1.2（3） 一元二次方程的解法（公式法）【分层作业】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本练习以“公式法解一元二次方程”为核心，通过“前置梳理-基础巩固-综合提升-拓展探究-中考链接”五级分层设计，构建从概念理解到综合应用的进阶路径，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|公式法步骤、判别式概念|填空形式夯实基础，强调“化一般式”易错点| |基础巩固|系数识别、根的判别、方程求解|含负数/零系数题型，新增根式结果化简适配题| |综合提升|方程整理、参数范围、恒成立证明|需整式化简后求解，强化参数讨论严谨性| |拓展探究|含参数方程深度探究|结合“勾系方程”等创新情境，培养代数推理能力| |中考链接|中考真题演练|对接中考题型，提升应试与知识迁移能力|

1.2（3） 一元二次方程的解法（公式法）【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】 识别一般式系数题型 2 【题型2 】不解方程判别根的情况题型 4 【题型3】普通一元二次方程公式法求解题型 6 【题型4】含根式结果的公式法解方程（全新替换适配题型） 8 三.综合提升 12 【题型1 】先整理化简再用公式法解方程 12 【题型2】根据根的情况求参数取值范围 16 【题型3】含参数方程根的恒成立探究 18 四.拓展探究 23 【题型】含参数方程根的恒成立探究 23 五.中考链接 30 六.自我评价 36 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）对于一元二次方程 ，当 时，它的求根公式为：，利用公式直接解方程的方法叫做公式法。 （2）根的判别式：①当 时，方程有________实数根；②当 时，方程有__________实数根；③当 时，方程_________ 实数根。 （3）公式法解方程四步法： ①化一般式：将方程整理为 的形式； ②定系数：准确确定 的值（包含正负符号）； ③算判别式：计算 ，判断根的存在性； ④代公式：若 ，代入求根公式求出方程的根。 （4）重要易错点：公式法必须先化为一般形式，否则系数取值容易出错。 参考答案： （1） （2）；①两个不相等的；②两个相等的；③没有 二.基础巩固 【题型1】 识别一般式系数题型 针对规范的一元二次方程一般形式，快速、准确识别 的值，重点训练负数系数、零系数的判断，规避基础符号错误，为公式法计算打底。 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 解：方程移项整理，得， 则，，． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 【答案】 1 3 【分析】题目给出的根符合一元二次方程求根公式的形式，对比对应位置系数即可求解． 解：一元二次方程的求根公式为， 题目给出的两根可写为， 将两式对应位置对比，可得 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，代入得， ∴． 【题型2 】不解方程判别根的情况题型 直接计算判别式 ，根据 与 的大小关系，准确判断方程根的三种情况，无需解方程，夯实判别式核心考点。 1．（25-26八年级下·广西百色·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的情况判断，利用一元二次方程根的判别式的符号即可判断根的情况． 解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 解：∵，可得 ，，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有实数根． 【答案】证明：当时，方程为， 此时方程有解，解为； 当时，， 此时方程有实数根． 综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根． 【分析】分两种情况：当时或当时，分别进行证明即可． 解：略 4．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知关于x的方程：．求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：关于x的方程， 这里，，． ． ∵， ∴． ∴无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握根与系数的关系、根的判别式等知识点是解决本题的关键．先计算根的判别式，再利用非负数的性质得结论． 解：略 【题型3】普通一元二次方程公式法求解题型 针对常见基础一元二次方程，先整理为一般形式，确定系数、计算判别式，再代入求根公式完整求解，规范书写公式法标准解题步骤。 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 【答案】， 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 解： 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）在用公式法求解一元二次方程时，其中一步的过程为． 根据以上信息，解答下列问题． （1）a的值为____________． （2）方程的两根之和为_____． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根与系数的关系； （1）根据一元二次方程求根公式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，即可求解． 解：（1）∵ ∴， 故答案为：． （2）原方程为 ∵ ∴方程的两根之和为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）方程的解是________． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，利用公式法进行求解即可． 解：， ， ， ， ，． 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．根据求根公式，代入系数解答即可． 解：． ，，， ， ， 解得：，． 【题型4】含根式结果的公式法解方程（全新替换适配题型） 适配教材必考题型，针对求解结果含有最简二次根式的一元二次方程，利用公式法求解，掌握根式化简、结果规范书写方法，解决学生“会代公式、不会化简结果”的常见问题，贴合课堂同步作业要求。 1．（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式． 根据公式法求一元二次方程的步骤进行求解：先将方程化为一般形式,再确定二次项系数、一次项系数、常数项系数，然后计算根的判别式，根据判别式看是否有解．当判别式非负时，代入求根公式求解． （1）解：整理方程,得, 则. ， ． （2）解：这里． ， ， ． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A． ， B．， C． ， D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此确定m的值，然后代入方程求解根，与选项对比即可得到答案． 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∴原方程为，即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川自贡·阶段检测）用公式法解方程，得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可． 解：， ， ， ∴， 故选：C． 4．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 （1）（公式法） （2）（公式法） 【答案】（1），；（2），． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 解：（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 三.综合提升 【题型1 】先整理化简再用公式法解方程 方程需先去括号、移项、合并同类项，整理成标准一般形式，再用公式法求解，训练学生整式化简、符号处理的综合运算能力。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2）；（3），；（4）方程无实数根 （1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 整理得， ，， ∴ 解得； （3）解： 整理得， ，， ∴ 解得，； （4）解： 整理得， ，， ∴方程无实数根． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 【答案】 4 41 ， 【分析】找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 解：， ， ，，， ， ∴， 解得：，． 用公式法解方程时，应先找出对应的，，，计算出，可得方程的根是，． 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）用公式法解方程：，得到________． 【答案】 【分析】直接把a=4,b=-12,c=-3代入求根公式x=就行. 解：a=4,b=-12,c=-3 所以△=b²-4ac =144+48 =192 所以x=. 故答案为 【点拨】本题考核知识点：用公式法解一元二次方程.解题关键点：熟记求根公式. 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【题型2】根据根的情况求参数取值范围 已知方程根的情况（两个不等实根、有实根、无实根），结合判别式列式求解参数范围，同时兼顾二次项系数 的隐藏条件，训练严谨解题思维。 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】A 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 2．（2026·北京通州·三模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式 ”列不等式求解即可得到结果． 解：∵关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴根的判别式 ， 其中，， 代入得 ， 解不等式得． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，结合方程有实数根得到根的判别式大于等于，求出的取值范围，即可确定整数的最小值． 解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 整数的最小值为． 4．（2022·甘肃武威·模拟预测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】方程未说明是一元二次方程，需分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，分别根据有实根的条件求的范围，再合并结果． 解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 【题型3】含参数方程根的恒成立探究 通过对判别式配方变形，证明含参数的一元二次方程无论参数取何值，总有实数根或总有两个不相等实数根，培养代数推理与探究能力。 1．（22-23九年级上·云南昭通·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】（1）证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． （2）或或 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 解：（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 2．（2026九年级上·湖南衡阳·竞赛）已知关于x的方程． （1）试讨论该方程的根的情况并说明理由； （2）无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 【答案】（1）时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根；（2）这个根为3 【分析】（1）分及，结合判别式的值即可判断． （2）由无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，又，推出，且即可解决问题． （1）解：当时，方程为，解得， 当时 ∵ ， 若，，则方程有两个相等的实数根； 若且，，则方程有两个不相等的实数根， 综上，当时，方程有一个实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵， ∴，且 解得， ∴无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； （2）的值为或 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值. 解：（1）略 （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 4．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【答案】（1）见解析；（2）或 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 解：（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 四.拓展探究 【题型】含参数方程根的恒成立探究 通过对判别式配方变形，证明含参数的一元二次方程无论参数取何值，总有实数根或总有两个不相等实数根，培养代数推理与探究能力。 1．（24-25九年级上·广东阳江·期中）课本知识，关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）初步探究：判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）拓展应用：求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】（1）解：是，理由： ， ，， ，， 方程是“勾系一元二次方程”； （2）证明：是关于的“勾系一元二次方程”， ， 关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【分析】本题考查了“勾系一元二次方程”，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点，读懂题意是解题的关键． （1）根据“勾系一元二次方程”的定义直接判断即可； （2）根据及根的判别式，再利用完全平方的非负性来判断即可． 解：（1）略 （2）略 2．（24-25九年级上·江西·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）． （1）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由． 变式拓展 （2）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案 并说明理由． 【答案】（1）方程总有两个不等的实数根 理由：原方程整理，得， ， ∵无论取何值，， ∴， ，即原方程总有两个不等的实数根． （2）方程总有两个不等的实数根． 理由：原方程整理，得， ， ， 设， ∴原方程可化为， ， ∴总有两个不等的实数根， ∴无论取何值，原方程总有两个不等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解． （2）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 解：略． 3．（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）【阅读理解】为了解方程，我们可以将看作一个整体，设那么原方程可化为①，解得，． 当时，，∴，∴ 当时，，∴，∴ 综上，原方程的解为，，， 【方法分析】填空：上解结题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法达到了______的目的，体现数学的______思想． 【小试牛刀】请利用以上方法解方程： 【拓展应用】请你借鉴上述方法利用方程解决问题：已知四个连续的偶数的积是，求这四个偶数中最小的偶数． 【答案】方法分析：降次，整体与划归；小试牛刀：，，；拓展应用：最小的偶数为或． 【分析】方法分析：题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想； 小试牛刀：令，得，用因式分解法解方程求出的值，再求出的值； 拓展应用：设最小的偶数为，则其他四个偶数一次为，，，列方程求解即可． 解：方法分析：将设为，利用了换元法达到了降次的目的，体现了整体与划归的数学思想， 故答案是：降次，整体与划归； 小试牛刀：令，则，解得，， 当时，，解得，， 当时，，， 综上：方程的解是，，； 拓展应用：设最小的偶数为，则其他四个偶数一次为，，， ， 设，则， 解得或， 当时，，即， ∵， ∴无实数根， 当时，，即， ∴，， ∴最小的偶数为或． 【点拨】本题考查用换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）阅读下面材料，并完成问题． 任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形是“兄弟矩形”． 探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？ 小亮同学是这样探究的： 设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得． ， 的“兄弟矩形”B存在． （1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？ （2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求应满足的条件． 【答案】（1）不存在；（2） 【分析】（1）按照小亮的方法，进行计算即可； （2）先根据小亮的方法列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式即可． 解：（1）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得， ， 的“兄弟矩形”B不存在． （2）设所求矩形的两边分别是x和y， 由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得， ， 又都是正数， 当时，A的“兄弟矩形”B存在． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 2．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 3．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】一元二次方程有两个实数根需要满足两个条件：二次项系数不为0，且根的判别式，据此列式求解即可得到答案． 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且． 二、填空题 4．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论 解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 5．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 6．（2024·江苏南京·中考真题）已知是关于的方程（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是____________，____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据中或，再根据是关于的方程的根，从而得出的另一个根，关键是掌握一元二次方程解的情况． 解：关于的方程（是有理数，）中，或， 即或， ，且 是有理数， ，中的一个为， 也是关于的方程（是有理数，）的一个根， 该方程的另外两根分别是2和． 故答案为：2，． 三、解答题 7．（2026·江苏无锡·中考真题）按要求完成下列小题： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． （1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：原式 ． 8．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． （1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2（3） 一元二次方程的解法（公式法）【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】 识别一般式系数题型 2 【题型2 】不解方程判别根的情况题型 3 【题型3】普通一元二次方程公式法求解题型 3 【题型4】含根式结果的公式法解方程（全新替换适配题型） 4 三.综合提升 5 【题型1 】先整理化简再用公式法解方程 5 【题型2】根据根的情况求参数取值范围 5 【题型3】含参数方程根的恒成立探究 6 四.拓展探究 7 【题型】含参数方程根的恒成立探究 7 五.中考链接 9 六.自我评价 10 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）对于一元二次方程 ，当 时，它的求根公式为：，利用公式直接解方程的方法叫做公式法。 （2）根的判别式：①当 时，方程有______实数根；②当 时，方程有__________实数根；③当 时，方程_________ 实数根。 （3）公式法解方程四步法： ①化一般式：将方程整理为 的形式； ②定系数：准确确定 的值（包含正负符号）； ③算判别式：计算 ，判断根的存在性； ④代公式：若 ，代入求根公式求出方程的根。 （4）重要易错点：公式法必须先化为一般形式，否则系数取值容易出错。 二.基础巩固 【题型1】 识别一般式系数题型 针对规范的一元二次方程一般形式，快速、准确识别 的值，重点训练负数系数、零系数的判断，规避基础符号错误，为公式法计算打底。 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 【题型2 】不解方程判别根的情况题型 直接计算判别式 ，根据 与 的大小关系，准确判断方程根的三种情况，无需解方程，夯实判别式核心考点。 1．（25-26八年级下·广西百色·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 2．（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有实数根． 4．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知关于x的方程：．求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 【题型3】普通一元二次方程公式法求解题型 针对常见基础一元二次方程，先整理为一般形式，确定系数、计算判别式，再代入求根公式完整求解，规范书写公式法标准解题步骤。 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）在用公式法求解一元二次方程时，其中一步的过程为． 根据以上信息，解答下列问题． （1）a的值为____________． （2）方程的两根之和为_____． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）方程的解是________． 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）解方程：． 【题型4】含根式结果的公式法解方程（全新替换适配题型） 适配教材必考题型，针对求解结果含有最简二次根式的一元二次方程，利用公式法求解，掌握根式化简、结果规范书写方法，解决学生“会代公式、不会化简结果”的常见问题，贴合课堂同步作业要求。 1．（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A． ， B．， C． ， D．以上答案都不对 3．（24-25九年级上·四川自贡·阶段检测）用公式法解方程，得到（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 （1）（公式法） （2）（公式法） 三.综合提升 【题型1 】先整理化简再用公式法解方程 方程需先去括号、移项、合并同类项，整理成标准一般形式，再用公式法求解，训练学生整式化简、符号处理的综合运算能力。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）用公式法解方程：，得到________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． （1）； （2）． 【题型2】根据根的情况求参数取值范围 已知方程根的情况（两个不等实根、有实根、无实根），结合判别式列式求解参数范围，同时兼顾二次项系数 的隐藏条件，训练严谨解题思维。 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 2．（2026·北京通州·三模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 4．（2022·甘肃武威·模拟预测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 【题型3】含参数方程根的恒成立探究 通过对判别式配方变形，证明含参数的一元二次方程无论参数取何值，总有实数根或总有两个不相等实数根，培养代数推理与探究能力。 1．（22-23九年级上·云南昭通·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 2．（2026九年级上·湖南衡阳·竞赛）已知关于x的方程． （1）试讨论该方程的根的情况并说明理由； （2）无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 4．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 四.拓展探究 【题型】含参数方程根的恒成立探究 通过对判别式配方变形，证明含参数的一元二次方程无论参数取何值，总有实数根或总有两个不相等实数根，培养代数推理与探究能力。 1．（24-25九年级上·广东阳江·期中）课本知识，关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）初步探究：判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）拓展应用：求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 2．（24-25九年级上·江西·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）． （1）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由． 变式拓展 （2）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案 并说明理由． 3．（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）【阅读理解】为了解方程，我们可以将看作一个整体，设那么原方程可化为①，解得，． 当时，，∴，∴ 当时，，∴，∴ 综上，原方程的解为，，， 【方法分析】填空：上解结题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法达到了______的目的，体现数学的______思想． 【小试牛刀】请利用以上方法解方程： 【拓展应用】请你借鉴上述方法利用方程解决问题：已知四个连续的偶数的积是，求这四个偶数中最小的偶数． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）阅读下面材料，并完成问题． 任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形是“兄弟矩形”． 探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？ 小亮同学是这样探究的： 设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得． ， 的“兄弟矩形”B存在． （1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？ （2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求应满足的条件． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 二、填空题 4．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 5．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 6．（2024·江苏南京·中考真题）已知是关于的方程（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是____________，____________． 三、解答题 7．（2026·江苏无锡·中考真题）按要求完成下列小题： （1）解方程：； （2）计算：． 8．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $