四川达州市渠县清溪中学2026-2027学年八年级上学期开学学情自测数学试题

**基本信息** 这份开学学情自测卷以真实情境与梯度设计为特色，覆盖七年级核心知识（如三角形、实数、轴对称）并衔接八年级内容，通过货车过隧道函数图像、勾股定理应用等题，检测基础与能力，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|轴对称、幂运算、三角形性质|结合世园会标志等情境，基础与概念辨析结合| |填空题|10/40|余角、概率、勾股定理应用|飞镖游戏板概率、旗杆折断问题等生活化设计| |解答题|8/78|实数运算、几何证明、函数综合|含“龟兔赛跑”函数图像分析、动态几何综合题，梯度从基础到创新应用|

四川省达州市渠县清溪中学2026-2027学年八年级上学期开学学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列世界博览会标志中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2a）3＝﹣6a3 B．a3•a6＝a9 C．2a+4b＝6ab D．3（a﹣b）＝3a 3．下列事件是必然事件的是（　　） A．打开电视，正在播放神舟载人飞船发射 B．掷一枚骰子，点数是3的面朝上 C．两直线被第三条直线所截，同位角相等 D．三角形内角和是 180° 4．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．1，5，7 B．3，4，7 C．7，4，1 D．15，8，20 5．若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为（　　） A．13 B． C．7或17 D．13或 6．下列计算正确的是（　　） A．±5 B．41 C．9 D．6 7．如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点A，B，现分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是（　　） A．90° B．100° C．120° D．140° 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知∠A＝40°，则∠A的余角的度数是 　　 ． 10．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 　　 ． 11．如图，强大的台风使一根旗杆断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，断裂前旗杆总长为8米，则旗杆在离地面 　　 米处折断倒下． 12．如图，在数轴上点A表示的实数是　　 ． 13．如图，△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F；再分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交边AC于点G，若△ABG的面积为5cm2，则△BCG的面积为 　　 cm2． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．计算：（1）； （2）； 15．先化简，再求值：，其中a＝1，b＝﹣2． 16．已知：x的两个平方根是a+3与2a﹣15，且2b﹣1的算术平方根是3． （1）求a、b的值； （2）求a+b﹣1的立方根． 17．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC＝20km，停靠站A、B之间的距离为AB＝25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB． （1）请判断△ABC的形状？ （2）求修建的公路CD的长． 18．如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上． （1）如图1，求证：∠E+∠C﹣∠A＝180° （2）如图2．直线FA，CP交于点P，且∠BAF∠BAE，∠DCP∠DCE． ①试探究∠E与∠P的数量关系： ②如图3，延长CE交PA于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），则∠PQC的度数为　　 （用含α的式子表示） B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．如果（x2+ax+b）（x2﹣4x）的展开式中不含x3项，那么a的值是 　　 ． 20．若实数x，y满足y4，则xy的立方根为 　　 ． 21．如图所示，直线AB∥CD，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝174°，则∠FME的度数是 　　 ． 22．如图，在五边形ABCDE中，且CD＝5，AE＝6，则五边形ABCDE的面积为　　 ． 23．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝　　 度． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．[基础]（1）x+y＝5，xy＝1，求x2+y2的值． [变式]（2）已知（2m﹣399）2+（400﹣2m）2＝5，求（2m﹣399）（m﹣200）的值． [应用]（3）为深入贯彻落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》某校规划了如图所示的五边形ABHMD劳动试验田，该劳动试验田中，四边形ABCD区域的形状是边长为a米的正方形，四边形ECGF（点E在DC上）区域及四边形FGHM区域的形状都是边长为b米的正方形．图中阴影部分区域种植了小白菜，已知DE的长为1.5米，ab＝27，求劳动试验田中小白菜的种植面积． 25．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC分别表示“龟兔赛跑”时乌龟和兔子的路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． （1）乌龟每分钟爬多少米？ （2）兔子醒来，以800米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟， i）请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ ii）求出兔子和乌龟相距160米时t的值． 26．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由． 参考答案 四川省达州市渠县清溪中学2026-2027学年八年级上学期开学学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列世界博览会标志中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据轴对称的定义可得只有B选项是轴对称图形． 故选：B． 2．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2a）3＝﹣6a3 B．a3•a6＝a9 C．2a+4b＝6ab D．3（a﹣b）＝3a 【解答】解：A．（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算错误，不符合题意； B、a3•a6＝a9，正确，符合题意； C、2a与4b不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； D、3（a﹣b）＝3a﹣3b，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 3．下列事件是必然事件的是（　　） A．打开电视，正在播放神舟载人飞船发射 B．掷一枚骰子，点数是3的面朝上 C．两直线被第三条直线所截，同位角相等 D．三角形内角和是 180° 【解答】解：A．打开电视，正在播放神舟载人飞船发射，是随机事件，故A不符合题意； B．掷一枚骰子，点数是3的面朝上，是随机事件，故B不符合题意； C．两直线被第三条直线所截，同位角相等，是随机事件，故C不符合题意； D．三角形内角和是 180°，是必然事件，故D符合题意； 故选：D． 4．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．1，5，7 B．3，4，7 C．7，4，1 D．15，8，20 【解答】解：A、1+5＜7，不能组成三角形，故此选项错误； B、3+4＝7，不能组成三角形，故此选项错误； C、1+4＜7，不能组成三角形，故此选项错误； D、15+8＞20，能组成三角形，故此选项正确； 故选：D． 5．若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为（　　） A．13 B． C．7或17 D．13或 【解答】解：由题意得：斜边长 故选：A． 6．下列计算正确的是（　　） A．±5 B．41 C．9 D．6 【解答】解：5，A错误； 443，B错误； 3，C错误； 6，D正确， 故选：D． 7．如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为： 当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时y不变且最大， 当货车开始离开隧道时y逐渐变小．另外货车是匀速运动，货车进入隧道或离开隧道y随x的均匀变化而均匀增大或减小，故图象呈直线型，排除选项B、C、D． 故选：A． 8．如图，已知a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点A，B，现分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是（　　） A．90° B．100° C．120° D．140° 【解答】解：∵a∥b， ∴∠CBA＝∠1＝40°， 根据基本作图可知：MN垂直平分AB， ∴CA＝CB， ∴∠CBA＝∠CAB＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣2×40°＝100°． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知∠A＝40°，则∠A的余角的度数是 　50°　 ． 【解答】解：设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝40°， ∴∠B＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50°． 10．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 　　 ． 【解答】解：∵游戏板的总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积， ∴飞镖落在阴影部分的概率是：， 故答案为：． 11．如图，强大的台风使一根旗杆断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，断裂前旗杆总长为8米，则旗杆在离地面 　3　 米处折断倒下． 【解答】解：设旗杆在离地面x米处折断倒下． 由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， 故答案为：3． 12．如图，在数轴上点A表示的实数是　　 ． 【解答】解：由题意可得：BD＝3，CD＝1， 则BC， 故在数轴上点A表示的实数是：． 故答案为：． 13．如图，△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F；再分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交边AC于点G，若△ABG的面积为5cm2，则△BCG的面积为 　10　 cm2． 【解答】解：由作法得BG平分∠ABC， 作GQ⊥BC于Q，如图，则GA＝GQ， ∵∠A＝90，∠ABC＝60°， ∴∠C＝30°， ∴BC＝2AB， ∵S△ABG•AG•AB，S△GBC•BC•GQ， ∴S△GBC＝2S△ABG＝2×5＝10（cm2）． 故答案为10． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．计算：（1）； （2）； 【解答】解：（1）原式＝4+1+2﹣2 ＝5； （2） a2b•4a2b4÷（a4b5） ＝a4b5×（） ＝﹣2； 15．先化简，再求值：，其中a＝1，b＝﹣2． 【解答】解： ＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷（b） ＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷（b） ＝（4ab+2b2）÷（b） ＝﹣8a﹣4b， ∴原式= -8×1-4×（-2）=0 16．已知：x的两个平方根是a+3与2a﹣15，且2b﹣1的算术平方根是3． （1）求a、b的值； （2）求a+b﹣1的立方根． 【解答】解：（1）解：∵x的平方根是a+3与2a﹣15，且2b﹣1的算术平方根是3， ∴a+3+2a﹣15＝0，2b﹣1＝9， 解得：a＝4，b＝5； （2）∵a＝4，b＝5， ∴a+b﹣1＝4+5﹣1＝8， ∴a+b﹣1的立方根是2． 17．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC＝20km，停靠站A、B之间的距离为AB＝25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB． （1）请判断△ABC的形状？ （2）求修建的公路CD的长． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形． ∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km， 152+202＝252， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形． （2）∵CD⊥AB， ∴S△ABCAB•CDAC•BC， ∴CD12（km）． 答：修建的公路CD的长是12km． 18．如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上． （1）如图1，求证：∠E+∠C﹣∠A＝180° （2）如图2．直线FA，CP交于点P，且∠BAF∠BAE，∠DCP∠DCE． ①试探究∠E与∠P的数量关系： ②如图3，延长CE交PA于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），则∠PQC的度数为　180°﹣8α　 （用含α的式子表示） 【解答】解：（1）如图1，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠AEF＝∠A，∠C+∠FEC＝180°， ∴∠E＝∠AEF+∠FEC＝∠A+180°﹣∠C， 即∠E+∠C﹣∠A＝180°； （2）①∵∠BAF∠BAE，∠DCP∠DCE， ∴设∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y， 由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x）， 如图2，过P作PG∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥PG， ∴∠GPA＝∠BAF＝x，∠GPC＝∠PCD＝y， ∴∠APC＝y﹣x， 即∠E＝180°﹣3∠P； ②如图3，过P作PG∥CD， ∵∠BAQ＝α， ∴∠QAE＝2α， ∵AE∥PC， ∴∠QAE＝∠APC＝2α， 由①知，∠AEC＝180°﹣3∠APC＝180°﹣6α， ∴∠PQC＝∠AEC﹣∠QAE＝180°﹣6α﹣2α＝180°﹣8α， 故答案为：180°﹣8α． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．如果（x2+ax+b）（x2﹣4x）的展开式中不含x3项，那么a的值是 　4　 ． 【解答】解：（x2+ax+b）（x2﹣4x） ＝x4﹣4x3+ax3﹣4ax2+bx2﹣4bx ＝x4+（﹣4+a）x3+（﹣4a+b）x2﹣4bx， ∵展开式中不含x3项， ∴﹣4+a＝0， 解得：a＝4． 故答案为：4． 20．若实数x，y满足y4，则xy的立方根为 　4　 ． 【解答】解：由题意可得： ， 解得：x＝16， ∵y4， ∴y＝4， ∴xy＝16×4＝64， ∴xy的立方根，即4． 故答案为：4． 21．如图所示，直线AB∥CD，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝174°，则∠FME的度数是 　116°　 ． 【解答】解：设NF交AB于点H，过E作EP∥AB，如图： 设∠FMB＝α，∠END＝β， ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FMB＝∠BME＝α，∠END＝∠FNE＝β， ∴∠FME＝2α，∠FND＝2β， ∵AB∥CD，EP∥AB， ∴EP∥AB∥CD， ∴∠FHB＝∠FND＝2β，∠MEP＝∠BME＝α，∠PEN＝∠END＝β， ∴∠MEN＝∠MEP+∠PEN＝α+β， 又∵∠FMB＝∠F+∠FHB， ∴∠F＝∠FMB﹣∠FHB＝α﹣2β， ∵2∠MEN+∠F＝174°， ∴2（α+β）+α﹣2β＝174°， ∴α＝58°， ∴∠FME＝2α＝116°． 故答案为：116°． 22．如图，在五边形ABCDE中，且CD＝5，AE＝6，则五边形ABCDE的面积为 　30　 ． 【解答】解：延长CB到F，使BF＝DE，连接AF， 在△AFB与△ADE中， ， ∴△AFB≌△ADE（SAS）， ∴AF＝AD，∠FAB＝∠DAE，AB＝AE＝6， ∵∠CAD∠BAE（∠DAE+∠BAD）∠FAD， ∴∠FAC＝∠DAC， ∴△AFC≌△ADC（ASA）， ∴FC＝CD＝5， ∴五边形ABCDE的面积＝S△AFC+S△ACD＝2S△AFC＝230． 故答案为：30． 23．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝　30　 度． 【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH． ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC， ∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH， ∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°， ∵AM＝CN，AB＝BC＝CH， ∴△ABM≌△CHN（SAS）， ∴BM＝HN， ∵BN+HN≥BH， ∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小， 如图2中，当B，N，H共线时， ∵△ABM≌△CHN， ∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°， ∵∠ABD＝60°， ∴∠DBM＝15°， ∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°， ∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°， 故答案为30． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．[基础]（1）x+y＝5，xy＝1，求x2+y2的值． [变式]（2）已知（2m﹣399）2+（400﹣2m）2＝5，求（2m﹣399）（m﹣200）的值． [应用]（3）为深入贯彻落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》某校规划了如图所示的五边形ABHMD劳动试验田，该劳动试验田中，四边形ABCD区域的形状是边长为a米的正方形，四边形ECGF（点E在DC上）区域及四边形FGHM区域的形状都是边长为b米的正方形．图中阴影部分区域种植了小白菜，已知DE的长为1.5米，ab＝27，求劳动试验田中小白菜的种植面积． 【解答】解：（1）把x+y＝5两边平方得：（x+y）2＝25， 展开得：x2+y2+2xy＝25， 把xy＝1代入得：x2+y2+2＝25， 则x2+y2＝23； （2）设2m﹣399＝a，400﹣2m＝b，可得a2+b2＝5， 则有a+b＝2m﹣399+400﹣2m＝1，（2m﹣399）（m﹣200）（2m﹣399）（400﹣2m）ab， 把a+b＝1两边平方得：（a+b）2＝1， 展开得：a2+b2+2ab＝1，即5+2ab＝1， 整理得：ab＝﹣2， 则（2m﹣399）（m﹣200）ab（﹣2）＝1； （3）根据题意得：DE＝a﹣b＝1.5米，ab＝27米， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ＝2.25+108 ＝110.25， S阴影＝S正方形ABCD+S△DEM+2S正方形EFGC﹣S△ABD﹣S△GHM ＝a2•2b（a﹣b）+2b2a2b2 a2+abb2 （a2+2ab+b2） （a+b）2 110.25 ＝55.125（米2）． 25．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC分别表示“龟兔赛跑”时乌龟和兔子的路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． （1）乌龟每分钟爬多少米？ （2）兔子醒来，以800米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟， i）请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ ii）求出兔子和乌龟相距160米时t的值． 【解答】解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻， ∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系； 由图象可知：赛跑的全过程为1500米； 结合图象得出： 兔子在起初每分钟跑700÷2＝350（米），乌龟每分钟爬1500÷50＝30（米）． （2）i）∵兔子跑了700米停下睡觉，用了2分钟， ∴剩余800米，所用的时间为：800÷800＝1（分钟）， ∴兔子睡觉用了：50+0.5﹣2﹣1＝47.5（分钟）． 所以兔子中间停下睡觉用了47.5分钟． ii）①兔子睡觉前相距160米时， 350t﹣30t＝160 解得t＝0.5， ②兔子睡觉后醒来前相距160米时， 30t﹣700＝160， 解得t． ③兔子醒来后乌龟到达终点前相距160米时， 30t﹣160＝800（t﹣49.5）+700， 解得t≈50.31＞50，不合题意舍去， ④兔子醒来后乌龟到达终点后相距160米时， 1500﹣160＝800（t﹣49.5）+700， 解得t＝50.3 综上所述：t＝0.5或或50.3． 26．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）DE＝BD+CE．理由如下： 如图1，∵BD⊥l，CE⊥l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90° 又∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD＝AE，AD＝CE， ∵DE＝AD+AE， ∴DE＝CE+BD； （2）如图2，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴BD+CE＝AE+AD＝DE； （3）DF＝EF．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CAE， BD＝EA，∠DBA＝∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°， ∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF＝∠FAE， ∵BF＝AF 在△DBF和△EAF中， ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF＝EF． 学科网（北京）股份有限公司 $