《第一章三角形第五节等腰三角形（一）》提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 以“定义-性质-应用-拓展”为逻辑主线，系统构建等腰三角形知识体系，融合实验操作与演绎推理，突出分类讨论和辅助线思想，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与概念|A卷选择8/填空11|抓“至少两边相等”识别等腰三角形，明确底边、顶角唯一性|从折叠实验抽象定义，关联三角形分类建立概念网络| |性质定理|A卷解答21/22|等边对等角证角相等，三线合一证线段/垂直关系，规范符号语言|通过全等证明性质，结合轴对称性深化理解，区分腰与底边的性质差异| |角度计算|A卷选择1/填空12|已知角分钝角/直角（仅顶角）、锐角（分类讨论），用内角和定理计算|从性质推导计算模型，通过易错分析强化分类讨论思维| |辅助线与综合|B卷解答24/26|作底边上的高/中线/顶角平分线构造三线合一，结合全等解决综合问题|从基础应用到跨知识点综合，提升几何推理与模型构建能力|

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第五节等腰三角形（一）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解等腰三角形的定义，分清腰、底边、顶角、底角；认识等腰三角形的轴对称性；抽象概括等边对等角、三线合一两大性质，规范书写几何符号语言，建立等腰三角形几何模型 。 2.会利用全等三角形证明等腰三角形两大性质；能结合图形进行角度、线段的推理证明；会对等腰三角形已知一角求其余角进行分类讨论，提升演绎推理能力。 3.运用等腰三角形性质完成角度计算；结合三角形内角和定理求解等腰三角形内角度数；利用三线合一进行线段、垂直关系的计算，掌握分类讨论的计算思想。 4.体会等腰三角形轴对称思想；掌握等腰三角形性质的常见辅助线构造；能解决几何计算、简单证明题型；养成分类讨论、严谨书写推理步骤的习惯。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.等腰三角形的定义，识别腰、底边、顶角、底角；等腰三角形是轴对称图形，明确对称轴。 2.性质1：等边对等角，会用符号语言书写，用于证明角相等、计算角度。 3.性质2：三线合一，理解顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；熟练掌握三线合一三种形式的几何语言。 4.已知等腰三角形一个内角，利用内角和定理求其余内角，会简单分类讨论。 （二）难点 1.准确理解 “ 三线合一 ” 的条件：必须是等腰三角形，且是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，不能随意套用。 2.分类讨论：已知等腰三角形一个角的度数，分不清该角是顶角还是底角，造成漏解。 3.辅助线添加：遇到等腰三角形，合理作顶角平分线/底边上的高/底边上的中线，构造全等三角形。 4.区分：三线合一只针对底边，不是腰上的中线、高、角平分线。 )三．知识清单 ( （一） 等腰三角形的定义与相关概念 如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征? 这个三角形有两条边相等，有两个角相等. 1. 等腰三角形的 定义 ： 两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中，相等的两条边称为腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 深入理解： 强调 “ 至少有两条边相等 ” ，说明等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等）。 ) ( 3. 注意： （1） 等腰三角形中，底边、顶角是唯一的，底角有两个； （2） 等腰三角形具备普通三角形全部性质：内角和180 o ，两边之和大于第三边。 4 . 三角形 的 分类 （1）按边分类 （2）等腰三角形按角分类 （二）等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线（底边上的中线所在直线、底边上的高所在直线）是它的对称轴 。 易错：对称轴是直线，不是线段；不能说成 “ 顶角平分线是对称轴 ” 。 （三）等腰三角形的性质 1. 性质定理1: “ 等边对等角 ” 剪一张等腰三角形纸片（AB=AC），将其对折，使两腰AB与AC重合，观察底角 ∠ B和 ∠ C的关系。 推理：如图，在 △ ABC中，AB=AC，求证： ∠ B= ∠ C。 作边BC的中线AD.在 △ ABD和 △ ACD中，AB =AC,BD =CD,AD=AD，通过 “ SSS ” ，可以证明也可以用等腰三角对称性证明 △ ABD ≌△ ACD,所以 ∠ B= ∠ C （1）内容：等腰三角形的两个底角相等，简写成 “ 等边对等角 ” 。 （2） 几何语言： ∵ 在 △ ABC中，AB=AC ∴∠ B= ∠ C ) ( 2. 性质定理2：三线合一（重点） 剪一张等腰三角形纸片（AB=AC），将其对折，使两腰AB与AC重合，观察折痕AD与底边BC的关系，发现AD既是顶角平分线，也是底边上的中线和高。 推理 过程如下 ① 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线. 求证:　AD ⊥ BC, ∠ BAD= ∠ CAD　　　　　　　　　　.   证明: ∵ AD是BC边上的中线, ∴ BD=CD. 在 △ ABD和 △ ACD中, ∴△ ABD ≌△ ACD(SSS). ∴∠ ADB= ∠ ADC, ∠ BAD= ∠ CAD. ∵∠ ADB+ ∠ ADC=180 ° , ∴∠ ADB=1/2 × 180 ° =90 ° . ∴ AD ⊥ BC. ② 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是 △ ABC的角平分线. 求证:　BD=CD,AD ⊥ BC　　　　　　　　.   证明: ∵ AD是 △ ABC的角平分线, ∴∠ BAD= ∠ CAD.在 △ ABD和 △ ACD中, ∴△ ABD ≌△ ACD(SAS). ∴ BD=CD, ∠ ADB= ∠ ADC. ∵∠ ADB+ ∠ ADC=180 ° , ∴∠ ADB=1/2 × 180 ° =90 ° . ∴ AD ⊥ BC. ③ 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是 △ ABC的高线. 求证:　BD=CD, ∠ BAD= ∠ CAD　　　　　　　　　　　.   证明: ∵ AD是 △ ABC的高线, ∴∠ ADB= ∠ ADC=90 ° .在Rt △ ABD和Rt △ ACD中, ∴ Rt △ ABD ≌ Rt △ ACD(HL). ∴ BD=CD, ∠ BAD= ∠ CAD. （1）内容：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三者互相重合，简称 “ 三线合一 ” 。 （ 2 ） 几何语言：（三种等价形式， △ ABC中AB=AC） 在 △ ABC中 ①∵ AB=AC, ∠ BAD= ∠ CAD ∴ BD=CD,AD ⊥ BC ②∵ AB=AC,BD=CD ∴∠ BAD= ∠ CAD，AD ⊥ BC ③∵ AB=AC，AD ⊥ BC ∴∠ BAD= ∠ CAD，BD=CD ) ( （3）理解：   ① “ 三线合一 ” 只针对顶角、底边；腰上的中线、腰上的高、腰对应的角平分线，不满足三线合一； ② 条件：必须是等腰三角形； ③ 用途：可以同时得到：角相等、线段相等、垂直关系。 ④ 辅助线技巧：题目出现等腰三角形，优先作底边上的高/底边上的中线/顶角平分线，利用三线合一解题。 （四） 等腰三角形角度计算模型 已知等腰三角形一个内角，求其余两个角： （1） 如果已知角是钝角或直角：这个角只能是顶角，底角一定是锐角； （2） 如果已知角是锐角：分两种情况： ① 该角为顶角； ② 该角为底角，需要分类讨论。 例：等腰三角形一个角为50 o ， 情况1：50 o 为顶角，则底角= （ 180 o -50 o ） ÷ 2=65 o ； 情况2：50 o 为底角，则顶角=180 o -50 o × 2=80 o 。 补充：等腰三角形的底角一定是锐角，不可能为直角或钝角。 （五）等腰三角形的尺规作图 1.已知:如图,线段a和h.求作等腰三角形ABC,使底边BC=a,底边上的高AD=h.(保留作图痕迹并写出相应的作法) 作法:(1)作线段BC=a; (2)作线段BC的垂直平分线MN,与线段BC交于点D; (3)在MN上截取DA=h; (4)连接AB,AC,则 △ ABC即为所求的等腰三角形. 2. 已知底边和腰作等腰三角形：已知线段 b （底边）和 a （腰）， 求作 △ ABC，使AB=AC=b，BC=a。 作法 ： （ 1） 作线段BC= b ； （ 2） 分别以B、C为圆心， a 为半径画弧，两弧交于点A； （ 3） 连接AB、AC， △ ABC即为所求。 （六） 易错分析 易错点1：混淆 “ 三线合一 ” 适用对象 错误：等腰三角形腰上的高，也是腰上的中线和顶角平分线。 纠正：三线合一仅针对顶角平分线、底边上的中线、底边上的高；腰上的中线、高不满足三线合一。 ) ( 易错点2： “ 等边对等角 ” 忽略同一三角形条件 错误：AB=DE，直接得出 ∠ C= ∠ F。 纠正：等边对等角，必须在同一个三角形内部，相等的边所对的角才相等。 易错点3：已知等腰三角形一个锐角，不分类讨论，漏解 错误：等腰三角形一个角是70 o ，直接算出底角55 o 。 纠正：70 o 可以是顶角，也可以是底角；分两种情况，两种结果都要写出来；如果已知角是钝角，则只能作为顶角。 易错点4：对称轴概念错误 错误：等腰三角形的对称轴是底边上的高（线段）。 纠正：对称轴是直线，表述应为：底边上的高所在的直线。 易错点5：乱用三线合一，缺少等腰前提条件 错误：三角形中，AD平分 ∠ BAC，AD ⊥ BC，直接得出BD=DC。 纠正：必须先说明\triangle ABC是等腰三角形（AB=AC），才可以使用三线合一。 易错点6：概念混淆：把底角理解成任意两个相等角 错误：等腰三角形两个相等的角叫底角。 纠正：底角特指腰与底边的夹角；顶角是两腰夹角，只有两个底角。 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，现将三角形的一个角沿AD折叠，使得点C落在边AB上的点C′处，若△BC′D是等腰三角形，则∠C的度数为（　　） A.36° B.38° C.48° D.84° 【答案】C 【解析】在△ABC中，∠BAC＝108°，∴∠B+∠C＝72°，∠B，∠C是锐角，由折叠可知∠AC′D＝∠C，∵△BC′D是等腰三角形，∴∠B＝∠BDC′，∴∠AC′D＝∠B+∠C＝2∠B，∴∠C＝48°．故选：C． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D．则∠D的度数为（　　） A.15° B.17.5° C.20° D.22.5° 【答案】A 【解析】∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝75°，∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4＝37.5°，∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝105°，∴∠2＝52.5°，∴∠BCD＝75°+52.5°＝127.5°，∴∠D＝180°﹣∠3﹣∠BCD＝15°．故选：A． 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AC上，且DA＝DE，若∠BAD＝35°，∠EDC＝25°，则∠DAE的度数为（　　） A.80° B.65° C.60° D.50° 【答案】B 【解析】设∠DAE＝x°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝x°，∵∠EDC＝25°，∴∠C＝∠DEA﹣∠EDC＝（x﹣25）°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（x﹣25）°，又∠BAD＝35°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（x+10）°，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝（x﹣15）°，在△ADE中，∠ADE+∠DAE+∠DEA＝180°，∴（x﹣15）°+x°+x°＝180°，∴x＝65，即∠DAE＝65°． 故选：B． 4.如图，若AB∥EF，AE＝AC，∠E＝65°，则∠CAB的度数为（　　） A.25° B.50° C.60° D.65° 【答案】D 【解析】∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE＝65°，∵AB∥EF，∴∠CAB＝∠ACE＝65°，故选：D． 5.如图，直线a∥b，将一个直角三角形纸片如图放置，∠ACB＝90°，∠A＝22°，点C落在直线a上，点B落在直线b上，且AC交直线b于点D，若AD＝BD，则∠1的度数为（　　） A.44° B.46° C.48° D.52° 【答案】B 【解析】∵AD＝BD，∠A＝22°，∴∠ABD＝∠A＝22°，∴∠CDB＝44°，∵∠ACB＝90°，∴∠DBC＝180°-∠ACB﹣44°＝46°，∵直线a∥b，∴∠1＝∠DBC＝46°，故选：B． 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠BAE的度数为（　　） A.50° B.40° C.60° D.80° 【答案】C 【解析】∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝40°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝100°﹣40°＝60°，故选：C． 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BC＝10，△BDC的周长为24，那么△ABC的周长是（　　） A.30 B.32 C.34 D.38 【答案】D 【解析】∵AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，∴AD＝BD，∵△BDC的周长为24， ∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝24，∵BC＝10，∴AC＝14，∵AB＝AC，∴AB＝14，∴△ABC的周长为14+14+10＝38，故选：D． 8.如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，下面结论中不一定成立的是（　　） A.∠BAD＝∠DAC B.BD＝DC C.∠ADC＝90° D.∠B＝∠BAD 【答案】D 【解析】∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC，AD是△ABC的中线，高线，∴BD＝DC，∠ADC＝90°，故A、B、C都成立，只有D不一定成立． 故选：D． 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（　　） A.18° B.27° C.25° D.36° 【答案】C 【解析】∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ABC＝∠ACD＝70°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∵DE＝BD，∴BD＝CD＝DE，∴∠EBD＝∠BED＝∠DCE＝∠DEC＝45°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝70°﹣45°＝25°．故选：C． 10.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF＝8，则DE的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝2DE•AB＝DE•AB，∵S△ABCAC•BF，∴AC•BF＝DE•AB，∵AC＝AB，∴BF＝DE，∵BF＝8， ∴DE＝4，故选：C． 二．填空题（共30分） 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，若∠B＝40°，则∠C的度数为 　 　． 【答案】40° 【解析】∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠C＝∠B＝40°，故答案为：40°． 12.如图，△ABC中，AB＝BC，M、N为BC边上的两点，并且∠BAM＝∠CAN，MN＝AN，则∠MAC＝　   　度． 【答案】60 【解析】设∠CAN＝x，∠MAN＝y，∵AB＝BC，∠BAM＝∠CAN，∴∠C＝∠BAC＝2x+y，∴∠ANM＝x+（2x+y）＝3x+y，∵MN＝AN，∴∠AMN＝∠MAN，在△AMN中，2y+（3x+y）＝180°， 解得x+y＝60°，即∠MAC＝60°．故答案为：60． 13.如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝　  　． 【答案】100° 【解析】延长BD交AC于E．∵DA＝DB＝DC，∴∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°．又∵∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝50°，∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，∴∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD＝20°+50°+30°＝100°．故答案为：100°． 14.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为 　 　． 【答案】52° 【解析】如图：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝54°，∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝72°，∵∠1＝20°，∴∠3＝∠CAB﹣∠1＝52°，∵l1∥l2，∴∠3＝∠2＝52°，故答案为：52°． 15.如图，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，若∠A＝40°，则∠DBC＝　 　°． 【答案】30 【解析】∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30． 16.李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 　   　． 【答案】BD＝CD，AD平分∠BAC． 【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC∴△ABC是等腰三角形，∴BD＝CD，AD平分∠BAC，故答案为：BD＝CD，AD平分∠BAC． 17.如图，在△ABC中，AB＝BC，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝　   　°． 【答案】90° 【解析】∵AB＝BC，BD为∠ABC的平分线，∴BD为底边AC上的高线，∴∠BDC＝90°， 故答案为：90°． 18.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，BD＝5cm，则BC＝　 　cm． 【答案】10 【解析】∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴BC＝2BD＝2CD，∵BD＝5cm，∴BC＝2BD＝10cm，故答案为10． 19.做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合． 对于下列结论： ①在同一个三角形中，等角对等边； ②在同一个三角形中，等边对等角； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合． 由上述操作可得出的是　   　（将正确结论的序号都填上）． 【答案】②③ 【解析】从操作过程没有体现角相等，边就相等，故①不符合； 因为AB＝AC，操作之后得到∠B与∠C重合，即等边对等角，故②符合； 根据所得的像与△ACD重合，所以AD⊥BC，BD＝CD，又AD平分∠BAC，所以③符合． 故操作可以得出的是②③两结论． 故填②③． 20．如图在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC= 50°，∠BAC的平分线AO与AB的中垂线DO交于点D．点C沿EF折叠后与点O重合，连结OC，则∠CEF的度数是_______. 【答案】 50° 【解析】连结OB,∵AO是等腰△ABC顶角的平分线，∠BAC=50°,∴∠OAD=∠OAC=25°，且OA所在的直线是BC的垂直平分线，∴OB =OC，又∵OD所在的直线是AB的垂直平分线，∴OA= OB,∴OA= OC,∴∠OCA=∠OAC= 25°．∵AB =AC,∴∠ACB= ∠ABC= 65°,∴∠OCE= ∠ACB-∠OCA=65°-25°= 40°．又∵∠OEF= ∠CEF,∠ECO=∠EOC= 40°,∴∠OEC=2∠CEF=180°-∠ECO-∠EOC= 100°,∴∠CEF=50°. 三．解答题（共60分） 21.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,连接CF. (1)求证:∠ABF=∠ACF; (2)若∠BAC=48°,求∠CFE的度数. 解：(1)证明:∵AD⊥BC,AB=AC,∴CD=BD,∠ABC=∠ACB,∠FDB=∠FDC=90°,易证△FDB≌△FDC,∴BF=CF,∴∠CBF=∠BCF,∴∠ABC-∠CBF=∠ACB-∠BCF,∴∠ABF=∠ACF. (2)∵AB=AC,∠BAC=48°,∴∠ABC=∠ACB=66°,∵BE⊥AC,∴∠ABF=90°-∠BAC=42°, ∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=24°,由(1)得∠CBF=∠BCF,∴∠BCF=24°,∴∠CFE=∠CBF+∠BCF=48°. 22.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF． 解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，∵∠B＝36°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝54°，∴∠CAD＝54°； （2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AB，∴∠F＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD，∴AE＝EF． 23.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE． （1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数； （2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由． 解：（1）∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，∴∠ABC＝80°． 在△BDC中，BD＝BC，∴，∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°． （2）设∠BCD＝x°，∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°．∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，∴2α＝β． 24.如图,△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在一条直线上,过点C作CM⊥AE于点M. (1)试探究AD和BE之间的关系,并说明理由; (2)若AE=13,BE=6,求CM的值. 解：(1)AD和BE之间的关系为AD=BE,AD⊥BE.理由如下:∵CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,∠CDE=∠CED=45°,∴∠ACD=∠BCE,∠ADC=180°-∠CDE=135°,在△ACD和△BCE中,∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE,∠ADC=∠BEC=135°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°,∴AE⊥BE,故AD⊥BE. (2)由(1)知AD=BE,∵AE=13,BE=6,∴DE=AE-AD=AE-BE=13-6=7,又∵CD=CE,∠DCE=90°,CM⊥AE,∴CM=DM=EM=DE=3.5. 25．如图1，在中，，点D在上，点E在的延长线上，连接交于F，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求的面积． 解：（1）证明：如图1，过点D作，交于点G，∴，在和中，，∴，∴，∵， ∴，∵，∴，∴，∴， ∴； （2）解：如图2，过点D作，交于点G，过点D作于点H，由（1）得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴． 26.问题：如图，在△ABD中，BA＝BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数. 答案：∠DAC＝45°. 思考： (1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由； (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数. 解：(1)∠DAC的度数不会改变.理由如下：∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠C.∴∠AED＝2∠C. ∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°－∠AED＝90°－2∠C.∵BA＝BD，∴∠BDA＝(180°－∠B)＝[180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C.∴∠DAC＝∠BDA－∠C＝45°. (2)设∠B＝m°，则∠BDA＝(180°－m°)＝90°－m°，∠AEB＝180°－n°－m°. ∵EA＝EC，∴∠C＝∠AEB＝90°－n°－m°.∴∠DAC＝∠BDA－∠C＝n°. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（　　） A.25° B.35° C.40° D.50° 【答案】B 【解析】∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，由∠BAD＝40°得∠B70°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C∠ADB＝35°．故选：B． 2.如图，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为（　　） A.80° B.100° C.120° D.160° 【答案】B 【解析】∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠1＝40°，∵AB∥CD，∴∠BCE＝180°﹣∠1＝40°，∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝100°，故选：B． 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的中垂线分别交AB，AC于D，E两点．若AE＝3，则△ABC与△BDC的周长之差是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】∵DE是AC中垂线，∴AD＝DC，AC＝2AE＝2×3＝6，∴△ABC周长﹣△BDC周长＝（AB+AC+BC）﹣（BD+DC+BC）＝AB+AC+BC﹣（BD+AD+BC）＝AB+AC+BC﹣AB﹣BC＝AC＝6， 故选：D． 4.如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（　　） A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC 【答案】D 【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，∴∠B＝∠C，AD⊥BC，D是BC的中点，无法证明AB＝BC．故选：D． 5.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（　　） A.72° B.65° C.50° D.36° 【答案】B 【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝25°，∴∠BAD＝180°-∠ADB﹣25°＝65°，故选：B． 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，则S△CDE：S四边形ABDE＝（　　） A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3 【答案】B 【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∵E是AC的中点，∴S△CDES△ABC，则S四边形ABDES△ABC，∴S△CDE：S四边形ABDE： 1：3．故选：B． 7.如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（　　） A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180° 【答案】B 【解析】∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，∴2∠1+∠C=180°，∴2∠1+∠1﹣∠2=180°，∴3∠1﹣∠2=180°．故选B． 8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为( ) A.30° B.40° C.60° D.80° 【答案】：C 【解析】设∠B=a. ∵AB=AC.∴∠B=∠C；∴∠C=a；∵∠ADC是△ABD 的一个外角∠ADC=∠B+∠BAD；∵∠BAD=20°∠EDC=10°；∴∠ADE=a+20°-10°=a+10°∵∠AED是△CDE的一个外角..∠AED=ZC+∠EDC=a+10°∵AD=DE；∴∠DAE=∠AED=a+10°；∴a+10°+a+10°+a+10°=180°∴a=50°；∴∠DAE=a+10°=60°故选 C. 9.等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 【答案】：D 【解析】因为题中没有明确说明等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，所以需分两种情况:①当为锐角三角形时，如图1，此时顶角∠A=180°-30°-90°=60°，而且此时的等腰三角形恰好为等边三角形;②当为钝角三角形时，如图2,此时顶角∠BAC=90°+30°=120°.所以该等腰三角形的顶角的度数为60°或120°.故选D. 10.如图D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，A= ∠ABE，若AC= 10，BC=6，则BD的长为( ) A.5 B.3 C.4 D.2 【答案】D 【解析】∵∠A= ∠ABE，∴AE= BE，∵CD—平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∵BE⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=90°，又∵DC= DC,∴ABDC△EDC(ASA),∴EC= BC= 6,BD= ED,∴BE =AE=AC-EC= 10-6=4，∴BD=BE=2．故选D． 二．填空题（共30分） 11.如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，则∠DBC＝　 　°． 【答案】30 【解析】∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）＝70°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°． 12.关于等腰三角形的对称轴问题，芳芳、丽丽、园园有以下不同的看法． 芳芳：“我认为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线” 丽丽：“我认为等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线” 园园：“我认为等腰三角形的对称轴是底边高线所在的直线” 你认为她们谁说得对呢？请说明你的理由 　                ． 【答案】三个人说的都对，等腰三角形“三线合一” 【解析】因为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，底边中线所在的直线，底边高线所在的直线，所以三个人说的都对，等腰三角形“三线合一”．故填三个人说的都对，等腰三角形“三线合一”． 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝30°，则∠C的度数为 　 　°． 【答案】60 【解析】AB＝AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，∵∠BAD＝30°，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，∴∠C（180°﹣60°）＝60°．故答案为：60． 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝　　cm． 【答案】8 【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，∴BD＝DCBC，∵BC＝16cm，∴BD＝8cm． 故答案为：8． 15.定义:在一个三角形中,当一个内角的度数是另一内角度数的时,我们称这样的三角形为“半角三角形”.若等腰△ABC为“半角三角形”,则等腰△ABC的顶角度数为　　　　.  【答案】　36°或90° 【解析】　分两种情况:①顶角度数是底角度数的时,顶角的度数180°÷(2+2+1)=36°; ②底角度数是顶角度数的时,顶角的度数为180°÷（++1）=90°.综上,等腰△ABC的顶角度数为36°或90°. 16．如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为________. 【答案】4 【解析】连接AD，则：S△ABD+S△ACD＝S△ABC，即：×8•DF+8•DE＝24，可得：DE+DF＝6，∵DF＝2DE，∴DF＝4， 17．如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为　 　． 【答案】45° 【解析】∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵∠BAE＝90°，∠B＝45°，∵∠AEB＝∠B＝45°，∠EAC＝∠C，∴∠EAC＝22.5°，∴∠DAE＝∠DAE+∠EAC＝45°，故答案为：45°． 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=______度． 【答案】50 【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，∴∠B=∠C=50°，∵BE=BP，∴∠BEP=∠EPB=65°，同理，∠FPC=65°，∠EPF=180°-65°-65°=50°．故答案为50°． 19.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列说法：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有　      　． 【答案】①②③④ 【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DAE＝∠DAF，∠DEA＝∠DFA，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∠ADE＝∠ADF， ∴①②正确；又∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD垂直平分线段BC，∴③正确；在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴全等的三角形共有三对，∴④正确，综上可知正确的为①②③④，故答案为：①②③④． 20.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，现将一含30°角的三角板（∠DAE＝90°，∠E＝30°） 的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当DE∥BC时，∠BAE的度数为 　             　． 【答案】40°或140° 【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠B＝∠C70°， 分两种情况：当DE在点A下方时，设DE交AB于点F，如图：∵DE∥BC，∴∠AFD＝∠B＝70°，∵∠AFD是△AEF的一个外角，∴∠BAE＝∠AFD﹣∠E＝70°﹣30°＝40°；当DE在点A上方时，延长CA交DE于点F，如图：∵DE∥BC，∴∠EFC＝∠C＝70°，∵∠EAC是△AEF的一个外角，∴∠EAC＝∠E+∠EFC＝70°+30°＝100°，∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝100°+40°＝140°；综上所述，∠BAE的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°． 三．解答题（共60分） 21．如图已知角a．线段m． 求作：等腰三角形ABC，使其顶角∠BAC=x，△ABC的角平分线AD=m．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【解析】 ①作∠MAN=a;②作∠MAN的平分线AF;③在AF上截取AD=m;④过点D作BD⊥AF，交射线AM于点B，交射线AN于点C．则△ABC即为所求作的三角形． 22.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D. (1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数； (2)若点E在边AB上，F在AD的延长线上，且AE＝FE.求证：EF∥AC. 解：(1)∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°.又∵∠C＝42°， ∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°. (2)证明：由(1)知∠BAD＝∠CAD.∵AE＝FE，∴∠BAD＝∠F.∴∠F＝∠CAD.∴EF∥AC. 23.如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE. (1)求证：DE∥BC； (2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数． 解：(1)证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∵DB＝DE，∵∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC； (2)∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－65°－45°＝70°.∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝35°. 24. （1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？ （2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想． 解：(1)成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4.∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6.∴∠1=∠3，∠6=∠5.根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立． (2)∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC． ∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠ACG，∴∠ACF=∠FCG．∴∠DFC=∠FCG． ∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∴EF+DE=DF，即DE+EC=BD．2 25．小明将两个大小不同的含角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），，，，且B、C、E三点在同一条直线上，连接． (1)求证：； (2)线段与的关系为____________． 解：（1）证明：∵，，， ∴， ∴， 在和中，，∴； （2）解：∵，∴，， ∴，∴，∴， 故答案为：，． 26.定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD. (1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由; (2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由; (3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC. 图1 图2 图3 解：　(1)AB∥CD.理由:∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD, ∴∠OCD=∠ODC=(180°-∠COD),∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB), ∴∠OCD=∠OAB.∵A,O,C三点共线,∴AB∥CD. (2)AC=BD,AC⊥BD.理由:如图,设BD交AC于点M,交OC于点J.∵∠AOB=∠COD=90°, ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中,∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD,∠OCM=∠ODJ.∵∠DJO=∠CJM, ∴∠CMJ=∠DOJ=90°,即AC⊥BD. (3)证明:如题图3,∵E为AD中点,∴AE=DE,在△AEG和△DEO中, ∴△AEG≌△DEO(SAS),∴AG=OD,∠G=∠DOE,∴AG∥OD,∴∠OAG+∠AOD=180°. ∵∠COD=∠AOB=90°,∴∠AOD+∠BOC=180°,∴∠GAO=∠COB.∵OD=OC,∴AG=OC.在△GAO和△COB中,∴△GAO≌△COB(SAS),∴∠AOG=∠OBC. ∵∠AOG+∠BOF=90°,∴∠OBC+∠BOF=90°,∴∠BFO=90°,即EF⊥BC. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第五节等腰三角形（一）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解等腰三角形的定义，分清腰、底边、顶角、底角；认识等腰三角形的轴对称性；抽象概括等边对等角、三线合一两大性质，规范书写几何符号语言，建立等腰三角形几何模型 。 2.会利用全等三角形证明等腰三角形两大性质；能结合图形进行角度、线段的推理证明；会对等腰三角形已知一角求其余角进行分类讨论，提升演绎推理能力。 3.运用等腰三角形性质完成角度计算；结合三角形内角和定理求解等腰三角形内角度数；利用三线合一进行线段、垂直关系的计算，掌握分类讨论的计算思想。 4.体会等腰三角形轴对称思想；掌握等腰三角形性质的常见辅助线构造；能解决几何计算、简单证明题型；养成分类讨论、严谨书写推理步骤的习惯。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.等腰三角形的定义，识别腰、底边、顶角、底角；等腰三角形是轴对称图形，明确对称轴。 2.性质1：等边对等角，会用符号语言书写，用于证明角相等、计算角度。 3.性质2：三线合一，理解顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；熟练掌握三线合一三种形式的几何语言。 4.已知等腰三角形一个内角，利用内角和定理求其余内角，会简单分类讨论。 （二）难点 1.准确理解 “ 三线合一 ” 的条件：必须是等腰三角形，且是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，不能随意套用。 2.分类讨论：已知等腰三角形一个角的度数，分不清该角是顶角还是底角，造成漏解。 3.辅助线添加：遇到等腰三角形，合理作顶角平分线/底边上的高/底边上的中线，构造全等三角形。 4.区分：三线合一只针对底边，不是腰上的中线、高、角平分线。 )三．知识清单 ( （一） 等腰三角形的定义与相关概念 如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征? 这个三角形有两条边相等，有两个角相等. 1. 等腰三角形的 定义 ： 两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中，相等的两条边称为腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 深入理解： 强调 “ 至少有两条边相等 ” ，说明等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等）。 ) ( 3. 注意： （1） 等腰三角形中，底边、顶角是唯一的，底角有两个； （2） 等腰三角形具备普通三角形全部性质：内角和180 o ，两边之和大于第三边。 4 . 三角形 的 分类 （1）按边分类 （2）等腰三角形按角分类 （二）等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线（底边上的中线所在直线、底边上的高所在直线）是它的对称轴 。 易错：对称轴是直线，不是线段；不能说成 “ 顶角平分线是对称轴 ” 。 （三）等腰三角形的性质 1. 性质定理1: “ 等边对等角 ” 剪一张等腰三角形纸片（AB=AC），将其对折，使两腰AB与AC重合，观察底角 ∠ B和 ∠ C的关系。 推理：如图，在 △ ABC中，AB=AC，求证： ∠ B= ∠ C。 作边BC的中线AD.在 △ ABD和 △ ACD中，AB =AC,BD =CD,AD=AD，通过 “ SSS ” ，可以证明也可以用等腰三角对称性证明 △ ABD ≌△ ACD,所以 ∠ B= ∠ C （1）内容：等腰三角形的两个底角相等，简写成 “ 等边对等角 ” 。 （2） 几何语言： ∵ 在 △ ABC中，AB=AC ∴∠ B= ∠ C ) ( 2. 性质定理2：三线合一（重点） 剪一张等腰三角形纸片（AB=AC），将其对折，使两腰AB与AC重合，观察折痕AD与底边BC的关系，发现AD既是顶角平分线，也是底边上的中线和高。 推理 过程如下 ① 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线. 求证:　AD ⊥ BC, ∠ BAD= ∠ CAD　　　　　　　　　　.   ② 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是 △ ABC的角平分线. 求证:　BD=CD,AD ⊥ BC　　　　　　　　.   ③ 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是 △ ABC的高线. 求证:　BD=CD, ∠ BAD= ∠ CAD　　　　　　　　　　　.   （1）内容：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三者互相重合，简称 “ 三线合一 ” 。 （ 2 ） 几何语言：（三种等价形式， △ ABC中AB=AC） 在 △ ABC中 ①∵ AB=AC, ∠ BAD= ∠ CAD ∴ BD=CD,AD ⊥ BC ②∵ AB=AC,BD=CD ∴∠ BAD= ∠ CAD，AD ⊥ BC ③∵ AB=AC，AD ⊥ BC ∴∠ BAD= ∠ CAD，BD=CD ) ( （3）理解：   ① “ 三线合一 ” 只针对顶角、底边；腰上的中线、腰上的高、腰对应的角平分线，不满足三线合一； ② 条件：必须是等腰三角形； ③ 用途：可以同时得到：角相等、线段相等、垂直关系。 ④ 辅助线技巧：题目出现等腰三角形，优先作底边上的高/底边上的中线/顶角平分线，利用三线合一解题。 （四） 等腰三角形角度计算模型 已知等腰三角形一个内角，求其余两个角： （1） 如果已知角是钝角或直角：这个角只能是顶角，底角一定是锐角； （2） 如果已知角是锐角：分两种情况： ① 该角为顶角； ② 该角为底角，需要分类讨论。 例：等腰三角形一个角为50 o ， 情况1：50 o 为顶角，则底角= （ 180 o -50 o ） ÷ 2=65 o ； 情况2：50 o 为底角，则顶角=180 o -50 o × 2=80 o 。 补充：等腰三角形的底角一定是锐角，不可能为直角或钝角。 （五）等腰三角形的尺规作图 1.已知:如图,线段a和h.求作等腰三角形ABC,使底边BC=a,底边上的高AD=h.(保留作图痕迹并写出相应的作法) 2. 已知底边和腰作等腰三角形：已知线段 b （底边）和 a （腰）， 求作 △ ABC，使AB=AC=b，BC=a。 （六） 易错分析 易错点1：混淆 “ 三线合一 ” 适用对象 错误：等腰三角形腰上的高，也是腰上的中线和顶角平分线。 纠正：三线合一仅针对顶角平分线、底边上的中线、底边上的高；腰上的中线、高不满足三线合一。 ) ( 易错点2： “ 等边对等角 ” 忽略同一三角形条件 错误：AB=DE，直接得出 ∠ C= ∠ F。 纠正：等边对等角，必须在同一个三角形内部，相等的边所对的角才相等。 易错点3：已知等腰三角形一个锐角，不分类讨论，漏解 错误：等腰三角形一个角是70 o ，直接算出底角55 o 。 纠正：70 o 可以是顶角，也可以是底角；分两种情况，两种结果都要写出来；如果已知角是钝角，则只能作为顶角。 易错点4：对称轴概念错误 错误：等腰三角形的对称轴是底边上的高（线段）。 纠正：对称轴是直线，表述应为：底边上的高所在的直线。 易错点5：乱用三线合一，缺少等腰前提条件 错误：三角形中，AD平分 ∠ BAC，AD ⊥ BC，直接得出BD=DC。 纠正：必须先说明\triangle ABC是等腰三角形（AB=AC），才可以使用三线合一。 易错点6：概念混淆：把底角理解成任意两个相等角 错误：等腰三角形两个相等的角叫底角。 纠正：底角特指腰与底边的夹角；顶角是两腰夹角，只有两个底角。 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，现将三角形的一个角沿AD折叠，使得点C落在边AB上的点C′处，若△BC′D是等腰三角形，则∠C的度数为（　　） A.36° B.38° C.48° D.84° 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D．则∠D的度数为（　　） A.15° B.17.5° C.20° D.22.5° 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AC上，且DA＝DE，若∠BAD＝35°，∠EDC＝25°，则∠DAE的度数为（　　） A.80° B.65° C.60° D.50° 4.如图，若AB∥EF，AE＝AC，∠E＝65°，则∠CAB的度数为（　　） A.25° B.50° C.60° D.65° 5.如图，直线a∥b，将一个直角三角形纸片如图放置，∠ACB＝90°，∠A＝22°，点C落在直线a上，点B落在直线b上，且AC交直线b于点D，若AD＝BD，则∠1的度数为（　　） A.44° B.46° C.48° D.52° 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠BAE的度数为（　　） A.50° B.40° C.60° D.80° 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BC＝10，△BDC的周长为24，那么△ABC的周长是（　　） A.30 B.32 C.34 D.38 8.如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，下面结论中不一定成立的是（　　） A.∠BAD＝∠DAC B.BD＝DC C.∠ADC＝90° D.∠B＝∠BAD 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（　　） A.18° B.27° C.25° D.36° 10.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF＝8，则DE的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 二．填空题（共30分） 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，若∠B＝40°，则∠C的度数为 　 　． 12.如图，△ABC中，AB＝BC，M、N为BC边上的两点，并且∠BAM＝∠CAN，MN＝AN，则∠MAC＝　   　度． 13.如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝　  　． 14.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为 　 　． 15.如图，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，若∠A＝40°，则∠DBC＝　 　°． 16.李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 　   　． 17.如图，在△ABC中，AB＝BC，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝　   　°． 18.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，BD＝5cm，则BC＝　 　cm． 19.做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合． 对于下列结论： ①在同一个三角形中，等角对等边； ②在同一个三角形中，等边对等角； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合． 由上述操作可得出的是　   　（将正确结论的序号都填上）． 20．如图在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC= 50°，∠BAC的平分线AO与AB的中垂线DO交于点D．点C沿EF折叠后与点O重合，连结OC，则∠CEF的度数是_______. 三．解答题（共60分） 21.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,连接CF. (1)求证:∠ABF=∠ACF; (2)若∠BAC=48°,求∠CFE的度数. 22.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF． 23.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE． （1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数； （2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由． 24.如图,△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在一条直线上,过点C作CM⊥AE于点M. (1)试探究AD和BE之间的关系,并说明理由; (2)若AE=13,BE=6,求CM的值. 25．如图1，在中，，点D在上，点E在的延长线上，连接交于F，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求的面积． 26.问题：如图，在△ABD中，BA＝BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数. 答案：∠DAC＝45°. 思考： (1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由； (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（　　） A.25° B.35° C.40° D.50° 2.如图，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为（　　） A.80° B.100° C.120° D.160° 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的中垂线分别交AB，AC于D，E两点．若AE＝3，则△ABC与△BDC的周长之差是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（　　） A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC 5.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（　　） A.72° B.65° C.50° D.36° 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，则S△CDE：S四边形ABDE＝（　　） A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3 7.如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（　　） A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180° 8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为( ) A.30° B.40° C.60° D.80° 9.等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 10.如图D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，A= ∠ABE，若AC= 10，BC=6，则BD的长为( ) A.5 B.3 C.4 D.2 二．填空题（共30分） 11.如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，则∠DBC＝　 　°． 12.关于等腰三角形的对称轴问题，芳芳、丽丽、园园有以下不同的看法． 芳芳：“我认为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线” 丽丽：“我认为等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线” 园园：“我认为等腰三角形的对称轴是底边高线所在的直线” 你认为她们谁说得对呢？请说明你的理由 　                ． 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝30°，则∠C的度数为 　 　°． 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝　　cm． 15.定义:在一个三角形中,当一个内角的度数是另一内角度数的时,我们称这样的三角形为“半角三角形”.若等腰△ABC为“半角三角形”,则等腰△ABC的顶角度数为　　　　.  16．如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为________. 17．如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为　 　． 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=______度． 19.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列说法：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有　      　． 20.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，现将一含30°角的三角板（∠DAE＝90°，∠E＝30°） 的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当DE∥BC时，∠BAE的度数为 　             　． 三．解答题（共60分） 21．如图已知角a．线段m． 求作：等腰三角形ABC，使其顶角∠BAC=x，△ABC的角平分线AD=m．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D. (1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数； (2)若点E在边AB上，F在AD的延长线上，且AE＝FE.求证：EF∥AC. 23.如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE. (1)求证：DE∥BC； (2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数． 24. （1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？ （2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想． 25．小明将两个大小不同的含角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），，，，且B、C、E三点在同一条直线上，连接． (1)求证：； (2)线段与的关系为____________． 26.定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD. (1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由; (2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由; (3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC. 图1 图2 图3 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $