精品解析：广东省湛江市第二十一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

湛江市第二十一中学2026—2027学年第一学期高三开学考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据12，8，10，15，11的第60百分位数为（ ） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】将数据从小到大排列后，由百分位数的定义求解即可. 【详解】因为此组数据即为，一共有个数据，且， 所以此组数据的第60百分位数为第、这两个数的平均数，即为. 2. 曲线在处的切线斜率为（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】曲线，则，所以在处的切线斜率为. 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先求，再求复数的模即可求解. 【详解】由题意得：，所以. 4. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用集合的交集运算求解． 【详解】因为的解集为：，所以集合， 则． 5. 已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 6. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：， 故选：D 7. 数列的前项和为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得，利用分组求和以及等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意得：， 所以. 8. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第i次命中目标”（）．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析第二次命中的两种情况，利用全概率公式，结合已知条件求出；再利用全概率公式，结合已知条件求出． 【详解】由全概率公式，第二次命中的概率由“第一次命中”和“第一次未命中”两种情况决定： ， ，， 由，当时，， 由，当时，， ， 第三次命中的概率由“第二次命中”和“第二次未命中”两种情况决定： ， ，， 由，当时，， 由，当时，， ． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列选项正确的是（） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 【答案】BCD 【解析】 【详解】由已知，， 对于选项A：，，向量不垂直，A错误； 对于选项B：在上的投影向量公式为，又， ，因此投影向量为，B正确； 对于选项C：，，C正确； 对于选项D：与方向相同的单位向量为，又， 因此与向量方向相同的单位向量为，D正确. 10. 在三棱锥中，平面，，，，则（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 点A到平面的距离为 C. 二面角的正弦值为 D. 三棱锥各顶点均在半径为3的球的球面上 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两两垂直的条件，先推导线面垂直，解决A选项异面直线垂直问题；固定体积不变，用等体积法列式求点面距，判断B选项；取等腰三角形底边中点构造棱的两条垂线，找到二面角平面角，解直角三角形求正弦值，判断C选项；利补体法，由体对角线求外接球半径，判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以， 又，，所以平面， 由平面知，故异面直线与所成的角为，故A正确； 对于B选项，显然三棱锥的体积， 而，，记M为中点，连接，由等腰三角形得， 由勾股定理得， 故的面积， 可知点A到平面的距离，故B错误； 对于C选项，连接，，由，，平面， 平面知为二面角的平面角，而， 可得，故C正确； 对于D选项，由两两垂直，可将三棱锥补成长方体， 其长宽高分别为，三棱锥外接球与长方体外接球相同， 外接球直径等于长方体体对角线：，，故D正确． 11. 已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 【答案】BD 【解析】 【分析】对A和B，利用抛物线的定义及性质，即可求解；对C，设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，利用抛物线的定义得，即可求解；对D，根据数量积的运算及选项C中的结果，得到，即可求解. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，所以A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，消去得，则，， 所以，， 所以， 又，则，所以没有最大值，故C错误， 对于D，由选项C知，，则为钝角，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由样本数据（），求得回归直线方程为，且，，则相应于样本点的残差值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由残差公式求解即可． 【详解】将点代入回归直线方程为，得， 得，即， 则样本点的残差值为：． 13. 已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为__________． 【答案】210 【解析】 【详解】由的展开式中第项与第项的二项式系数相等，得，解得， 二项式的展开式通项公式， 由，得，所以该展开式中的常数项为. 14. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 【答案】或 【解析】 【分析】假设经过适当排序后变成等差数列，依次讨论是等比中项的情况，结合公差即可求解. 【详解】由于经过适当排序后可成等差数列，不妨设这三个数为，其中公差， 这三个数经过适当排序后也可成等比数列，则有： ①当是等比中项时，则有，解得，这与矛盾，所以不是等比中项； ②当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，由于这三个数是互不相同的实数，所以， 而这三个数要构成等比数列，只有两种排序方式，即或， 因此公比或； ③当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，情况与②相同； 综上所述，该等比数列的公比为或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合余弦定理求解即可； （2）由（1）结合三角形面积公式求得，再利用已知条件求得，得解. 【小问1详解】 因为，又，所以，得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，得， 又，解得， 所以，故， 所以的周长为. 16. 在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，. （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为 ，求 的分布列与期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）补全列联表如下： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 依据小概率值的独立性检验，可以推断阅读习惯与学业成绩水平有关. （2） 的分布列为： 1 2 3 期望. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式，结合已知数据计算可完成列联表，然后计算卡方，对照临界值表即可得出结论； （2）利用超几何分布概率公式求出概率和分布列，然后可得期望. 【小问1详解】 由题可知，，，所以，得， 又，所以，得， 结合已知可得列联表： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 零假设阅读习惯与学业成绩水平没有关系. 因为， 所以，依据小概率值的独立性检验，没有充足的证据证明假设成立， 即阅读习惯与学业成绩水平有关系，且该结论犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 有固定阅读习惯中成绩优良的有人，成绩一般的有人， 所以组建的6人宣传小组中，成绩优良的有人，成绩一般的有人， 则的可能取值为：， ，， ， 所以 的分布列为： 1 2 3 期望. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与直线所成角的正弦值； （3）证明：直线与平面相交. 【答案】（1） ∵，分别是，的中点，∴， ∵平面，∴平面， 又平面，∴， ∵，是的中点，∴， 又，平面，平面， ∴平面； （2）； （3） 因为，， ∴，， ∴与不垂直， ∴与平面不平行， 又平面， ∴与平面相交. 【解析】 【分析】（1）首先可得，即可得到平面，由线面垂直的性质得到，再由，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得； （3）由得到与平面不平行，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，平面， 又平面，∴， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 设平面与直线所成角为， 则， 故直线与平面所成角正弦值为. 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； （3）若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）设点，则，即， 由题意可知：，， 则， 所以直线，的斜率之积为定值，该定值为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求的值，即可得椭圆的标准方程； （2）设点，可得，结合斜率公式分析证明即可； （3）设，，，，与椭圆方程联立利用韦达定理可得，进而可得，换元利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由题意可得：，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知：直线不垂直于坐标轴，且过点， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 可得，， 则， 因为，则， 可得的面积． 设，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立 所以的面积的最大值为． 19. 已知等差数列的前项和记为，满足. （1）求等差数列的公差； （2）若数列为单调递减数列，求的取值范围； （3）若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得； （2）根据（1）求出，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围； （3）由（1）得，对数列进行分组分析，即可知其前项的构成部分，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由于， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可得， 若数列为单调递减数列，则对于恒成立， 所以在上恒成立， 则，所以，又数列为递增数列，所以，即， 故的取值范围为； 【小问3详解】 若，则， 根据题意数列为： 第一组为：1，； 第二组为：，，； 第三组为：，，，； …… 第组为：，，，，…，； 则前组一共有项，当时，项数为. 故相当于是前组的和再加上这三项，即： 设，则可看成是数列的前项和 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2026—2027学年第一学期高三开学考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据12，8，10，15，11的第60百分位数为（ ） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 10 2. 曲线在处的切线斜率为（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 5 4. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 7. 数列的前项和为，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第i次命中目标”（）．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列选项正确的是（） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 10. 在三棱锥中，平面，，，，则（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 点A到平面的距离为 C. 二面角的正弦值为 D. 三棱锥各顶点均在半径为3的球的球面上 11. 已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由样本数据（），求得回归直线方程为，且，，则相应于样本点的残差值为______． 13. 已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为__________． 14. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，且，求的周长. 16. 在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，. （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为 ，求 的分布列与期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与直线所成角的正弦值； （3）证明：直线与平面相交. 18. 已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； （3）若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 19. 已知等差数列的前项和记为，满足. （1）求等差数列的公差； （2）若数列为单调递减数列，求的取值范围； （3）若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $