广东省湛江市教研体联考2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的实部为 A．1 B．5 C．8 D．10 2．若椭圆的焦点在轴上，则的方程可以为 A． B． C． D． 3．若，，是三个互不重合的点，且，则 A． B． C． D． 4．某工厂抽检了200个零件，并统计了这200个零件的质量（单位：）的数据，得到如下表格： 质量/g 498 499 500 501 502 503 频数 48 56 16 20 50 30 由表可知这200个零件的质量的第60百分位数为 A． B． C． D． 5．若一个三位数的十位数既大于个位数又大于百位数，则称这个三位数为伞数，其中十位数称为伞轴数．在用数字1，2，3，6，7，8组成的伞数中，伞轴数为7的伞数的总个数为 A．12 B．16 C．18 D．24 6．设集合，，若的子集的个数为4，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系内，函数（，且），的图象可能是 A． B． C． D． 8．已知长方体的8个顶点均在球的球面上，，，二面角为，过线段的中点作球的截面，则该截面面积的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：与圆：有公共点，则 A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 10．若一个非等腰三角形的三条边的长度为，，，则 A．该三角形可能是锐角三角形 B．该三角形不可能是钝角三角形 C．当时，该三角形最小内角的余弦值为 D．存在唯一的，使得该三角形的三边的长度可以构成等比数列 11．将容量为的总体分为两层，第一、二层的容量分别为，．现从这个总体中抽取容量为的样本，设第一、二层抽取的样本量分别为，，，，且．记简单随机抽样下，总体中两个特定不同个体都被抽中的概率为；记按比例分层随机抽样下，同属第一层、同属第二层、分属两层的两个特定不同个体都被抽中的概率分别为，，．下列结论正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线方程为 ▲ ． 13．若双曲线：的离心率为，为的左支上一点，，分别为的左、右焦点，且，则 ▲ ． 14．定义符号函数则函数的最小正周期为 ▲ ，值域为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 甲、乙参加激光射击体验项目，已知甲、乙每次射击命中目标的概率分别为，，且每人每次射击命中目标与否相互独立． （1）若甲、乙各射击1次，求这2人中恰有1人命中目标的概率； （2）若甲射击2次，乙射击1次，记甲、乙2人中至少命中目标1次的人数为，求的数学期望． 16．（15分） 如图，三棱台的体积为，底面，为正三角形，，，且为的中点． （1）求． （2）证明：． （3）求直线与平面所成角的余弦值． 17．（15分） 已知抛物线：，：的焦点分别为，，且． （1）求直线的方程； （2）若直线与从左到右分别交于，两点，与从左到右分别交于，两点，求． 18．（17分） 如图，在矩形中，为边上的中点，，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，直线与半圆相切，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，如此无限继续下去，记矩形的面积为． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前项和． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 C C A C B D C B BC ACD ABD 6 ； 15．【解析】本题考查相互独立事件的概率与随机变量的数学期望，考查数学运算与逻辑推理的核心素养． 解：（1）若甲、乙各射击1次，则甲命中目标且乙未命中目标的概率为， 2分 甲未命中目标且乙命中目标的概率为， 4分 所以这2人中恰有1人命中目标的概率为． 6分 （2）的所有可能取值为0，1，2． 7分 当时，甲两次均未命中目标且乙未命中目标，所以． 8分 当时，甲至少命中目标1次且乙命中目标，所以． 10分 所以． 11分 故． 13分 【评分细则】 第（1）问中，直接写“这2人中恰有1人命中目标的概率为”，不扣分． 16．【解析】本题考查三棱台的体积、空间中的垂直关系、线面角，考查直观想象、数学运算及逻辑推理的核心素养． （1）解：因为为正三角形，所以根据三棱台的性质可得为正三角形， 1分 由，，得的面积，的面积， 2分 所以三棱台的体积， 3分 解得． 4分 （2）证明：取的中点，连接，．因为为正三角形，所以． 5分 根据三棱台的性质可得． 6分 以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，． 7分 因为，， 8分 所以，则，即． 9分 （3）解：连接．． 10分 设平面的法向量为，则， ， 11分 令，得． 12分 设直线与平面所成的角为， 则， 14分 因为为锐角，所以，即直线与平面所成角的余弦值为． 15分 【评分细则】 【1】第（1）问中，未写“根据三棱台的性质可得为正三角形”，直接得到“的面积为”，扣1分． 【2】第（2）问中，未写“根据三棱台的性质可得”，直接得到“”，扣1分． 【3】第（3）问中，平面的法向量不唯一，只要所求法向量是与共线的非零向量即可；得到“”，未写“直线与平面所成角的余弦值为”，不扣分． 【4】第（2）（3）问还可以这样解答： （2）证明：连接．根据三棱台的性质可得为正三角形， 因为为的中点， 所以． 5分 因为底面，所以底面，又底面， 所以． 6分 因为，所以平面． 7分 又平面，所以． 8分 根据三棱台的性质可得，则． 9分 （3）解：取的中点，连接，． 根据三棱台的性质可得，， 10分 所以，，，四点共面，易证， 由底面，底面， 得． 11分 因为，所以平面，又平面， 所以平面平面，则在平面内的射影在上，从而直线与平面所成的角为（或其补角）． 13分 取的中点，连接，则，，，由勾股定理可得，． 14分 在中，由余弦定理得． 故直线与平面所成角的余弦值为． 15分 17．【解析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合，考查直观想象与数学运算的核心素养． 解：（1）由题意得，． 2分 由，， 3分 得， 4分 所以， 5分 故直线的方程为． 6分 （2）由（1）得：，：． 7分 由得， 8分 则 9分 所以． 11分 因为，关于直线对称，直线关于直线对称，所以． 13分 故． 15分 【评分细则】 【1】第（1）问中，直线的方程还可以写成． 【2】第（2）问中，还可以这样求： 【3】第（2）问中，还可以这样求： 由得，得， 所以． 18．【解析】本题考查数列的递推公式与三角恒等变换，考查直观想象与逻辑推理的核心素养． 解：（1）如图1，连接，则． 1分 在矩形中，因为直线与半圆相切，所以，． 2分 故． 3分 （2）如图2，连接，则． 4分 在矩形中，因为直线与半圆相切，所以， 5分 ． 6分 由，得， 所以， 7分 ． 8分 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列． 9分 故． 10分 （3）由（2）得，所以． 11分 由，得， 14分 所以数列的前项和 15分 16分 ． 17分 【评分细则】 第（1）（2）问中，先求出，再求出，不扣分． 19．【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养及化归与转化的数学思想． （1）证明：当时，，则． 1分 令，得，在上单调递减，令，得，在上单调递增， 2分 所以，即． 3分 （2）（ⅰ）解：由，得或， 5分 因为有三个极值点，所以有三个异号零点， 所以关于的方程有两个不等于1的解． 6分 易知不是方程的解，设，则． 令，得或，在，上单调递减，令，得，在上单调递增． 7分 当时，，若，则，若，则． 8分 当时，，若，则，若，则． 9分 所以，即的取值范围是． 10分 （ⅱ）证明：不妨设． 由（ⅰ）知，当时，有三个极值点，且1为其中一个极值点，则， 11分 且，，等式两边取对数并整理得，，． 设，则， 12分 则，则在上单调递减，在上单调递增， 先证，即证，因为，且在上单调递增，所以只需证，即证． 13分 令，， 则， 则在上单调递减，所以，则，则，则． 14分 再证，即证，因为，且在上单调递减，所以只需证，即证． 15分 令，，则，则在上单调递增，所以，则，则，所以． 16分 故． 17分 【评分细则】 【1】第（1）问中，求导得，不扣分． 【2】第（2）问中，得到“”，但未写“的取值范围是”，不扣分． 学科网（北京）股份有限公司 $