25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&25.3 实际问题与一元二次方程-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（人教版·新教材）

高效同步练习25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识点①一元二次方程的根与系数的关系 8.(9分)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m 1.（3分)若aB是方程x2+2x-2026=0的两个 =0. 实数根，则a·B的值为() (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； A.2026 B.2 (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1x2)2 C.-2 D.-2026 =x1+x2+21,求m的值. 2.（3分)已知x1,x2是一元二次方程x2+4x-5= 0的两根，则x1+x2的值为() A.4 B.-4 C.5 D.-5 3.(3分)若m,n是一元二次方程x2-x-2025=0 的两个实数根，则mn+m+n=( A.-2024 B.2024 9.（10分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c C.-2026 D.2026 =0(a≠0)有两个实数根，其中一个实数根是 知识点②一元二次方程的根与系数的关系的 另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是 应用 “倍根方程”.例如一元二次方程x2-6x+8=0 4.(3分)若x=3是方程x2+x+3=0的一个根， 的两个根是x1=2,2=4,则方程x2-6x+8=0 则方程的另一个根是() 是“倍根方程” A.-4 B.-1 (1)通过计算，判断方程x2-3x+2=0是不是 C.1 D.4 “倍根方程”； 5.(3分)若关于x的方程x2+bx+c=0的两根分 (2)若关于x的方程(x-2)(x-m)=0是“倍 别是2,3，则c的值为 根方程”，求代数式m2+2m+2的值； 6.（3分)关于x的一元二次方程x2+ (3)已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+ (2m-3)x+m2+1=0的两实根x1,x2 32=0(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出 m的值. 满足2+2=1，则m=一· x1尤2 易错点利用一元二次方程的根与系数的关系 求值 7.(3分)若a,b是方程x2+2025x-2026=0的 两个实数根，则a2+2026a+b-ab的值 为 15分钟同步练习，精炼高效抓考点RJ九年级数学上册 7 高效同步练习25.3实际问题与一元二次方程 第 第1课时几何图形与传播问题 知识点①几何图形问题 5.(9分)如图，老李想用长为70m的栅栏，再借 1.（3分)如图，是某地下停车场的平面示意图， 助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊 停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道 圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建 的宽都相等，若停车位的占地面积为520m, 在EF处，另用其他材料) 求车道的宽度（单位：m).设停车场内车道的 (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成 宽度为xm,根据题意所列方程为() 一个面积为640m2的羊圈？ A.(40-2x)(22-x)=520 (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能， B.(40-x)(22-x)=520 请你给出设计方案；如果不能，请说明理由， C.(40-x)(22-2x)=520 D.(40-x)(22+x)=520 40m BEF 入口 停车位 22m 个车道 宽度 16m 停车位 出口 ←30m+ 第1题图 第2题图 2.(3分)学校的劳动实践基地是一块长30米、 宽16米的矩形土地.为便于学生参与劳动，要 在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如 6.(9分)今年秋冬季是流感的感染高发期，如果 图所示)，使种植面积达到400平方米，若设 外出时能够勤洗手、做好防护，可以有效遏制 小道的宽为x米，则根据题意，列方程，并将方 流感病毒的传染.现在，有两个人患了流感， 程化为一般式是 经过两轮传染后共有128人患了流感（假设 3.(3分)用一根长24cm的铁丝围成一个斜边 每个人每轮传染的人数同样多).求每轮传染 长是10cm的直角三角形，则这个直角三角形 中平均一个人传染了几个人？ 的面积为 cm2. 知识点②传播问题 4.(3分)某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器 感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过 两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮 传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根 据题意可列方程为()》 A.3+3x+(3+3x)x=147 B.3+3x+3x2=147 C.3x+(3+3x)x=147 D.3x(3+3x)=147 8 15分钟同步练习，精炼高效抓考点RJ九年级数学上册 第2课时增长率与循环问题 知识点①变化率问题 知识点②循环问题 1.（3分)目前，随着“博物馆热”持续升温，越来 4.(3分)“村BA”是指乡村篮球赛，近年来，“村 越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺 BA”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性 术魅力.某城市博物馆今年10月份接待游客 赛事.某地经过层层筛选，主办方最终确定了 10万人，12月份接待游客增加到14.4万人. 参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛 设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长 制（即每两支球队之间进行两场比赛）.已知 率为x,则根据题意可列方程() 整个小组赛阶段共比赛30场，设参加比赛的 A.14.4(1-x)2=10B.10(1+2x)=14.4 球队有x支，可得方程() C.14.4(1+x)2=10D.10(1+x)2=14.4 A.x(x+1)=30 B.x(x-1)=30 2.(3分)DeepSeek模型的能力与其训练数据量 C.2x(x+1)=30 b. 2x(x-1)=30 密切相关.假设在某研发阶段，DeepSeek模型 的初始训练数据量为325万亿个标记.研发团 5.（10分)某学校九年级举办了一场乒乓球比 队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量 赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之 达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平 间都赛1场) 均增长率为( 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： A.10%B.20% C.15%D.25% 乐乐：本次比赛一共进行了40场： 3.（10分)某工厂生产一批小家电，2024年的出 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不 厂价是144元，2025年，2026年连续两年改进 应该是40场！ 技术，降低成本，2026年出厂价调整为 假设有x人报名参加比赛， 100元. (1)根据题意，乐乐列出的方程应该 (1)如果这两年出厂价下降的百分比相同，求 是： 请利用乐乐所 平均下降率.（百分数小数点后保留两位小 列的方程分析淇淇的说法是否正确； 数) (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40 (2)某商场今年销售这批小家电的售价为140 场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1 元时，平均每天可销售20台，为了减少库存， 人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退 商场决定降价销售，经调查发现小家电单价 赛.请直接写出此时x的值， 每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈 利1200元，单价应降低多少元？ 25分钟同步练习，精炼高效抓考点U九年级数学上册 9 6.(3分)近年来，快递行业快速发展，据调查，某 平台回复的结果：… 家快递公司，去年十月份与十二月份完成投 交流 第 递的快递总件数分别为10万件和14.4万件， 展示 五 设每个月平均增长率为x,则根据题意可列方 请根据以上的活动报告，解答下列问题 程为 (1)求所使用平台前三天下载量的日平均增 7.(3分)张小武同学建立了一个名为“正能量” 长率； 的微信群.这个微信群里有若干个好友，每个 (2)请你猜想人工智能平台回复的结果是 好友都分别给群里其他好友发送了一条充满 “能”还是“不能”，并说明理由 正能量的消息，这样共有870条消息.这个微 信群里共有 个好友， 8.(10分)项目式学习 项目背景：人工智能的发展为人们的生活与 学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工 智能提升学习效率，为此，向阳综合实践小组 的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高 效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活 动报告 项目 主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动 选择人工智能平台，开展以问题驱动 内容 为核心的高效学习 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使 用的智能平台所属公司是一家专注 人工智能领域的科技公司，该公司致 力于开发先进的大语言模型和生成 式AI技术，平台一经发布，便占据各 大手机下载市场下载榜首位.据统 计，该平台首日在某下载市场的下载 量为100万次，第二天、第三天的下 活动 载量连续增长，第三天的下载量为 过程 121万次， 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问 题：如图，把一根长为 32cm的铁丝剪成两 段，并以每一段铁丝的 长度为周长各做成一个正方形，问这 两个正方形的面积之和能否等于 30cm2? 10 25分钟同步练习，精炼高效抓考点U九年级数学上册8.解：设x2=a≥0，则原方程可化为a2-a-6=0,因式分解得(a- 3)(a+2)=0,解得a=3或a=-2..a≥0，.a=-2舍去，则a= 3,x2=3,1=3,x2=-√3. 高效同步练习25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.D2.B3.A4.C5.6 2,2 6.-5【解析】由题意得x1+x2=-2m+3,x1x2=m2+1.二+ 1,.2(x1+x2)=x1x2,.2(-2m+3)=m+1,解得m=1或m= -5.由条件可知根的判别式△=(2m-3)2-4(m2+1)=-12m+5 5 ≥0，解得m≤2六m=-5, 7.2027【解析】.a,b是方程x2+2025x-2026=0的两个实数 根，∴.a2+2025a-2026=0,ab=-2026,a+b=-2025,则a2+ 2025a=2026,∴.a2+2026a+b-ab=a2+2025a+a+b-ab=2026+ (-2025)-(-2026)=2027. 8.解：(1)由题意得，：△=(-4)2-4m≥0，.m≤4； (2)由题意得，x1+x2=4,x1x2=m.(x1x2)2=x1+x2+21,m2= 4+21=25,解得：m=-5或m=5(舍)，∴.m=-5. 9.解：(1)原方程分解因式可得：(x-2)(x-1)=0,x-2=0或x-1 =0,所以x1=2,x2=1.x1=2x2,.方程x2-3x+2=0是“倍根 方程”. (2)解方程(x-2)（x-m)=0,得x1=2,x2=m,由条件可知2= 2m或m=2×2,∴.m=1或m=4,当m=1时，m+2m+2=1+2+2 =5;当m=4时，m2+2m+2=16+8+2=26.综上所述，代数式m +2m+2的值为26或5. (3)m的值为13或-11.【解析】设方程的两根分别为a、2a, 由根与系数的关系得a+2a=m-1,a·2a=32,解得a=4,m=13 或a=-4,m=-11,所以m的值为13或-11. 高效同步练习25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形与传播问题 1.B 【解题通法】巧妙平移，转化图形，通过平移将图形进行转化，列 一元二次方程求解是解决面积类问题的常用方法，其核心思想 是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则图形，根据 规则图形的面积公式列一元二次方程求解 2.x2-31x+40=03.244.A 5.解：（1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=(72-2x)m.根据 题意列一元二次方程得，x(72-2x)=640.解得x1=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=72-32=40;当x=20时，72-2x=72-40 32.答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m 时，能围成一个面积为640m2的羊圈： (2)不能，理由如下：由题意列一元二次方程得，x(72-2x)= 650.整理得，x2-36x+325=0.,△=(-36)2-4×325=-4<0，. 一元二次方程没有实数根..羊圈的面积不能达到650m2 6.解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，2+2x+(2+2x)x= 128,解得：x1=7,x2=-9(舍去)，答：每轮传染中平均一个人传 染了7个人. 第2课时增长率与循环问题 1.D2.B 3.解：（1)设平均下降率为x,由题意可得一元二次方程：144(1- )2=100,解得：x= 6>1(不符合题意，舍去)，=6 16.67%,.平均下降率为16.67%； (2)设单价应降低y元，由题意可得一元二次方程：(140-100 y)(20+号×10)=1200，整理可得：y2-30y+200=0,解得1= 10,y2=20,为了减少库存，∴.y=20,∴.单价应降低20元. 4.B 5.解：(1)2(x-1)=40根据题意列一元二次方程得，2(x 0,整理得产二80=0，解得-1生)风，不是整数，方 程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法 正确： (2)10. 6.10(1+x)2=14.47.30 8.解：(1)设下载量的日平均增长率为x,根据题意列一元二次方 70 同步练习，精炼高效抓考 程得，100(1+x)2=121,解得：x,=10%,x,=-210%(舍去)，答： 所使用平台前三天下载量的日平均增长率为10%： (2)猜想：人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下：设一 段铁丝的长度为ycm,另一段为(32-y)cm,根据题意列一元二 方程得，(X)2+(4)2=30,即y2-32y+272=0,4 （-32)2-4×1×272=-64<0,∴.方程无解，∴.这两个正方形的面 积之和不能等于30cm2,答：人工智能平台回复的结果是“不 能” 追梦第二十五章章末复习一元二次方程 1.A【解析】由题意得m2+m=0,解得m=0或-1，.m≠-1， m=0.故选A. 2.B3.A 4.B【解析】原方程可化为(mx-n)(x-2)=0,.x-2=0或mx- n=0,即x1=2,=几，关于x的一元二次方程mx2-(2m+n） m x+2n=0是“倍根方程”，分两种情况：当2=2·几时，即m= n,此时2m-”=2=2,当2×2=一时，即n=4m,此时2n m m+2n _2m-4m= 2 2 综上所述，代数式m+2n的值3或一9·故 m+2n 选B. 5.106.17.2x(x-1)=45 8.解：(1)移项，得x(x-2)-4(x-2)=0.左边分解因式，得(x-2)》 (x-4)=0,于是x-2=0,或x-4=0,即x1=2,x2=4; (2)方程化为3x2+10x+5=0,此时a=3,b=10,c=5,所以△=b2 -4ac=102-4×3×5=40>0.方程有两个不相等的实数根x= -10±而=-5而，即x,=5+ 6 3 ,南2=5-0 3 9.解：(1)由条件可知：△=b2-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m-1)= (m+3)2-4(2m-1)=m2+6m+9-8m+4=m2-2m+13=(m-1)2+ 12>0,∴.无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根. （2)设AB,CB的长分别为x1,x2,则x1,x2是方程x2-(m+3)x+ 2m-1=0的两个实数根，根据根与系数的关系得： {x名=2m-i△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC= x1+x2=m+3 √35，∴.x2+x2=AC2,又.x2+x2=(x1+x2)2-2x1x2,AC2= (√35)2=35，.(m+3)2-2(2m-1)=35,解得m=-6或m=4, :4B,CB是三角形的边长2>0，解得m>)当m= 4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形. 10.解：(1)设AB=x米，则BC=2x米，根据题意，得2x+x+x= 120,解得x=30,..AB=30米，BC=60米，答：长方形ABCD花 圃的长为60米，宽为30米； (2)设网红打卡点的边长为m米，根据题意，得(60-m)·4 m+m2=60×30-1728,解得m1=4,m2=-24(舍去)，.4×4=16 (平方米).答：网红打卡点的面积为16平方米 11.解：(1)设该款迷你无人机的月平均增长率为x,由题意得 1125(1+x)2=1620,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).答： 该款迷你无人机的月平均增长率为20%； (2)设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售(20+2y)架 由题意得(100-y-60)(20+2y)=1200,解得y1=10,y2=20.. 需要尽量减少库存，∴·y=20.答：每架迷你无人机的售价应降 低20元. 高效同步练习26.1二次函数的概念 1.C 2.A【变式】(1)a≠2(2)a=2且b≠-2 3.D 【归纳总结】确定二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项 时，需要先把函数关系式化为一般形式，并且系数与常数项一 定要包含它们前面的符号 4.B 5.B【解析】由题可知m-1≠0，且m2+1=2,则m=-1.故选B. 6.C7.B8.A9.C RJ九年级数学上册