高中数学单元测试——第2章常用逻辑用语（较易版01）

**基本信息** 高中数学常用逻辑用语单元复习卷（较易版），聚焦基础巩固与素养培养，融合文化情境（如第6题《论语》名言）及集合综合应用，适配推理能力与符号意识的单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|存在量词命题、命题否定、充分必要条件（如第3题）|基础概念辨析，强化符号表示| |多选题|3题/18分|充要条件判断、集合关系（如第10题全集充要条件）|多选项逻辑推理，培养批判性思维| |填空题|3题/15分|充要条件判定、参数范围（如第13题恒成立求a）|考查数学语言简洁表达| |解答题|5题/77分|命题否定、充分条件求参数、集合与逻辑综合（如第18题）|分层设计，融合数学思维与模型意识|

高中数学单元测试 —— 第2章 常用逻辑用语（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 2．（本题5分）命题：“”的否定是（        ） A． B． C． D． 3．（本题5分）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（本题5分）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（本题5分）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 6．（本题5分）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列命题是真命题的是（　　） A．是的充要条件 B．或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件 C．在中，是锐角是为锐角三角形的充分不必要条件 D．在中，是钝角是为钝角三角形的充要条件 10．（本题6分）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 11．（本题6分）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 三、填空题 12．（本题5分）：两个三角形的三条边对应相等，：两个三角形全等，则是的_________条件． 13．（本题5分）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为________. 14．（本题5分）“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______. 四、解答题 15．（本题13分）判断下列命题真假；并写出下列命题的否定. (1)：所有的正方形都是矩形； (2)：至少有一个实数，使. (3)：，； 16．（本题15分）（1）已知，若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围： 17．（本题15分）已知，，全集． (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 18．（本题17分）设全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 19．（本题17分）设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 常用逻辑用语（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的概念判断即可. 【详解】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 2．（本题5分）命题：“”的否定是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“”的否定为“”. 3．（本题5分）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由可以推出，故充分性成立， 反之或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（本题5分）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可得，所以“”是“”的充分条件， 由，可得，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 5．（本题5分）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【分析】一一判断各命题的真假即可. 【详解】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D 6．（本题5分）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 8．（本题5分）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项. 【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题. 当时，若，则，满足条件. 若，则在上单调递增，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 若，则在上单调递减，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 综上，当原命题为假时的取值范围是， 下面判断各个选项： 选项A：，不能推出，且也不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项B：，能推出，但不能推出， 所以是充分不必要条件， 选项C：，不能推出，且不能推出， 所以是既不是充分条件也不是必要条件， 选项D：范围就是，为充要条件. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列命题是真命题的是（　　） A．是的充要条件 B．或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件 C．在中，是锐角是为锐角三角形的充分不必要条件 D．在中，是钝角是为钝角三角形的充要条件 【答案】AB 【分析】对于选项A：利用集合间的关系与运算即可判断；对于选项B：根据有理数的运算性质即可判断；对于选项C、D：结合三角形的性质即可判断． 【详解】对于选项A：根据交集的性质易知是的充要条件，故选项A正确； 对于选项B：当时，此时， 当，此时满足的解可以为， 所以或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件，故选项B正确； 对于选项C：在中，是锐角，则可能为锐角，直角或钝角， 故无法得出一定为锐角三角形； 若为锐角三角形，根据锐角三角形的定义可知的三个内角均为锐角的三角形， 所以是锐角是为锐角三角形的必要不充分条件，故选项C错误； 对于选项D：当是钝角时，则为钝角三角形. 当为钝角三角形不一定能推出是钝角， 所以是钝角是为钝角三角形的充分不必要条件，故选项D错误； 故选：AB． 10．（本题6分）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系逐项判断即可. 【详解】因为时，，不满足题意，故A错误； 若，显然只有时成立，不满足题意，故B错误； 若，则，同时若时，，满足题意，故C正确； 当时，则，同时，则满足题意，故D正确， 故选：CD. 11．（本题6分）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）：两个三角形的三条边对应相等，：两个三角形全等，则是的_________条件． 【答案】充要条件 【分析】利用全等三角形的判定和性质定理即可作出判断. 【详解】根据边边边全等三角形的判定定理可知，如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等， 又根据全等三角形的性质定理可知，如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边相等， 由此可推断是的充要条件. 故答案为：充要条件. 13．（本题5分）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【分析】即无解，据此可得答案 【详解】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 14．（本题5分）“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据一元二次方程的性质，求得，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程至多有一个实数解，则满足，解得， 因为方程至多有一个实数解的一个必要不充分条件是“， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）判断下列命题真假；并写出下列命题的否定. (1)：所有的正方形都是矩形； (2)：至少有一个实数，使. (3)：，； 【答案】(1)根据正方形和矩形定义知所有的正方形都是矩形，则该命题为真命题； ：存在一个正方形不是矩形. (2)当时，，则该命题为真命题； ：对任意实数，使得. (3)因为， 则不存在，使得，即该命题为假命题； ：，. 【分析】（1）根据正方形性质即可判断真假，根据全称命题和特称命题之间关系即可得到其否定； （2）举出即可判断真假，根据全称命题和特称命题之间关系即可得到其否定； （3）配方即可判断真假，根据全称命题和特称命题之间关系即可得到其否定. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．（本题15分）（1）已知，若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）依题意可得，可判断，从而得到，解得即可. 【详解】（1）因为是的充分条件，所以， 所以，解得，故的取值范围是； （2）因为是的必要不充分条件，所以且不能推出，则， 因为，所以，故， 所以，解得， 当时，符合题意，故的取值范围是． 17．（本题15分）已知，，全集． (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先表示出，再根据集合的运算法则计算可得； （2）依题意可得，分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又，所以， 又全集，所以或， 所以； （2）因为是的充分条件， 所以， 又， 当，即时，满足； 当时，则，解得； 综上可得实数的取值范围为. 18．（本题17分）设全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）当，求得，结合集合并集的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解数的取值范围； （3）根据题意，转化为，分和，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当，可得， 因为，所以或. （2）解：由“”是“”的充分不必要条件，可得， 因为集合，集合， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. （3）解：由集合，集合， 因为命题“，则”是真命题，则， 当时，则，解得，此时满足； 当时，则满足 ，此时不等式组的解集为空集， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（本题17分）设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意由集合新定义计算即可； （2）设，先根据集合新定义和必要性列方程组及讨论和求出；再由充分性和集合新定义讨论和时即可求出； 【详解】（1） （2）必要性： 若，设， 则，即为， 即则， 若，则； 若，则，． 充分性： 若，则满足的只能是，不符合任意性； 若，此时，即为恒成立． 综上，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $