分层练8 单调性与最大(小)值 专项训练-2027届高三上学期

**基本信息** 以分层训练构建单调性与最值的系统性突破，融合定义法、图象法及复合函数分析，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（含多选、解答）|定义法判断单调性、复合函数单调性分析、图象法求最值|从单调性定义到应用（比较大小、解不等式），构建"概念-判断-应用"逻辑链| |B级能力提升|4题（含创新题型）|抽象函数单调性证明、最值综合应用、"同域函数"构造|深化单调性与最值的综合迁移，衔接高考创新考法，发展数学思维与表达|

分层练8 单调性与最大(小)值 【A级 基础巩固】 1. 函数在上的最大值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知定义域为的函数，都有，则（ ） A. B. C. D. 3. (多选)下列函数在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数且，若，则此函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. (多选)已知函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数若，则有（ ） A. B. C. D. 7. 如果函数满足对任意，都有成立，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的单调递减区间是. 9. 设是定义在上的增函数，且，则不等式的解集为. 10. 已知函数（为常数），若在区间上单调递增，则实数的取值范围是. 11. 已知函数，且在上的最大值为，求的最小值. 12. 已知函数. (1)写出函数的定义域和值域； (2)证明：函数在上为减函数，并求在上的最大值和最小值. 【B级 能力提升】 13. 定义为中的最大值，设，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 14. 设函数在区间上单调递增，那么的取值范围是. 15. 如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.函数的值域为，则与是“同域函数”的一个解析式为. 16. 定义在上的函数对于任意的，总有，当时，且. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最大值与最小值 参考答案 1. A[易知在上单调递减，故其最大值为.] 2. B[易知是上的减函数，又，故.] 3. AC[与均为上的增函数，为上的增函数，故A正确；由的图象(图略)知，故B不正确；对于选项C，，在上为增函数，故C正确；的定义域为，故D不正确.] 4. C[令，由题意知，可得，故函数的定义域为.根据，可得.又在定义域内的单调递减区间是，所以的单调递增区间为.] 5. AC[的定义域为.设，可得函数在上单调递减；在上单调递增，由题意可得，故A正确，B错误；由于，可得.又在上单调递减，则，故C正确，D错误.] 6. A[是增函数，是增函数，因此在上单调递增，且此时；又在上单调递增，所以在上单调递增.，即，所以.] 7. D[因为对任意，都有，所以在上是增函数，所以解得.故实数的取值范围是.] 8. [画出的大致图象(如图所示)，由图知的单调递减区间是.] 9. [由已知条件可得，又.不等式可化为.是定义在上的增函数，，解得.不等式的解集为.] 10. [当时，单调递增，当时，单调递减，由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，又在区间上是增函数，所以，所以.] 11. 解 ，在上单调递增，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为. 12. (1)解 函数的定义域为.又，所以值域为. (2)证明 由题意可设，则.又，所以，所以，即，所以函数在上为减函数.当时，的最大值为，最小值为. 13. C[画出函数的图象如图中的实线部分，由图可知，函数在处取得最小值，故的最小值为.] 14. [，定义域为，所以所以所以.] 15. ；或或(答案不唯一)[因为，所以且，所以函数的定义域为.显然，在上单调递增，所以，所以函数的值域为.只要满足定义域为，且值域为的函数均符合题意，例如或，或.] 16. 解 (1)令，得. (2)在上单调递减，证明如下： 设，令，则，所以，由已知得，所以在上单调递减. (3)因为，令，得，令，得.由(2)知函数在上单调递减，所以，. 学科网（北京）股份有限公司 $