2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 练习围绕函数奇偶性、对称性与周期性，分层设计基础巩固、中档综合、高阶应用三级梯度，通过真题情境与递进题型构建知识网络，适配一轮复习的概念深化与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选1-4）|奇偶性定义及简单应用|真题改编情境，强化概念辨析（如偶函数解集求解），培养抽象能力| |中档层（单选5-8、多选、填空）|奇偶性与周期性、对称性综合|多性质交叉应用（如奇偶性+周期性+单调性比较），发展推理意识| |综合层（解答题）|性质证明与实际问题解决|分层设问（如先证周期再求解析式），提升运算能力与模型观念|

2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 3．（2026·安徽安庆·三模）定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高二下·河南·阶段检测）定义在 上的偶函数满足，且当时，单调递减，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 10．（25-26高三上·河南漯河·期末）设函数满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于中心对称 C．是函数的图象的一条对称轴 D． 11．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（    ） A．是周期为4的周期函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在（3，4）上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为__________． 13．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 14．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 17．（25-26高三上·重庆开州·阶段检测）已知函数，是奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)求不等式的解集． 18．（2026·吉林延边·三模）已知函数，． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)证明：函数的图象是中心对称图形； (3)若函数为减函数，求实数a的取值范围． 19．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 2．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 3．（2026·安徽安庆·三模）定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用偶函数性质求出函数在上的分段表达式并明确其在上单调递增，再由单调性将转化为，最后解绝对值不等式得到的取值范围． 【详解】当时，，， 又是定义在上的偶函数，所以， 所以，如图所示， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是． 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 5．（25-26高二下·河南·阶段检测）定义在 上的偶函数满足，且当时，单调递减，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合偶函数性质及关系可得，，，再结合函数单调性比较，，，由此可得结论. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 又， 所以， ， ， 因为，且当时，单调递减， 所以， 所以， 即. 6．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若函数的图象关于点对称，则对定义域内任意满足，结合函数定义域先确定对称中心横坐标的可能值，再代入验证即可. 【详解】∵ 要使函数有意义，则，即，解得，故函数定义域为. 若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证的值： ， ， ∴ ， 即对任意定义域内的，都满足，故函数的图象的对称中心为. 【点睛】方法点睛：求解函数对称中心时，若函数定义域为对称区间，可先猜想对称中心横坐标为区间中点，再利用对称中心的性质代入验证，计算时可结合对数运算、奇偶函数的性质简化运算. 7．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知条件及为偶函数，结合周期函数的定义，可得函数是周期为4的周期函数，利用周期性及求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数是周期为4的周期函数， 由中，令，得到， 所以，， 故. 8．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 10．（25-26高三上·河南漯河·期末）设函数满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于中心对称 C．是函数的图象的一条对称轴 D． 【答案】AD 【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值的和等性质. 【详解】令，得到，解得，故选项A正确； 令，得到，所以， 可得函数是一个偶函数，故选项B错误； 令，可得， 即， 令，则，可得是函数的一个周期， 当，可得， 即  ① 令时，可得   ② 由①+②得到， 因为，所以， 代入②得到，解得， 令，得到 即，即 又因为； 即，所以函数关于点 中心对称； 因为是函数的一个周期，所以也是函数的对称中心，故选项C错误； 由前面分析得到，所以， 所以， 因为是函数的一个周期且 所以 ，故选项D正确. 故选：AD. 11．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（    ） A．是周期为4的周期函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在（3，4）上单调递减 【答案】ABD 【详解】因为，所以，所以的周期为4，故A正确； 因为为上的奇函数，所以，所以， 又当时，，其图象对称轴为直线， 结合奇函数的性质可知其图象也关于直线对称，故B正确； 因为，，，， 则， 所以 ，故C不正确； 当时，，， 由，得， 其在上单调递减，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为__________． 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合赋值法推理计算. 【详解】由为定义在上的奇函数，且， 得，即， 因此，， 所以. 13．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 14．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则_____． 【答案】 【详解】函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于直线对称 故是定义在上的偶函数， 已知对任意，， 令,可得，解得， 故，即是一个周期为8的周期函数； ，， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用函数对称以及奇函数的性质证明. (2)通过函数的周期性以及奇函数性质求解. 【详解】（1）证：因为关于直线对称，所以，进而. 因为是定义在上的奇函数，，所以. 因此. 即是周期为4的周期函数. （2）由函数是定义在上的奇函数，有． 当时，，，符合式子， 故时，． 时，，． 从而，时，函数. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 17．（25-26高三上·重庆开州·阶段检测）已知函数，是奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)在上单调递增；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据求得，再利用奇偶性的定义检验； （2）利用单调性的定义求证； （3）利用单调性和奇偶性解不等式. 【详解】（1）由题意可知，，则， 检验：，且定义域关于原点对称，则是奇函数； （2），且， 则 ， 因，则，，， 故，即， 故在上单调递增； （3）因，是奇函数，则， 因在上单调递增，则，得， 故不等式的解集为. 18．（2026·吉林延边·三模）已知函数，． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)证明：函数的图象是中心对称图形； (3)若函数为减函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)解：由函数， 可得， 所以 ， 即，即， 所以函数的图象关于点中心对称. (3) 【分析】（1）当时，求得，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，求得，求得，即可得证； （3）求得，转化为在内恒成立，当时，恒成立；当时，恒成立，利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，可得， 又由，可得， 所以函数的图象在处的切线方程，即. （2）略 （3）解：由，其定义域为， 且， 因为函数是减函数，所以在内恒成立， 即在内恒成立， 因为，不等式可化为， 即， 当时，恒成立，此时； 当时，， 令，则，因为且，即且， 则， 令， 令，则，， 当时，取得最大值，此时， 所以的最大值为，则的最小值为， 因为恒成立，所以，即实数的取值范围为. 19．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，根据函数为偶函数求出上的函数解析式即可； （2）令，则只需要即可，易得为偶函数，则只需求出函数在上的最大值即可； （3）易得为偶函数，则函数在上有且仅有2个不同的零点，分离参数可得，构造函数，利用双勾函数的性质作出函数的图象即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以， 令，则，则， 所以； （2）对任意，不等式恒成立， 等价于对任意，不等式恒成立， 令，则只需要即可， 因为， 所以函数为偶函数， 则要求函数在上的最大值，只需求出函数在上的最大值即可， 当时，， 则， 所以； （3）因为， 所以函数为偶函数， 又，在上有且仅有4个不同的零点， 所以函数在上有且仅有2个不同的零点， 当时，， 令，分离参数可得， 令， 则函数与有两个不同的交点， 由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增， 所以， 又当时，，， 如图，做出函数的大致图象， 由图可知，，解得， 所以. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $