专题11 共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以共顶点等腰三角形旋转全等为核心，通过解题通法-题型归纳-压轴挑战三级体系，系统提炼“手拉手”模型的判定、性质及应用方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1方法总结|SAS证全等（左手拉左手）、八字倒角求夹角、规避对应边找错等易错点|从模型共性（共顶点、等顶角）到判定应用，构建旋转全等思维框架| |题型归纳|3类典例+6变式|双等腰/等边/等腰直角三角形模型的全等判定、边/角关系及角平分线结论|从一般等腰到特殊等边（60°）、等腰直角（90°），实现模型特殊化迁移| |压轴挑战|8道综合题|结合中点、面积、动态旋转的综合应用|通过复杂情境深化模型应用，提升几何推理与问题解决能力|

专题11 共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，且顶点相连（通常一大一小），形成旋转全等结构。 - 解题方法：识别公共顶点与对应等腰边；利用SAS证明“左手拉左手、右手拉右手”形成的两个三角形全等；由全等导出对应边、角相等；常结合八字倒角求夹角。 - 易错提醒：找错对应边（手拉手应连接的是不同等腰三角形的腰）；忽略公共顶点处顶角相等这一前提；结论中夹角与顶角关系误判（一般夹角等于顶角或其补角）；旋转方向分析不清。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 典例1（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图①，，，，交于点M，交于点O，连接． (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，分别取的中点P，Q，连接，如图②所示，判断的形状，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)等边三角形，见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键 （1）利用证明，即可得； （2）根据得出，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出的度数； （3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）解：∵， ， 在中，， = ， 在中， ； （3）解：为等边三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等边三角形． 题型模版 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。 变式1-1（25-26八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)40 (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，再根据全等三角形的性质和三角形内角和求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式1-2（25-26八年级上·湖北荆门·期末）（1）【问题背景】如图1，和中，，，且，连接，，求证：． （2）【尝试运用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到（1）中的模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线在BC的下方，仍在射线上取点，使，求证：． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出； （3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）的证明方法得出，推出，，由此得出+=180°． 【详解】（1）证明：， ，即， 在△和△中，， △△； （2）解：△中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在△和△中，， △△， ， ， ； （3）证明：如图，在的延长线上找一点，使，设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在△和△中，， △△， ， ， ． 题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 典例2（25-26七年级下·上海·期末）与是有公共顶点的两个等边三角形，将绕点顺时针旋转至以下各位置： (1)如图1，当在下方时，说明． (2)如图2，当在边上时；如图3，当在内时；如图4，当在边上时；如图5，当时，还成立吗？请一一说明理由． 【答案】(1)证明：与是等边三角形， ，，， 则，即． 在和中： ， ． (2)证明：仍然成立，以下分情况证明： ①当在边上时（图2）： 与是等边三角形， ，，， 在边上， 在边上． ， ． ②当在内时（图3） 与是等边三角形， ，，， 则，即． 在和中： ， ． ③当在边上时（图4）： 与是等边三角形， ，，，即． 在和中： ， ． ④当时（图5） 与是等边三角形， ，，， 则，即． 在和中： ， ． 【分析】（１）因为与都是等边三角形，进而利用等边三角形的性质推导出，并证明，随后得到． （２）方法同（１），先证明，随后得到． 【详解】（1）略． （2）略． 题型模版 条件：如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 变式2-1（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）已知：是等边三角形． (1)如图1，点D是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，点F在的右侧，连接，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点E在边上且是等边三角形，与边交于点M，，，求的长度； (3)如图3，当点D是内任意一点，连接，以为边作等边，点F在的右侧，连接并延长交射线于点E（点E与点F不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)证明：与是等边三角形 ，， (2) (3)或 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得到，推出，证明，三线合一，即可得出结果； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：同（1）法可得； ∴， ①当点在线段上时，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴. 变式2-2（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图1，已知为等边三角形，取的边，中点，，连接，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转角，其中． (1)如图2，当时， ①与交于点，求的度数； ②连接，，求证：． (2)在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接，会交于一点，记交点为点，交于点，交于点，连接，求证：平分． 【答案】(1)①； ②证明：和分别为等边三角形， ，， 由旋转知：， ， ． (2)证明：如图，过点分别作于点，于点， 和分别为等边三角形， ，， 由旋转知：， ， ，， ， ， 平分． 【分析】（1）①由旋转可得，再根据等边三角形性质求出，即可求出结论；②证明，即可得出结论； （2）先证明，得出，，过点分别作于点，于点，得出，即可证明结论； 【详解】（1）①解：如图， 由旋转可得，， 是等边三角形， ， ． ②略 （2）略 题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 典例3（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； (2)，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，即． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，然后求解即可； （2）延长，分别交、于F、G，证明，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型模版 条件：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 变式3-1（25-26七年级下·广东佛山·期中）解决问题 (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接，求的度数； (2)拓展探究 ①如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接．求的度数； ②如图2，记为面积，为面积，设，求关于n的数量关系式． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）先证明，那么，根据全等三角形证明，求出，得出，从而得到； （2）证明，得出，进一步得到；②设的面积为，的面积为，由，可得与的面积相等，推出，进而得到为的面积，再根据，均为等腰直角三角形，且，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中，， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． （2）解：①∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴； ②设的面积为，的面积为， ∵， ∴与的面积相等， ∵为面积，为面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的面积，，均为等腰直角三角形，且， ∴， ∴，即． 变式3-2（25-26八年级下·山东枣庄·期末）综合与实践． 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），连接，，延长交于点F，交于点G，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)如图2，当时： ①则 ； ②判断与的位置关系，并说明理由． (2)【深入探究】如图3，当点E，F重合时，探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． (2)， 理由如下： 和是等腰直角三角形， ，，，， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①根据和等腰直角三角形的性质即可求出②根据已知条件判定，得到，再根据直角三角形两锐角互余和对顶角的性质即可证明；（2）仍是判定，则，再根据等腰直角三角形性质得到，代换即可． 【详解】（1） 解：①是等腰直角三角形， ， ， ，即． ②略 （2）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接． (1)与全等吗？为什么？ (2)试猜想，有何关系？并说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)，，理由见解析 【分析】（1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，，通过角之间的等量代换，得出即可得到． 【详解】（1）解：全等，理由见解析： ， ， ， 在与中， ， ； （2）解：，，理由如下： 由（1）知，， ，， ∵，， ∴， 即， ， ， ∴， 则． 2．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图①，是等边三角形，点D在的内部，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接． (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)如图②，延长交直线于点F．当点F与点B重合时，证明： ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可得出结论； （2）借助（1）的结论，利用线段的和差证明． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵是由绕点A逆时针旋转得到的， ∴， ∴， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∵分别是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明，进一步可得，然后利用“”证明即可； （2）首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图1，三点共线，和均为等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，与交于点，连接． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：和均为等边三角形， ． ． 在和中， ， ， ； (2) ①证明：由（1）可知，， 又． ， ； ②猜想：，理由： ，， 是等边三角形， ， ， ． 【分析】（）由等边三角形性质可得，，，得到，然后证明，再由全等三角形性质即可得证； （）证明，再由全等三角形性质即可得证；先证明是等边三角形，所以，则，然后通过平行线的判定方法即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 5．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，． (1)【初步探究】 如图1，点在内，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，，．求证：； (2)【深入探究】 在图1中，延长交于点，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)【拓展延伸】 如图2，点在外，且，与交于点，连接．将与的面积分别记为与．设，，求关于的函数表达式． 【答案】(1)见详解 (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查了图形旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，图形面积的转化等知识点． （1）根据等腰三角形的性质和图形旋转的性质得到，继而得证结论． （2）延长交于点，连接，过点作交于点，通过证明，得到为等腰直角三角形，继而得到，根据，得证结论． （3）过点作交于点，通过证明为等腰直角三角形，得到，通过证明，得证，即． 【详解】（1）解：由旋转可知， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下， 如图，延长交于点，连接，过点作交于点， 则， 由（1）可知， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 6．（25-26七年级下·山东济南·期中）《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 (1)如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 (2)如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； (3)如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)，SAS，AD， (2)见解析 (3)12.5 【分析】(1) 观察图形可知，结合已知条件可以确定全等的判定方法，然后利用全等三角形的对应角相等，再通过进一步推导可以求出； (2) 首先结合第 (1) 问的图形结构证明 ，然后利用全等的性质和已知条件确定 的度数，进而证明即可； (3) 依据前 2 问的解题经验，构造类似的图形结构，通过作辅助线把四边形的面积进行转化而求解． 【详解】（1）解：如图1，设，交于点． ， 为等边三角形， ，，， ，即 ， ， ，， 又， ； （2）证明： 线段绕点 逆时针旋转 得到， ，， ． 为等边三角形， ，， ，即 ． 在 和 中， ， ． 三点共线，， ， ， ， ，即平分； （3）解：答案12.5．理由： 如图 2，延长到，使 ． ，， 在四边形中， ． ， ． 在 和 中， ． ，， ， ． ，， ． 7．（25-26八年级下·江西九江·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． (1)【模型探究】如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； (2)【探究证明】如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； (3)【模型应用】如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，求的面积． 【答案】(1)，， (2) 解：，，理由如下： 如图，设交于点， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，． (3) 【分析】（1）由和均为等边三角形，可得，，，可得，即可得，则，，可得； （2）同理证明，，根据全等三角形的性质解答即可； （3）过点作交于E点，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形性质，可得，从而证明出，，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）略 （3）解：如图，过点作交于E点，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·河南郑州·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型初现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边，、交于点，证明：，并求出的度数； 【模型深化】 (3)如图3，、是等腰直角三角形，，，，连接、，探究、的数量关系与位置关系，并给出证明； 【拓展延伸】 (4)如图4，是等腰直角三角形，其中，，，连接，请直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)C (2) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵，， ∴ ， ∵， ∴ ； (3) ，且， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； (4) 【分析】（1）通过角的和差运算得到两边的夹角相等，结合已知的两组等边，可用判定三角形全等； （2）先利用等边三角形的边、角性质证得 ，再通过角的等量代换结合三角形内角和求出； （3）由角的和差得夹角相等证得 ，再通过角的转化证明两线夹角为，得出 ； （4）利用“同角的余角相等”推出，再代入的内角和定理得到三个角的数量关系． 【详解】（1）解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理； （2）略 （3）略 （4）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 “手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 题型二、 “手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 题型三、 “手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，且顶点相连（通常一大一小），形成旋转全等结构。 解题方法：识别公共顶点与对应等腰边：利用SAS证明“左手拉左手、右手拉右手”形成的两个三角形 全等；由全等导出对应边、角相等：常结合八字倒角求夹角。 。易错提醒：找错对应边（手拉手应连接的是不同等腰三角形的腰）；忽略公共顶点处顶角相等这一前提； 结论中夹角与顶角关系误判（一般夹角等于顶角或其补角）：旋转方向分析不清。 ◆◆ ◆ 夙题型归纳一精讲夹型题法，务夫解题粮基 题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 典例1(25-26八年级上·甘肃平凉期中)如图①，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a,AD,BE交 于点M,AD,BC交于点O,连接CM. 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (I)求证：BE=AD: (2)用含x的式子表示∠AMB的度数： (3)当a=60°时，分别取AD,BE的中点P,Q,连接CP,CO,P吧，如图②所示，判断△CPO的形状，并加以 证明 题型模版 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠ACMLBFM:④CF平分∠AFD。 变式1-1(25-26八年级上·云南玉溪期中)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将 它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形. B D 图1 图2 图3 (I)如图1，在“手拉手”图形中，AC=AB,AD=AE,∠BAC=∠DAE,若∠AEC=40°，则∠ADB=_。 (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD,EC交于点O,求∠BOC的度数： (3)如图3，AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系. 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-2(25-26八年级上湖北荆门期末)(1)【问题背景】如图1，△ABC和aDAE中，AB=AC, AD=AE,且∠BAC=∠DAE,连接BE,CD,求证：△ABE≌△ACD (2)【尝试运用】如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线， 在射线上取点D,使∠ADB=∠ACB,求∠BDC的度数.小亮同学通过观察，联想到(I)中的模型，在 BD上找一点E,使AE=AD,最后使问题得到解决.请你帮他写出解答过程. (3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC为任意角度，若射线BD在BC的下方，仍在射 线上取点D,使∠ADB=∠ACB,求证：∠BAC+∠BDC=180° B D 图1 图2 图3 题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 典例2(25-26七年级下·上海期末)△ABC与△CDE是有公共顶点C的两个等边三角形，将△CDE绕点C 顺时针旋转至以下各位置： 图2 图3 图4 图5 (I)如图1，当E在BC下方时，说明AD=BE, (2)如图2，当E在BC边上时；如图3，当E在△ABC内时；如图4，当E在AC边上时；如图5，当 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE∥AB时，AD=BE还成立吗？请一一说明理由 题型模版 条件：如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠AFME∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 变式2-1(25-26七年级下辽宁丹东期末)已知：△ABC是等边三角形. 图1 图2 图3 (I)如图1，点D是边BC上一动点，连接AD,以AD为边作等边三角形ADF,点F在AD的右侧，连接 CF,求证：△ABD≌△ACF: (2)如图2，在(1)的条件下，点E在边AC上且△CDE是等边三角形，DF与边AC交于点M,BC=8, CF=4,求CM的长度： (3)如图3，当点D是△ABC内任意一点，连接AD,以AD为边作等边△ADF,点F在AD的右侧，连接 BD并延长交射线CF于点E(点E与点F不重合)，请直接写出∠AFE与∠ADE之间的数量关系. 变式2-2(25-26八年级下·内蒙古包头期末)如图1，已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB,BC 中点D,E,连接DE,易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转角∠ABD=a,其 中0<a<180° 图1 图2 图3 (1)如图2，当a=29°时， ①BC与DE交于点O,求∠COE的度数： 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②连接AD,CE,求证：AD=CE, (2)在△DBE旋转过程中，当a超过一定角度时，如图3，连接AD,CE会交于一点，记交点为点F,AD 交BC于点P,CE交BD于点O,连接BF,求证：FB平分∠AFE. 题型三、 “手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 典例3(25-26八年级上福建莆田·阶段检测)△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， D 图1 图2 ()如图1，点D,E在AB,AC上，则BD,CE满足怎样的数量关系？请说明理由. (2②)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD,CE,则BD,CE满足怎样的数量关系和位置关 系？请说明理由 题型模版 条件：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠A☑ELBCM=90°：④CN平分∠BND。 变式3-1(25-26七年级下广东佛山期中)解决问题 图1 图2 (1)问题发现 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE,求∠AEB的度数； (2)拓展探究 ①如图2，△ACB和aDCE均为等腰直角三角形，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在 同一直线上，连接BE.求∠AEB的度数： ②如图2，记为△M0C面积，8为△B0E面积，设 =8-S,CE=m,求S关于n的数量关系式 变式3-2(25-26八年级下山东枣庄期末)综合与实践. 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰 直角三角形CDE,按如图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按 逆时针方向旋转a(O°<a<90),连接AE,BD,延长BD交AE于点F,交AC于点G,连接CF,该 数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： E(F B 图1 图2 图3 ()如图2，当ED‖BC时： ①则a=_: ②判断BD与AE的位置关系，并说明理由. (2)【深入探究】如图3，当点E,F重合时，探究AF,BF,CF之间的数量关系，并说明理由， ◆◆ 同压轴挑战一文克高难压轴，变致思维上限 1,(25-26七年级下山东枣庄·阶段检测)如图，在△ABC,△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC, AD=AE,点C,D,E三点在同一直线上，连接BD. 6/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (I)ABAD与△CAE全等吗？为什么？ (2)试猜想BD,CE有何关系？并说明理由. 2.(25-26八年级下·广东清远期中)如图①，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD,将 线段AD绕点A按逆时针方向旋转6O°，得到线段AE,连接BD,DE,CE. D (1 C B(F) ② (I)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明： (2)如图②，延长ED交直线BC于点F.当点F与点B重合时，证明：AE=BE-CE, 3.(25-26七年级下·上海宝山期末)如图，已知：△ABC、△DCE都是等边三角形，连接 AE、BD,M、N分别是线段AE、BD的中点. D M E (I)求证：△BCD≌△ACE: (2)求证：ACMN是等边三角形， 4.(25-26八年级下·安徽宿州阶段检测)如图1，B,C,E三点共线，△ABC和△DCE均为等边三角形. 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D H C 图1 图2 (I)求证：∠CAE=∠CBD (2)如图2，BD与AC交于点F,AE与CD交于点H,连接FH. ①求证：CH=CF: ②猜想FH与BE的位置关系，并说明理由 5.(25-26八年级下广东佛山期中)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC. B 图1 图2 (1)【初步探究】 如图1，点D在△ABC内，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE,连接DE,BD,CE 求证：BD=CE: (2)【深入探究】 在图1中，延长BD交CE于点F,连接AF,猜想AF,BF,CF之间的数量关系，并证明： (3)【拓展延伸】 如图2，点D在△ABC外，且∠ADB=∠ACB,AC与BD交于点E,连接CD.将△ABE与△CDE的面积 分别记为与.设S=-8,D=”,求S关于”的函数表达式 6.(25-26七年级下山东济南期中)《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区 别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理.”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象.形成一 些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题. 8/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B D 图1 图2 图3 【建立模型】 (I)如图1，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE, 连接BE,AD交于点F.则△BCE≌_，判定依据为_，BE=_,并直接写出∠AFB的度数_， 【应用模型】 (2)如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE,若 B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC: (3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是△ABC外一点，连接AD,BD,CD.当AD= 5,∠BDC=90°时，请直接写出四边形ABDC的面积. 7.(25-26八年级下江西九江期中)【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在 相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.这种模型称为“手拉手模型”，如果把小等腰三角形的 腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手， D D B D 图1 图2 图3 (I)【模型探究】如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，AB=AC=BC,CD=CE=DE, ∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，∠CDE=∠DCE=∠CED=6O°，点A、D、E在同-条直线上，连接BE, 则ACAD≌ 一线段BE= 一；则∠AEB的度数为 (2)【探究证明】如图2，已知△ABC,分别以AB、AC为直角边向△ABC两侧作等腰直角三角形ABE和等 腰直角三角形ACD,其中∠BAE=∠CAD=9O°，AB=AE,AC=AD,连接CE、BD,线段CE和BD交 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点O.请判断线段CE和BD的关系，并说明理由； (3)【模型应用】如图3，在△ACD中，∠ADC-45°，AD=9.5,将线段AC绕着点C逆时针旋转90°至线 段BC,连接BD,求△ABD的面积. 8.(25-26七年级下河南郑州期中)在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同 的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形 B 图1 图2 图3 图4 【模型初现】 (I)如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则 ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,所以△ABD≌△ACE,以上判定全等的依据是_： A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，已知A、B、C三点共线，分别以AB、BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE,AE、CD交 于点O,证明：AE=CD,并求出∠EOC的度数： 【模型深化】 (3)如图3，△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∠CAB=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,连接BD、 CE,探究BD、CE的数量关系与位置关系，并给出证明： 【拓展延伸】 (4)如图4，△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，AB=AC,BD⊥AD,连接CD,请直接写出 ∠ABD、∠ADC、∠ACD之间的数量关系. 10/10