第四章 指数与对数 章末整合提升——体系构建·素养培优-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

该高中数学单元复习讲义以“体系构建·素养培优”为核心，通过知识框架图系统梳理了根式、指数幂、对数的知识体系，将根式性质、指数幂运算规则、对数运算性质按“概念-性质-应用”逻辑串联，突出三者内在联系及运算重难点分布。 讲义亮点在于“反思感悟”提炼方法与高考真题一题多解设计，如2020全国Ⅰ卷题通过六种解法训练数学思维，对数运算题结合性质转化培养运算能力。基础学生可掌握化简求值步骤，优秀学生能拓展解题思路，助力教师实施分层教学与精准复习指导。

章末整合提升——体系构建·素养培优 　　 培优一　根式的化简与求值 根式的化简与求值要使用根式的运算性质： 当n为任意正整数时，（）n＝a；当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝｜a｜＝ 计算： （1）＋－＝　　； （2）＝　－　. 解析：（1）原式＝＋－＝＋－＝. （2）要使原式有意义，须使成立，所以a＝－1，原式＝＝－. 反思感悟 根式化简或求值的注意点 　　解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值. 培优二　指数幂的运算 对有理数指数幂的运算性质的三点说明： （1）有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为： ①同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ②幂的乘方，底数不变，指数相乘； ③积的乘方等于每个因数分别乘方. （2）有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘； （3）化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. （1）化简（a＞0，b＞0）的结果为（　　） A. B.ab C. D. （2）计算：－－（π－3）0＋3π×. （1）解析：A　原式＝＝·＝ab－1.故选A. （2）解：原式＝（22－－1＋3π×＝2－－1＋1＝. 反思感悟 指数幂运算的一般原则 （1）有括号先算括号里的； （2）无括号先做指数运算； （3）负指数幂化为正指数幂的倒数； （4）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数的运算性质. 培优三　对数的运算 　　对数的运算性质是对数运算的依据，利用对数的运算性质时，要注意公式成立的前提条件.对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度. 求下列各式的值： （1）4lg 2＋3lg 5－lg； （2）； （3）2log32－log3＋log38－； （4）log5（log3（log2a））＝0，计算3的值. 解：（1）原式＝lg（24×53×5）＝lg（24×54）＝lg（2×5）4＝4. （2）原式＝＝＝. （3）原式＝2log32－（5log32－2）＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. （4）因为log5（log3（log2a））＝0，所以log3（log2a）＝1，即log2a＝3，所以a＝23＝8，所以原式＝（62＝＝a2＝64. 反思感悟 对数的运算性质在解题中的两种应用 　　 1.〔一题多解〕（2020·全国Ⅰ卷文8题）设alog3 4＝2，则4－a＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　法一　因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B. 法二　因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B. 法三　因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以＝3，两边同时平方得 4a＝9，所以4－a＝＝，故选B. 法四　因为alog34＝2，所以a＝＝＝log49，所以4－a＝＝，故选B. 法五　令4－a＝t，两边同时取对数得log34－a＝log3t，即alog34＝－log3t＝log3，因为alog34＝2，所以log3 ＝2，所以＝32＝9，所以t＝，即4－a＝，故选B. 法六　令4－a＝t，所以－a＝log4t，即a＝－log4t＝log4.由alog34＝2，得a＝＝＝log49，所以log4＝log49，所以＝9，t＝，即4－a＝，故选B. 2.〔一题多解〕（2021·天津高考7题）若2a＝5b＝10，则＋＝（　　） A.－1 B.lg 7 C.1 D.log710 解析：C　法一　∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1. 法二　由题意可得2ab＝10b　①，5ab＝10a　②，①×②可得10ab＝10a＋b，故ab＝a＋b⇒＝⇒＋＝1. 3.（2022·浙江高考7题）已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝（　　） A.25 B.5 C. D. 解析：C　由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝＝log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4，所以4a－3b＝＝，故选C. 4.（2021·全国甲卷4题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（≈1.259）（　　） A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 解析：C　4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝1＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 5.（2024·北京高考7题）生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（　　） A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1 C.＝ D.＝ 解析：D　由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以＝. 6.（2024·全国甲卷15题）已知a＞1且－＝－，则a＝　64　. 解析：根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2（a＞1），则t＞0，故3t－＝－，得t＝（t＝－1舍去），所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $