25.1 一元二次方程的解法（第2课时）—— 直接开平方法 （分层同步练习·反思性作业单） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦一元二次方程直接开平方法，通过“基础-提升-拓展”三层递进设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直接开平方法基本形式（x²=p，(x+n)²=p）|选择、填空题为主，如方程x²=16的解，强化符号意识与运算准确性| |能力提升|含参数方程、整体思想应用|解答题为主，如已知方程根求参数a、b，发展推理意识与逻辑思维| |拓展探究|几何情境（等腰三角形周长）、实际问题（正方体表面积）|综合题为主，如用直接开平方法说明代数式取值范围，体现数学眼光与创新意识|

25.1 一元二次方程的解法（第2课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①形如x²=p（p≥0）的方程，利用平方根的定义求解，这种方法叫直接开平方法。 ②方程(x+n)²=p（p≥0）可化为x+n=±√p，得x=-n±√p。 ③当p>0时有两个不相等的实数根；当p=0时有两个相等的实数根；当p<0时没有实数根。 2. 与本节课相关的旧知识：平方根的意义、完全平方公式、移项。 3. 预习时遇到的疑问：为什么方程(x-1)²=-4无解？负数为什么没有平方根？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①漏掉负根，只写一个解x=a而忘记x=-a。 ②开方后未对整个(x+n)加括号，写成x+n=±√p时符号处理出错。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 方程x²=9的解是______。 2. 方程x²=5的解是______。 3. 方程(x-1)²=4的解是______。 4. 方程x²=0的解是______。 5. 方程x²=-1的实数根的个数是______。 6. 方程2x²=8的解是______。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 方程x²-16=0的解是（　）A.x=4　B.x=±4　C.x=-4　D.x=±8 2. 方程(x+3)²=0的根是（　）A.x=3　B.x=-3　C.x=±3　D.无解 3. 方程3x²-27=0的解是______。 4. 方程(x-2)²=9的解是______。 5. 若x²-49=0，则x=______。 6. 方程(2x-1)²=25的解是______。 7. 方程x²+2=0的实数根的情况是______。 8. 方程1/2x²=8的解是______。 9. 若方程(x+m)²=n有解，则n______0（填“≥”“≤”“>”或“<”）。 10. 已知三角形两边长为3和4，第三边是方程x²=25的根，求第三边长。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 用直接开平方法解方程：(x-√2)²=18。 2. 若一元二次方程(x-a)²=b（b>0）的两个根是2和-4，求a、b的值。 解： 3. 已知(x²+y²-1)²=4，求x²+y²的值。 解： 4. 解方程：4(2x-1)²-25=0。 5. 若关于x的方程(x+m)²=n可以直接开平方求解，化简后两根为x₁=2，x₂=-6，求m、n的值。 解： ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 观察下列方程的特征，用直接开平方法求方程9(3x+1)²=64的解，并总结形如a(x+m)²=b（ab>0）的方程的解法步骤。 解： 2. 已知等腰三角形的两边长是方程(x-2)²=1的两个不同的根，求这个等腰三角形的周长。 解： 3. 试用直接开平方法说明：不论x取何值，代数式x²-4x+5的值总是大于1。 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 一个正方体的表面积是216cm²，求这个正方体的棱长。 解： 2. 一个正方形的面积为50cm²，求它的边长（结果保留根号）。 解： 3. 某厂今年一月份产值为100万元，三月份产值为121万元，若每月平均增长率为x，列出方程并指出它属于哪种可直接开平方的形式。 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 25.1 一元二次方程的解法（第2课时）参考答案 一、自习前置速忆 ①x²=p→x=±√p(p≥0)；②(x+n)²=p→x=-n±√p；③p<0时无实数根。 二、基础随堂自检 1.x=±3　2.x=±√5　3.x₁=3,x₂=-1　4.x=0　5.0个　6.x=±2 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.B　2.B　3.x=±3　4.x₁=5,x₂=-1　5.±7　6.x₁=3,x₂=-2　7.无实数根　8.x=±4　9.≥　10.第三边=5 ★★ 能力提升 1.x=3√2或x=-2√2　2.a=-1,b=9　3.3　4.x₁=7/4,x₂=-3/4　5.m=2,n=16 ★★★ 拓展探究 1.x₁=5/9,x₂=-11/9；步骤：系数化为1→开平方→解一次方程　2.7　3.配方得(x-2)²+1≥1 五、学以致用 1.棱长6cm　2.边长5√2cm　3.100(1+x)²=121，即(1+x)²=1.21，可直接开平方 学科网（北京）股份有限公司 $