＝9，△ABC的周长＝15，可证明△AMN∽△ABC，则，求得MNBC，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N分别在边AB、AC上， ∴∠MBO＝∠CBO，∠NCO＝∠BCO， ∵过点O的线段MN∥BC， ∴∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC， ∴OM＝BM，ON＝CN， ∴MN＝OM+ON＝BM+CN， ∵AB＝5，AC＝4，BC＝6， ∴AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9，AB+BC+AC＝15， ∴△AMN的周长＝9，△ABC的周长＝15， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴， ∴MNBC6， 故答案为：． 【点评】此题重点考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，推导出OM＝BM，ON＝CN，并且求得△AMN的周长＝9是解题的关键． 57．（2025秋•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC， （1）若AD＝3，DB＝2，DE＝6，求BC的长； （2）若S△ADE＝9，S△ABC＝25，求AD：AB的值． 【答案】（1）10； （2）． 【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求出答案； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出答案． 【解答】解：（1）∵DE∥BC，AD＝3，DB＝2，DE＝6， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 解得：BC＝10（经检验，是分式方程的解，且符合题意）； （2）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵S△ADE＝9，S△ABC＝25， ∴， 解得：（负值已舍去）． 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【作业14】（2026•普陀区二模）已知：如图，在四边形（1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）联结AC交BD于点O，联结OE．如果BE•AD＝BD•AB，求证：EO⊥BD． 【答案】（1）∵DC2＝CE•CB， ∴， 又∵∠ECD＝∠DCB， ∴△CDE∽△CBD， ∴∠CED＝∠CDB， ∵∠CED＝∠ABD， ∴∠CDB＝∠ABD， ∴AB∥DC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）如图， ∵△CDE∽△CBD， ∴， ∴DE•BC＝BD•CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，OB＝OD， ∴DE•AD＝BD•AB， ∵BE•AD＝BD•AB， ∴DE＝BE， 又∵OB＝OD， ∴EO⊥BD． 【分析】（1）根据题意推出，结合∠ECD＝∠DCB，推出△CDE∽△CBD，根据相似三角形的性质求出∠CED＝∠CDB，则∠CDB＝∠ABD，即可判定AB∥DC，最后根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”即可得证； （2）根据相似三角形的性质求出，结合平行四边形的性质推出DE•AD＝BD•AB，结合题意求出DE＝BE，最后根据等腰三角形的性质即可得证． 【解答】证明：（1）∵DC2＝CE•CB， ∴， 又∵∠ECD＝∠DCB， ∴△CDE∽△CBD， ∴∠CED＝∠CDB， ∵∠CED＝∠ABD， ∴∠CDB＝∠ABD， ∴AB∥DC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）如图， ∵△CDE∽△CBD， ∴， ∴DE•BC＝BD•CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，OB＝OD， ∴DE•AD＝BD•AB， ∵BE•AD＝BD•AB， ∴DE＝BE， 又∵OB＝OD， ∴EO⊥BD． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟记有关定理是解题的关键． 【作业15】（2026•青浦区二模）已知：如图，四边形（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AE＝3EG，求证：点E是边CD的中点． 【答案】（1）如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠4＝∠3， ∵DG2＝GE•GA， ∴， ∵∠5＝∠5， ∴△GED∽△GDA， ∴∠1＝∠2， ∵CF＝DE， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴AD＝DC， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵AE＝3EG， ∴设EG＝m，AE＝3m， ∴AG＝EG+AE＝4m， ∵DG2＝GE•GA＝m×4m， ∴DG＝2m（舍负）， ∵△GED∽△GDA， ∴， ∵AD＝CD， ∴， ∴DE＝CE， ∴点E是边CD的中点． 【分析】（1）先证明△GED∽△GDA，再证明△ADE≌△DCF（AAS），最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）设EG＝m，AE＝3m，由DG2＝GE•GA，求出DG，再由△GED∽△GDA证明即可． 【解答】证明：（1）如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠4＝∠3， ∵DG2＝GE•GA， ∴， ∵∠5＝∠5， ∴△GED∽△GDA， ∴∠1＝∠2， ∵CF＝DE， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴AD＝DC， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵AE＝3EG， ∴设EG＝m，AE＝3m， ∴AG＝EG+AE＝4m， ∵DG2＝GE•GA＝m×4m， ∴DG＝2m（舍负）， ∵△GED∽△GDA， ∴， ∵AD＝CD， ∴， ∴DE＝CE， ∴点E是边CD的中点． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【作业16】（2026•奉贤区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF交BD于点E、交BC于点F，且BE＝BF，∠BAF＝∠DAC． （1）如果AE＝CF，求证：∠ABC＝∠ACB； （2）联结OF．如果OF2＝EF•AF，求证：F是BC的中点． 【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACF， ∵∠BAF＝∠DAC， ∴∠BAF＝∠ACF， ∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE， ∵∠AEB+∠BEF＝180°，∠CFA+∠BFE＝180°， ∴∠AEB＝∠CFA， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（ASA）， ∴AB＝CA， ∴∠ABC＝∠ACB； （2）∵OF2＝EF•AF， ∴， 又∵∠AFO＝∠OFE， ∴△AFO∽△OFE， ∴∠AOF＝∠OEF， ∴∠COF＝∠AEO， ∵∠AEO＝∠BEF， ∴∠COF＝∠BEF， 又∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠COF＝∠BFE， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACF， ∵∠BAF＝∠DAC， ∴∠BAF＝∠ACF， ∴△ABF∽△CFO， ∴∠ABF＝∠CFO， ∴AB∥OF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O为AC中点， ∵AB∥OF， ∴F是BC的中点． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，∠BAF＝∠DAC，可推出∠BAF＝∠ACF，根据BE＝BF，可推出∠AEB＝∠CFA，结合AE＝CF证明△ABE≌△CAF即可得证； （2）由OF2＝EF•AF可得，又有∠AFO＝∠OFE，则△AFO∽△OFE，得∠AOF＝∠OEF，则∠COF＝∠AEO，结合∠BAF＝∠DAC可得∠COF＝∠BFE，又由（1）得∠BAF＝∠ACF，可证△ABF∽△CFO，得到AB∥OF，结合平行四边形的性质即可得证． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACF， ∵∠BAF＝∠DAC， ∴∠BAF＝∠ACF， ∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE， ∵∠AEB+∠BEF＝180°，∠CFA+∠BFE＝180°， ∴∠AEB＝∠CFA， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（ASA）， ∴AB＝CA， ∴∠ABC＝∠ACB； （2）∵OF2＝EF•AF， ∴， 又∵∠AFO＝∠OFE， ∴△AFO∽△OFE， ∴∠AOF＝∠OEF， ∴∠COF＝∠AEO， ∵∠AEO＝∠BEF， ∴∠COF＝∠BEF， 又∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠COF＝∠BFE， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACF， ∵∠BAF＝∠DAC， ∴∠BAF＝∠ACF， ∴△ABF∽△CFO， ∴∠ABF＝∠CFO， ∴AB∥OF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O为AC中点， ∵AB∥OF， ∴F是BC的中点． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $