数学活动(一) 探究方程有公共解的条件&数学活动(二) 种奇的线段分割-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

第二十五章一元二次方程又 数学活动（一）探究方程有公共解的条件 [答案P6] 1.已知a,b,c是非零实数，关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c=0,4bx2+4cx+a=0,4cx2+4ax+b=0有 公共解，则代数式品-号-2的值为一 2.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程. (1)已知x=2是x2+2x+c=0的倒方程的解，求c的值； (2)若一元二次方程ax2-2x+c=0无解，求证：它的倒方程也一定无解； (3)一元二次方程ax2-2x+c=0(a≠c)与它的倒方程只有一个公共解，它的倒方程只有一个解，求a和 c的值. 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自 25 全程导练·九年级数学（上册） 数学活动（二）神奇的线段分割 [答案P7] 如图所示线段AB,定义“完美分割”：将AB分成三条两两不等的线段a,b,c(a>b>c),满足a=b+c 哈哈。 (1)求证：这样的“完美分割”存在，并求出a:b:c的最简比； (2)用直尺和圆规作出线段AB的“完美分割点”M,N(保留作图痕迹). A 题图 26 见此图标暖微信扫码进人初中智慧学园自全程导练·九年级数学（上册） 则有BP=BQ,8-t=2,解得1= 3 出发弩s后△PQB能形成等腰三角形， (3)6.68或68或5.5. 第2课时传播问题、平均变化率问题与销售问题 【知识要点分裘练】 1.B2.B 3.解：(1)设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 依题意，得1+x+(1+x)x=81, 整理，得(1+x)2=81, 则x+1=9或x+1=-9, 解得x1=8,x2=-10(舍去). 答：每轮传播中平均一台电脑会感染8台电脑， (2)当x=8时，由题意，得 (1+x)2+x(1+x)2=(1+x)3=(1+8)3=729>700. 答：经过3轮传播后，被感染的电脑会超过700台. 4.B 5.解：(1)设4,5两月平均每月降价的百分率是x, 5000(1-x)2=4050, 解得4=0=10%，=吕（会去）， 1 故4,5两月平均每月降价的百分率是10%。 2)不会理由如下：4050×(1-0=3280.5（元， 3280.5>3000,∴.预测到7月份该市的商品房成交均价不 会跌破3000元/m2. 6.A 7.解：(1)500-10×(55-50)=450（千克） 答：每月销售水果450千克. (2)设每千克水果售价为x元，月利润为y元，由题意可得y =(x-40)[500-10(x-50)]=-10(x-70)2+9000. :-10<0,.当x=70时，y取得最大值为9000. 答：当每千克水果售价为70元时，月利润最大为9000元 【能力提升综合练】 8.A9.A10.512 11.0.3或0.2[解析]设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元，根搭题意，得[(3-2)-(200+0) -24=200,整 理，得50x2-25x+3=0,解得x1=0.2,x2=0.3,故应将每 千克小型西瓜的售价降低0.3元或0.2元 12.解：依题意，得1+n+n2=111, 解得n1=10,n2=-11(不符合题意，舍去)， .n的值为10. 【素养探究创新练】 13.解：(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的 产量为(2x-100)吨. 依题意，得x+2x-100=800,解得x=300, 所以2x-100=2×300-100=500. 答：4月份再生纸的产量为500吨. (2)依题意，得100(1+受%）×50(1+m%)= 660000,整理，得m2+300m-6400=0, 解得m1=20,m2=-320(不符合题意，舍去)， 所以m=20, .6… 答：m的值为20. (3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月 份再生纸的产量为a吨，则6月份每吨再生纸的利润是 1200(1+y)2元. 依题意，得1200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)× 1200(1+y)·a,所以1200(1+y)2=1500. 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元. 第3课时单双循环问题、数字问题与其他问题 【知识要点分类练】 1.A2.9 3.解：(1)6 (2)设有x支球队参加比赛， 根据题意，得乃(x-1)=36, 解得x1=9,2=-8(不符合题意，舍去)》 答：有9支球队参加比赛 4.B5.C 6.3[解析]设游行队伍增加的行数和列数均为x,根据题 意，得(8+x)(12+x)=8×12+69,解得x=3或x=-23 (舍)，需增加3行，3列. 7.B8.A 【能力提升综合练】 9。C[解析]根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前 后两个数相差1，则h=e+7,i=h+1=e+8,b=e-7,a= b-1=e-8..·最大的数与最小的数乘积是297，.ai= (e-8)(e+8)=297,解得e=±19，取正数，e=19.故选C. 10.10[解析]设该群一共有x人，则每人收到(x-1)个红 包.依题意，得x(x-1)=90,解得x1=10,2=-9 (舍去). 11.解：(1)这个多边形的边数n为7. (2)该同学的说法不正确.理由如下： 设这个多边形的边数为n, 当2a(n-3)=10时，整理，得2-3n-20=0,解得n 3±8，.符合方程n2-3n-20=0的正整数n不存在， 2 ,一个多边形不可能有10条对角线， “.该同学的说法不正确. 【素养探究创新练】 12.解：(1)15 (2)s=nn2-11225 2 (3)设该班共有女生x名，根据题意，得(x,1=190, 2 解得x1=20,2=-19(不符合题意，舍去). 答：该班共有20名女生. (4)设该班数学兴趣小组有m人， 根据题意，得m(m-1)=110, 解得m1=11,m2=-10(不符合题意，舍去) 答：该班数学兴趣小组有11人 数学活动（一）探究方程有公共解的条件 1.2或-1[解析]关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c =0,4bx2+4cx+a=0,4cx2+4ax+b=0有公共解，.可设 公共解为，则a2+L+年=0，b+L+=0,2+a+ 年=0，三式相加，得(a+6+e)P+(a+b+e)1++4= 4 0,即(a+6+e)(2++）=0.:++}=(+2)》 ≥0a+6+e=0或1=-分，当a+6+6=0时，即c= -a-b时，原式=c2-a2-&=（-a-b)2-a2-2 ab ab 02+2ab+-2-2=2:当1=-号时，分别代入三 ab ab 个方程可得a-2b+c=0,a+b-2c=0,联立两式解得a=b =c,此时C-g-6=02-4-4=1-1-1=-1 ab-6-a=a·aa-a 综上所述，代数式 2-4-b的值为2或-1. b-b-a 2.(1)解：x2+2x+c=0的倒方程为cx2+2x+1=0, 把x=2代入cx2+2x+1=0,得4c+4+1=0, 解得c=一子 (2)证明：一元二次方程ax2-2x+c=0无解， .4=(-2)2-4ac<0.ac>1, 一元二次方程ax2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+a=0. △'=(-2)2-4ca=4-4ac, 而ac>1,∴△'<0，.它的倒方程也一定无解. (3)解：一元二次方程aax2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+ a=0,而倒方程只有一个解， c=0,则-2x+a=0,解得x=2 把受代人am2-2:=0,得ax号-a0, 而a≠0，∴a=2或a=-2. 数学活动（二）神奇的线段分割 ra=b+c, (1)证明：由题意，得{1,1 1 L a 把a=b+e代入日+古=日得，+e+6=日 1 11 整理，得b2-bc-c2=0. 把上式看成关于6的一元二次方程，由求根公式，得6=1±5。 2 、因为6>0，c>0,所以取正根6=125c, 代人a6+6得al告5。+e3生5。 2c, 所以a:b:c=(3+5):(1+5):2, 所以这样的“完美分割”存在，三条线段的最简比为(3+√5)： (1+5):2. (2)解：如答图所示，点M,V即为所求. IN B 答图 参考答案及解析 第二十五章易错强化训练 1.A2.-23.B4.22-225.5或-7 6.解：(1)③配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半 的平方而在右边忘记加 (2)移项，得2x2+8x=18.两边同时除以2，得x2+4x=9. 配方，得x2+4x+4=9+4,即(x+2)2=13, .x+2=±√13，.x1=-2+√13，x2=-2-√13. 7.解：(1)一原方程没有化成一般形式 (2)方程化成一般形式为x2-5x-1=0. a=1,b=-5,c=-1,.b2-4ac=25+4=29, 322②与5-四 2,2=° 2 8.解：小敏：×，小霞：×. 正确的解答：移项，得3(x-3)-（x-3)2=0. 提取公因式，得(x-3)(3-x+3)=0, 则x-3=0或3-x+3=0,.x1=3,x2=6. 9.解：①当k=0时，原方程为-3x+2=1,解得x=3, .k=0符合题意； ②当k≠0时，此时原方程为一元二次方程. 化简，得kx2-3x+1=0, 54=(-32-4k≥0，解得k≤骨k≤是且60， 综上所述，k的取值范围是k≤ 4 第二十五章章未复习 【知识体系构建】 ①-②整式③2④-b±B2-4ac 2a 【常考题型训练】 1.D2.C3.-24.C5.B6.C7.12 8.解：(1)x2+4x+4=3+4,即(x+2)2=7, .x+2=±7，.x1=-2+7,x2=-2-万 (2)a=1,b=-22,c=-3, ∴.4=b2-4ac=(-22)2-4×1×(-3)=20>0, x=-b±B=4c_225=2±5， 2a 2×1 .1=2+5,x2=2-5. (3)(x+4)(x-4)-2(x+4)=0,(x+4)(x-4-2)=0, 即(x+4)(x-6)=0,.x+4=0或x-6=0, x1=-4,x2=6. 9.B10.C11.C 12.-4[解析]：a,B是方程x2-x+k-1=0的根，a2- a+k-1=0,即a2-a=-k+1,a+B=1,.a2-2a-B= a2-a-(a+B)=-k+1-1=-k=4,∴k=-4. 13.D 14.3[解析]在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3cm,AC= 5cm,.AB=√AC2-BC2=4cm.设运动时间为ts,则AP =方tcm,BQ=im,BP=(4-宁）m依题意，得 合p0=只即宁·(4)1=只理，得2 8t+15=0,解得t1=3,2=5.当t=3时，BQ=1×3= 3(cm),符合题意；当t=5时，BQ=1×5=5(cm),5>3,不 。7…