章末检测（二）常用逻辑用语-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

**基本信息** 该单元卷聚焦“常用逻辑用语”，通过多样题型全面覆盖充分必要条件、命题否定等核心知识，适配单元复习，助力逻辑推理与数学语言表达素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|充分必要条件（如“x≠0”与“xy≠0”关系）、命题否定（含全称/存在量词）|基础巩固，突出概念辨析| |多项选择|3/18|充要条件判断（如“ac=bc”与“a=b”关系）、命题真假|能力提升，考查逻辑严谨性| |填空题|3/15|存在量词命题真假、必要不充分条件应用（如p是q的必要条件求m范围）|情境简洁，强化知识应用| |解答题|5/77|命题否定与真假判断、充要条件证明（如“x=1是方程根”的充要条件）、集合与逻辑综合|创新应用，培养数学思维与表达|

章末检测（二）　常用逻辑用语 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.“x≠0”是“xy≠0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：B　若x＝1≠0，y＝0，有xy＝0，故充分性不成立；若xy≠0，则有x≠0且y≠0，故必要性成立，所以“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件.故选B. 2.命题“∃x∈（0，＋∞），x2－2x＞0”的否定为（　　） A.∃x∈（0，＋∞），x2－2x≤0 B.∀x∈（0，＋∞），x2－2x≤0 C.∀x∉（0，＋∞），x2－2x≤0 D.∃x∉（0，＋∞），x2－2x≤0 解析：B　存在量词命题的否定为全称量词命题，命题“∃x∈（0，＋∞），x2－2x＞0”的否定为“∀x∈（0，＋∞），x2－2x≤0”.故选B. 3.下面四个条件中，使“a＞b”成立的充分不必要条件是（　　） A.a≥b＋1 B.a＞b－1 C.a2＞b2 D.a3＞b3 解析：A　由a≥b＋1＞b⇒a＞b，但a＞b无法得出a≥b＋1，A满足；由a＞b－1，a2＞b2均无法得出a＞b，不满足“充分”；由a3＞b3⇔a＞b，不满足“不必要”.故选A. 4.“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：B　∵｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜，∴两边同时平方得a2－2ab＋b2＝a2＋2｜ab｜＋b2，即｜ab｜＝－ab，∴ab≤0.故“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的必要不充分条件. 5.下列命题中的真命题是（　　） A.∃x∈R，x2＋1≤0 B.∀x∈R，2x＞x2 C.“a＋b＝0”的充要条件是“＝－1” D.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件 解析：D　∵∀x∈R，x2＋1＞0为真命题，∴A为假命题；∵函数y＝2x与y＝x2的图象有交点，如点（2，2），此时2x＝x2，∴B为假命题；∵当a＝b＝0时，a＋b＝0，而0作分母无意义，∴C为假命题；当a＞1，b＞1时，ab＞1，∴D为真命题，故选D. 6.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（　　） A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 解析：D　先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论.故选D. 7.下列选项中，使｜x－1｜＜2成立的一个必要不充分条件是（　　） A.－1＜x＜3 B.－3＜x＜3 C.0＜x＜3 D.0＜x＜4 解析：B　解｜x－1｜＜2得－1＜x＜3，对于A，－1＜x＜3是充要条件，A错误；对于B，（－1，3）⫋（－3，3），－3＜x＜3是｜x－1｜＜2成立的一个必要不充分条件，B正确；对于C，（0，3）⫋（－1，3），0＜x＜3是｜x－1｜＜2成立的一个充分不必要条件，C错误；对于D，（0，4）与（－1，3）没有包含关系，0＜x＜4是既不充分也不必要条件，D错误.故选B. 8.若命题“存在x∈R，x2－2x－m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（　　） A.m≤－1 B.m≥－1 C.－1≤m≤1 D.m＞－1 解析：B　由题意知方程x2－2x－m＝0有实数解，∴Δ＝（－2）2－4×（－m）≥0，解得m≥－1. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.对任意实数a，b，c，下列命题中的假命题是（　　） A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件 B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件 D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 解析：ACD　ac＞bca＞b且a＞bac＞bc，故A、C错误；a＝b⇒a－b＝0⇒（a－b）c＝0⇒ac＝bc，但ac＝bca＝b，∴ac＝bc是a＝b的必要条件，故B正确，D错误. 10.命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A.a≥10 B.a≤9 C.a≥9 D.a＝9.5 解析：AD　若命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题，则a≥9.因为a≥10⇒a≥9，但a≥9a≥10，所以a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.又因为a＝9.5⇒a≥9，但a≥9a＝9.5，所以a＝9.5是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选A、D. 11.下列说法正确的是（　　） A.a＞b的一个必要不充分条件是a－1＞b B.若集合A＝{x｜ax2＋x＋1＝0}中只有一个元素，则a＝ C.若命题“∃x∈R，x2－x＋a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是{a｜a＞} D.已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4 解析：CD　对于A，当a－1＞b，即a＞b＋1时，则a＞b，即充分性成立；当a＞b时，例如a＝1，b＝0，则a－1＝b＝0，即必要性不成立，所以a＞b的充分不必要条件为a－1＞b，故A错误；对于B，若集合A＝{x｜ax2＋x＋1＝0}中只有一个元素，当a＝0时，集合A＝{x｜x＋1＝0}＝{－1}，只有一个元素，符合题意；当a≠0时，由Δ＝1－4a＝0，解得a＝.综上所述：a＝0或a＝，故B错误；对于C，命题“∃x∈R，x2－x＋a＝0”是假命题，则命题“∀x∈R，x2－x＋a≠0”是真命题，所以Δ＝1－4a＜0，解得a＞，故C正确；对于D，因为M∪N＝M，则N⊆M，且集合M＝{0，1}，则满足条件的集合N为{0}或{1}或{0，1}或⌀，故集合N的个数为4，故D正确.故选C、D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.命题p：∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3，则p为　真　命题（只填“真”或“假”）. 解析：当x0＝0，y0＝3时，x0＋y0＝3成立，故p为真命题. 13.已知p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　{m｜m＞2}　. 解析：由p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，q是p的必要不充分条件，即3＜m＋1，即m＞2. 14.已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2（a＞0）.若∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是　[3，＋∞）　. 解析：由二次函数的性质可得函数y1＝x2－2x，－1≤x1≤2的取值范围为{y1｜－1≤y1≤3}.由一次函数的性质可知函数y2＝ax＋2（a＞0），－1≤x≤2的取值范围为{y2｜2－a≤y2≤2＋2a}.因为∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得－2x1＝ax2＋2，即{y1｜－1≤y1≤3}⊆{y2｜2－a≤y2≤2＋2a}，所以解得a≥3. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假： （1）有一个奇数不能被3整除； （2）∀x∈Z，x2与3的和不等于0； （3）三角形的三个内角都为60°； （4）存在一个实数x，使＞2. 解：（1）是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题. （2）是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题. （3）是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题. （4）是存在量词命题，否定为：任意一个实数x，都满足≤2，假命题. 16.（本小题满分15分）已知P＝{x｜1≤x≤2}，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}. （1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：（1）要使x∈P是x∈S的充要条件，需使P＝S，即此方程组无解，故不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件. （2）要使x∈P是x∈S的必要条件，需使S⊆P. 当S＝⌀时，1－m＞1＋m， 解得m＜0，满足题意； 当S≠⌀时，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S⊆P， 则有解得m≤0，所以m＝0. 综上可得，存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件.m的取值范围为（－∞，0]. 17.（本小题满分15分）求证：“x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根”的充要条件是“a＋b＋c＝0（a≠0）”. 证明：充分性：由a＋b＋c＝0得a×12＋b×1＋c＝0， 即x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，所以x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根. 必要性：因为x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根， 将x＝1代入方程ax2＋bx＋c＝0得a＋b＋c＝0. 故“x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根”的充要条件是“a＋b＋c＝0（a≠0）”. 18.（本小题满分17分）已知非空集合P＝{x｜a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x｜－2≤x≤5}. （1）若a＝3，求（∁RP）∩Q； （2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解：因为集合P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0. （1）当a＝3时，P＝{x｜4≤x≤7}， ∁RP＝{x｜x＜4或x＞7}， 又Q＝{x｜－2≤x≤5}， 所以（∁RP）∩Q＝{x｜－2≤x＜4}. （2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则P⫋Q， 即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，即实数a的取值范围为{a｜0≤a≤2}. 19.（本小题满分17分）已知命题p：∀x∈{x｜0≤x≤4}，0≤x＜2a，命题q：∃x∈R，x2－2x＋a＝0. （1）若命题􀱑p和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围. 解：（1）若命题p：∀x∈{x｜0≤x≤4}，0≤x＜2a为真命题，则2a＞4，即a＞2. 若􀱑p为真命题，则a≤2. 若命题q：∃x∈R，x2－2x＋a＝0为真命题， 则Δ＝（－2）2－4×1×a≥0，即a≤1. 若􀱑q为真命题，则a＞1. ①当􀱑p为真，q为假时，􀱑q为真，即所以1＜a≤2； ②当􀱑p为假，q为真时，p为真，即无解，舍去. 综上所述，当命题􀱑p和命题q有且只有一个为真命题时，a的取值范围为{a｜1＜a≤2}. （2）考虑命题p，q至少有一个为真命题的反面， 即命题p，q均为假命题， 即􀱑p为真，且􀱑q为真，则解得1＜a≤2， 故命题p，q至少有一个为真命题时，a的取值范围为a≤1或a＞2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $