第六章 培优课 与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

培优课　与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题

　　

题型一　与指（对）数函数有关的恒成立问题

角度1　转换成函数最值

已知x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·4x－2x＜0恒成立，求实数m的取值范围.

解：原不等式变形为m2－m＜（）x，

因为函数y＝（）x在（－∞，－1]上单调递减，所以（）x≥（）－1＝2，

故当x∈（－∞，－1]时，m2－m＜（）x恒成立等价于m2－m＜2成立，解得－1＜m＜2.

故实数m的取值范围为（－1，2）.

通性通法

转换成函数最值解决恒成立问题的思路

（1）m≥f（x）在x∈D上恒成立⇔m≥f（x）max，x∈D；

（2）m≤f（x）在x∈D上恒成立⇔m≤f（x）min，x∈D.

角度2　借助函数图象

当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2＜logax恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A.（0，1） B.（1，2）

C.（1，2] D.（0，）

解析：C　设f1（x）＝（x－1）2，f2（x）＝logax，要使当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2＜logax恒成立，只需f1（x）＝（x－1）2在（1，2）上的图象在f2（x）＝logax在（1，2）上的图象的下方即可.当0＜a＜1时，显然不成立.当a＞1时，如图所示，要使在区间（1，2）上，f1（x）＝（x－1）2的图象在f2（x）＝logax的图象下方，只需f1（2）≤f2（2），即（2－1）2≤loga2，loga2≥1，解得1＜a≤2，故选C.

通性通法

借助函数图象解决恒成立问题的思路

（1）若f（x）＞g（x）在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f（x）的图象在函数y＝g（x）图象的上方；

（2）若f（x）＜g（x）在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f（x）的图象在函数y＝g（x）图象的下方.

　已知函数f（x）＝ax－（a＞1），不等式f（x2＋bx）＋f（4－x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围.

解：∀x∈R，f（－x）＝a－x－＝－ax＝－f（x），即f（x）是R上的奇函数.

当a＞1时，由复合函数单调性可知f（x）在R上是增函数.

因为f（x2＋bx）＋f（4－x）＞0，

所以f（x2＋bx）＞－f（4－x）＝f（x－4），

即x2＋bx＞x－4，

因此，x2＋（b－1）x＋4＞0对x∈R恒成立，

故Δ＝（b－1）2－16＝（b－5）（b＋3）＜0，

解得－3＜b＜5.

故实数b的取值范围为（－3，5）.

题型二　与指（对）数函数有关的能成立问题

已知函数f（x）＝b·ax（a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）.

（1）求a，b的值；

（2）若不等式（）x≥2m＋1在x∈[1，＋∞）上能成立，求实数m的取值范围.

破题思维

解：（1）由题意可得

解得a＝2，b＝3.

（2）由于不等式（）x≥2m＋1在x∈[1，＋∞）上能成立，且由（1）知a＝2，b＝3，

则2m＋1≤［（）x］max，x∈[1，＋∞），

由于指数函数y＝（）x在[1，＋∞）上单调递减，则ymax＝，

所以2m＋1≤，

解得m≤－.

因此，实数m的取值范围是（－∞，－］.

通性通法

解决能成立问题的思路

（1）m≥f（x）在x∈D上能成立⇔m≥f（x）min，x∈D；

（2）m≤f（x）在x∈D上能成立⇔m≤f（x）max，x∈D.

若不等式lo（－x2＋4x＋4）≤m2－4m在x∈（0，3）上能成立，则实数m的取值范围为　（－∞，1]∪[3，＋∞）　.

解析：由lo（－x2＋4x＋4）≤m2－4m在x∈（0，3）上能成立，则m2－4m≥[lo（－x2＋4x＋4）]min，设f（x）＝lo（－x2＋4x＋4），则f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，3）上单调递