精品解析：广东深圳市深圳中学龙岗学校（集团）兰著学校2026-2027学年第一学期九年级暑假作业质量检查（数学）

暑假作业质量检查（数学） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键在于明确中心对称图形的概念． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称的概念，对选项的图片进行分析即可． 【详解】解：选项A：将选项A的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形． 选项B，选项C，选项D：将选项中的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形不能与原来的图形重合，都不是中心对称图形． 故选：A． 2. 要使式子有意义，则( ) A. x≠－3 B. x≠ 0 C. x≠2 D. x≠3 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵分式有意义， ∴x+3≠0 解得：x≠-3. 故选A. 3. 如图，在中，，则（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴． 故选：B． 4. 有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数加、减、乘法的运算方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握． 根据图示，可得： ，且，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得 ，且， ∴，故A符合题意； ∴，故B不符合题意； ，，∴C不符合题意； ，∴D不符合题意． 故选：A． 5. 下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，，而，，则可判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 【详解】解：，， ，， 时，存在某个x的值，使得， 即方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握方法是解题的关键． 6. 如图1是生活中常见的一种停车位，将其抽象为，停放的小车可近似看成长方形，如图2所示．已知，车长约为5米，宽约为2米．若该车能完全停入车位内，则斜向车位的长至少为_____米．（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】等腰直角三角形的性质，根据题意得出米，进而即可求解． 【详解】解：在中，，米． ∴（米）． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 B. 两条对角线互相垂直的四边形的四边中点依次连结得到正方形 C. 矩形的对角线相等且互相垂直 D. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判定，等腰三角形三线合一，正方形，矩形的判定，正多边形的性质，中位线，根据上述知识点进行判定即可．逐一分析各选项是否符合几何图形的性质或公式． 【详解】解：A中，等腰三角形的顶角角平分线、底边中线和底边高线重合，但底角的角平分线、中线和高不满足，故A错误． B中，对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，当且仅当原四边形对角线相等且垂直时才是正方形，故B错误． C中， 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当为正方形时成立，故C错误． D中，设正多边形边数为，由内角和公式得，正六边形每个外角为，故D正确． 故选：D． 8. 如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式的结果是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式，列出关于的不等式，解不等式即可得到结果. 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 即实数的取值范围为. 11. 年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由块手缝嵌面组成（块黑色的正五边形和块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先求出正五边形和正六边形的每个内角，进而根据镶嵌的定义即可求出，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵正五边形的每个内角为， 正六边形的每个内角为， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 12. 如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积． 【详解】解：过点E作交延长线于点H， ∵为等边三角形 ∴， ∵是中线， ∴，， ∴由勾股定理得：， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 13. 如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先过点作于点G，利用平行四边形的性质得到，进而利用勾股定理求出，，然后再利用勾股定理得到，即可得到，然后延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点，则，得到，，再根据等角对等边得到，进而计算，继而得到，然后根据勾股定求折痕的长度即可． 【详解】解：过点作于点G， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵点E为的中点， ∴， ∴，， 设，则， ∵，即， 解得，即， ∴， 延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点， ∵， ，，， 又∵， ∴， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）用直接开方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，已知的顶点均在格点上． （1）可以看作是由经过怎样的变换得到，写出变换过程； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）在（）的条件下，直接写出的长度． 【答案】（1）先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度（或先向上平移个单位长度再向右平移个单位长度）； （2） 如图，即为所求； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据图形的位置可得变换过程； （2）根据旋转的性质画出图形； （3）由网格和勾股定理即可求解； 本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，正确理解几何变换是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据图中可知：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度或先向上平移个单位长度再向右平移个单位长度； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， ∴． 17. 根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材三 书店准备用不超过1680元购进，两种图书共100本，且种图书不少于70本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出，两种图书的标价． 任务二 如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？ 【答案】任务一：种图书标价27元，种图书标价18元；任务二：购进种图书70本、种图书30本才能获得最大利润． 【解析】 【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 任务一：设种图书标价元，则种图书标价元，根据题意列方程并求解即可； 任务二：设购进种图书本，则购进种图书本，求出的范围，设获得的总利润为元，根据“总利润（种图书的售价种图书的进价）种图书的数量+（种图书的售价种图书的进价）种图书的数量”写出关于的关系式，根据该函数的增减性和的取值范围，确定当时的值最大，再求出此时的值即可． 【详解】解：任务一：设种图书标价元，则种图书标价元． 根据题意，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 所以种图书标价27元，种图书标价18元， 答：种图书标价27元，种图书标价18元； 任务二：设购进种图书本，则购进种图书本． 依题意得，， ∴， 又∵， ∴，且为整数， 设获得的总利润为元， 则， ∵， ∴随的增大而减小， ∵，且为整数， ∴当时，取最大值，此时购进种图书（本）， 答：购进种图书70本、种图书30本才能获得最大利润． 18. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 【答案】（1）解：如图，直线即为所求： （2）①证明：如图，设与相交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ② 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）①设与相交于点O，先根据垂直平分线的性质得到，，，再证明得到，进而有，然后利用菱形的判定可证得结论； ②过A作交延长线于H，由已知和含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程求得x值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②如图，过A作交延长线于H，则， ∵， ∴，又， ∴，， ∵， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 故，即菱形的边长为． 19. 【阅读】若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”． 【举例】方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． 【问题】 （1）方程是不是不等式组的“关联方程”？请说明理由． （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】（1）是， 理由：由方程， 解得：， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵在的范围内， ∴方程是不等式组的“关联方程” （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是：熟练掌握解一元一次不等式组． （1）分别解两个方程和不等式组，根据“关联方程”的定义，即可判断求解； （2）解不等式组和方程，将方程的解代入不等式组的解集，即可求解； （3）解不等式组和方程，根据“不等式组有4个整数解”，得到m的范围，将方程的解代入不等式组的解集，得到m的范围，两者取公共部分，即可求解， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 由方程， 解得：． ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ，解得：； 【小问3详解】 解：由关于的方程， 解得：； ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组有4个整数解， ∴整数的值为1，2，3，4， ∴， ． ∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ， 解得：， ∴的取值范围：． 20. 【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】 已知：如图（1），是的中位线． 求证：，． （1）证明：如图（2），延长到点F，使得，连接，请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程．（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 （2）如图（3），已知四边形纸片，，，对角线．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】 （3）在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形中，，是其对角线，点M为射线（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转得到点，连接，，点N是的中点，连接，． ①证明：； ②连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①见解析；②的长为2或1 【解析】 【分析】（1）由点E是的中点得，从而，故，故，由点D是的中点得，又，故四边形是平行四边形，，，故，； （2）取点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点，连接，，为剪痕，把向下移，使点A和点C重合，将逆时针旋转，使点B和点C重合，将顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形； （3）①延长至点G，使，连接，，由点N是的中点得，从而可推得，故，，，又，，故，，故，又是等边三角形，故，，故，，故，故是等边三角形，故；②由题意知，，分两种情况讨论：当是的中位线时，，故；当不是的中位线时，取的中点H，连接，，，从而，，故是等边三角形，设，则，故，由得，故． 【小问1详解】 证明：如图（2），延长到点F，使得，连接， ∵点E是的中点， ， 又，， ， ，， ， ∵点D是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，， ，； 【小问2详解】 解：作图如下图所示：（答案不唯一） 说明：点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点， 由（1）知，， ∵， ∴．， 把向下移，使点A和点C重合，将绕点R逆时针旋转，使点B和点C重合，将绕点S顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形，如图： 【小问3详解】 ①证明：如图（2），延长至点G，使，连接，， ∵点N是的中点， ， 又， ， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ，， ， ∵四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ； ②的长为2或1， 理由：由题意知，，分两种情况讨论， 当是的中位线时，如图（3），此时， ； 当不是的中位线时，如图（4），取的中点H，连接， ，，又， ，， 是等边三角形， ， 设，则， ， ，解得， ， 综上所述，的长为2或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假作业质量检查（数学） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 要使式子有意义，则( ) A. x≠－3 B. x≠ 0 C. x≠2 D. x≠3 3. 如图，在中，，则（ ） A. 10 B. C. D. 4. 有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（ ） A. B. C. D. 5. 下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 6. 如图1是生活中常见的一种停车位，将其抽象为，停放的小车可近似看成长方形，如图2所示．已知，车长约为5米，宽约为2米．若该车能完全停入车位内，则斜向车位的长至少为_____米．（ ） A. B. C. 7 D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 B. 两条对角线互相垂直的四边形的四边中点依次连结得到正方形 C. 矩形的对角线相等且互相垂直 D. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于 8. 如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式的结果是_____________． 10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_______． 11. 年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由块手缝嵌面组成（块黑色的正五边形和块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中度数为______． 12. 如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则____________． 13. 如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为______． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，已知的顶点均在格点上． （1）可以看作是由经过怎样的变换得到，写出变换过程； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）在（）的条件下，直接写出的长度． 17. 根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材三 书店准备用不超过1680元购进，两种图书共100本，且种图书不少于70本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出，两种图书的标价． 任务二 如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？ 18. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 19. 【阅读】若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”． 【举例】方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． 【问题】 （1）方程是不是不等式组的“关联方程”？请说明理由． （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 20. 【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】 已知：如图（1），是的中位线． 求证：，． （1）证明：如图（2），延长到点F，使得，连接，请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程．（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 （2）如图（3），已知四边形纸片，，，对角线．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】 （3）在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形中，，是其对角线，点M为射线（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转得到点，连接，，点N是的中点，连接，． ①证明：； ②连接．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $