2.2 函数的单调性与最值（精练）备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，通过基础辨析、中档应用到综合探究的三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的知识巩固路径，适配一轮复习分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单调区间判断、最值计算|图像辨析题（第1题）培养几何直观| |中档层|奇偶性结合、参数范围|多选型判断（第9题）训练推理意识| |拔高层|抽象函数性质、跨知识综合|开放型解答（第19题）发展创新意识|

2.2 函数的单调性与最值（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 2．（25-26高三上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明函数是奇函数且在上单调递增，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数是奇函数， 因为函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 所以，解得或. 5．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 6．（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）若函数存在最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，以及函数最值即可求得结果. 【详解】由题知，函数在上单调递减，故，无最值， 当时，， 当时，在单调递减，，此时无最大值， 当时，， 当时，在上单调递增，， 由函数存在最大值，故最大值必为，则. 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 7．（25-26高三上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 8．（25-26高三上·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广东广州·期末）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．若函数，则 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数，则对任意，都有 【答案】BCD 【分析】根据对数型函数的定义域判断A，配凑法求函数解析式判断B，由二次函数的单调性列不等式判断C，根据解析式确定函数单调性判断D. 【详解】由可得，所以函数的定义域为，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为函数在上单调递增，所以，解得，故C正确； 由分别在上单调递增知，函数在上单调递增， 所以对任意，都有，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值域判断C；利用分式函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，则在中，， 解得，即的定义域为，A正确； 对于B，函数， 当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确； 对于C，在上递减，， 则函数在的值域为，C正确； 对于D，函数，函数的值域为，D错误. 11．（河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高三上学期12月期中数学试题）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上的最大值为 【答案】BD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可. 【详解】因为，作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，因为，，则， 结合图形可知，函数不是偶函数，A错； 对于B选项，当时，， 故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，C错； 对于D选项，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以函数在区间上的最大值为，D对. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ 【答案】 【分析】设，分别判断函数与的单调性，利用复合函数的同增异减原则即得原函数的单调增区间. 【详解】设，因是上的减函数， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为. 故答案为：. 13．（26-27高三·全国·暑假作业）函数的值域是______. 【答案】 【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域. 【详解】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 14．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性把不等式转化为,再由函数的单调性求解. 【详解】由得， 故函数的定义域为f，定义域关于原点对称， 因为，因此是偶函数， 当时，，其中和在上均为增函数， 故在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 已知，根据偶函数性质，可转化为, 又因为在上单调递增，所以, 当时：，由对数函数单调性得, 当时：，由对数函数单调性得, 实数的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 16．（25-26高三上·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 17．（25-26高三上·河南郑州·期末）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）求出函数的解析式，讨论的正负，根据单调性求最值； （2）求出函数的解析式，讨论判别式，对称轴，根据已知区间上的单调性确定参数. 【详解】（1）， 当，即时， 在上单调递增，无最小值，不符合题意； 当，即时， ， 当且仅当时，等号成立， 由题意得，解得. 综上所述，实数的值为2. （2）， 当，即时，， 若函数在单调递增， 则，解得， 当，即时， 若函数在单调递增， 则或， 解得， 综上，实数的取值范围为. 18．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且.（其中为自然对数的底数） (1)求的值； (2)若函数存在零点，求k的取值范围； (3)设函数，若对任意的，的函数值非负，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇偶性，结合恒等式可分别求解，，从而可求解定值； （2）利用分离参变量思想，研究函数值域，即可得参数范围； （3）利用换元法，结合二次函数分类讨论，即可求出的最小值. 【详解】（1）由可得：， 因为为奇函数，为偶函数，所以①， 与②，由①②，解得，， 所以. （2）由，可得， 分离参变量得：， 记，由， 知，从而，即， 又在上单调递增， 当时，函数与函数的图象有交点，即函数存在零点， 所以. （3）由于在上单调递增， 所以由，可知， 又由（1）知，， 所以等价于， 令，则不等式对恒成立， ①当即时，函数在上单调递增， ，即， 所以，当且仅当，时等号成立； ②当即时，函数在上单调递减， ，即， 所以，当且仅当，时等号成立； ③当即时， 函数在上单调递减，在上单调增， ，即， 所以，当且仅当，时等号成立. 综合①②③，可知的最小值为. 19．（25-26高三上·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 函数的单调性与最值（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2．（25-26高三上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）若函数存在最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广东广州·期末）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．若函数，则 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数，则对任意，都有 10．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 11．（河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高三上学期12月期中数学试题）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ 13．（26-27高三·全国·暑假作业）函数的值域是______. 14．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 16．（25-26高三上·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 17．（25-26高三上·河南郑州·期末）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 18．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且.（其中为自然对数的底数） (1)求的值； (2)若函数存在零点，求k的取值范围； (3)设函数，若对任意的，的函数值非负，求的最小值. 19．（25-26高三上·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $